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八年级数学下册知识汇总(第十四章and第十五章)第十四章 勾股定理第一节 勾股定理cb一、定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 。即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。二、知识点：1、直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？角与角之间的关系：在ABC中，C=90，有A+B=90；边与边之间的关系：在ABC中，C=90，有a2+b2=c22、如何判判断一个三角形是直角三角形？如果A+B=90，那么ABC是正三角形如果a2+b2=c2，那么ABC是正三角形3、与勾股定理有关的几个常用的结论：在RtABC中，A=30C=90，则a：b：c=1：2在RtABC中，A=B=45，则a：b：c=1：1：第二节 勾股定理的逆定理一、定义：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。二、知识点：1、如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则ABC是以C为直角的三角形。（若c2a2+b2则ABC是以C为钝角的三角形，若c2a2+b2则ABC是以C为锐角三角形）2、勾股定理逆定理与勾股定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2=202化简得x2=16；直角三角形的面积=3x4x=6x2=96直角三角形边的计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。解：如图，等边ABC，作ADBC于D则：BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）BD=1在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2BD2=41=3AD=SABC=BCAD=注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a例3、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49 (3)(3)(2)，得：xy=12直角三角形的面积是xy=12=6（cm2）例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ A ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10D、8，39，40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2a2=（ca）（c+a）来判断。例如：选择D，82（40+39）（4039），以8，39，40为边长不能组成直角三角形。例6、四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。解：连结ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2化简得：n2=4n=2，但当n=2时，n+1=10，n=2首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。第十五章 四边形第一节 平行四边形一、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 二、知识点：中心对称1、性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。 2、判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。第二节 特殊的平行四边形l 矩形一、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。二、知识点：轴对称、中心对称1、性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。（引伸出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。）2、判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；对角线相等的平行四边形是矩形（对角线相等且平分的四边形是矩形）。l 菱形一、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。二、知识点：轴对称、中心对称1、性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。2、判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。（四条边都相等的四边形是菱形） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）l 正方形一、定义：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。二、知识点：轴对称、中心对称1、性质：正方形的四条边都相等;四个角都是直角。（正方形既是矩形，又是菱形。）正方形的两条对角线垂直平分且相等（每一条对角线与边的夹角是45）2、判定：利用定义判定；既是矩形又是菱形的四边形是正方形；对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。第三节 梯形一、 定义：梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形等腰梯形：两腰相等的梯形。轴对称二、知识点：1、性质：（等腰梯形）等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形同一底边上的两个角相等；2、判定：（等腰梯形）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 3、解梯形问题常用的辅助线：如图第四节 课题学习重心一、定义：重心就是能使物体保持平衡的那个点。二、知识点：（线段的重心就是线段的中点）1、正三角形的重心是三条对称轴的交点；正方形的重心是对称轴的交点，也是对角线的交点；正多边形的重心是对称轴的交点。2、三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。3、平行四边形、矩形、菱形的重心就是对角线的交点。4、一个规则的多边形的重心就是它的几何中心（有两条铅锤线相交而成）。（任何多边形的重心都在能将该多边形的面积平分的直线上）补充知识中点四边形l 任意四边形的中点四边形为平行四边形l 平行四边形的中点四边形为平行四边形l 矩形的中点四边形为菱形l 菱形的中点四边形为矩形l 正方形的中点四边形为正方形l 对角线相等的四边形的中点四边形为菱形 对角线互相垂直的四边形的中点四边形为矩形知识点总结 例题分析例1、如图，在中，点分别是边的中点，若把绕着点顺时针旋转得到（1）请指出图中哪些线段与线段相等；（2）试判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论解：(1)AD=CF,DB=CF.(2) 四边形是平行四边形证：绕着点顺时针旋转得到 AD=CF A=ECF ABCFD为AB的中点 AD=DB=CF 即BDCF，DB=CF四边形是平行四边形例2、如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形证：ABCD平行四边形 ADBC CDA+DAB=180ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，HEDA+EAD=90 DEA=90 HEF=90同理HGF=90,EFG=90四边形EFGH是矩形例3、如图，四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，EFAC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由证：四边形AFCE是菱形四边形ABCD是平行四边形OA=OC，CEAFECO=FAO，AFO=CEOEOCFOA，CE=AF而CEAF，四边形AFCE是平行四边形又EF是垂直平分线，AE=CE四边形AFCE是菱形例4、已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F（1）求证：BCGDCE；（2）将DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。（1）证：四边形为正方形BCCD，BCGDCE90CGCE，BCGDCE（2）答：四边形EBGD是平行四边形 证：DCE绕点D顺时针旋转90得到DAECEAE CGCE CGAEABCD，ABCD，BEDG，BEDG，四边形EBGD是平行四边形例5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E、F分别为OA、OD的中点证：四边形EBCF是等腰梯形证：E、F分别是OA、OD的中点，EFAD又四边形ABCD是矩形，ADBC，EFBC，E、F分别为OA、OD的中点，又 AD=BC， EFBC由 EFBC，EFBC得四边形EBCF是梯形， EO=FO，又 1=2，BO=OC， EBOFCO EB=FC， 四边形EBCF是等腰梯形例6、如图 在正方形ABCD中, M为AB的中点，MNMD，BN平分CBE并交MN于N试