2020新课标高考艺术生数学复习：利用导数研究函数的极值、最值含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：利用导数研究函数的极值、最值含解析编 辑：_时 间：_第12节利用导数研究函数的极值、最值最新考纲核心素养考情聚焦1.借助函数的图象、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) .3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系1.利用导数研究函数的极值、达成数学抽象和数学运算素养2.利用导数研究函数的最值、提升逻辑推理和数学运算素养3.利用导数研究生活中的优化问题、发展数学建模和数学运算素养函数的极值与最值是高考的热点内容、对极值的考查主要有2个命题角度：判断极值的情况、已知函数求极值考查函数最值时必定涉及函数的单调性、还会涉及到方程和不等式题型有大题也有小题且有一定难度另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容、涉及函数的单调性时、往往需要进行分类讨论、这类题综合性强、难度较大1函数极值的概念一般地、当函数f(x)在点x0处连续时、(1)如果在x0附近的左侧f(x)0、右侧f(x)0、那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0、那么f(x0)是极小值2求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)列表、检验f(x)在方程f(x)0的根左右两侧的函数值的符号、如果左正右负、那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正、那么函数yf(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样、那么这个根不是极值点(4)得极值、由表得极大值与极小值3求函数f(x)在a、b上最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a、b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较、其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小值、得出函数f(x)在a、b上的最值4利用导数求解实际问题中的优化问题生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具、用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：(1)给出了具体的函数关系式、只需研究这个函数的性质即可(2)函数关系式中含有比例系数、根据已知数据求出比例系数得到函数关系式、再研究函数的性质(3)没有给出函数关系、需要先建立函数关系、再研究函数的性质1对于可导函数f(x)、f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2若函数f(x)在闭区间a、b上的图象连续不断、则f(x)在a、b上必有最大值与最小值3若函数f(x)在闭区间a、b内是单调函数、则f(x)一定在区间端点处取得最值4若函数f(x)在开区间(a、b)上的图象连续不断、且有唯一的极值点、则这个极值点就是函数的最值点思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的( )(2)函数的极大值不一定比极小值大( )(3)对可导函数f(x)、f(x0)0是x0点为极值点的充要条件( )(4)函数的极大值一定是函数的最大值( )(5)开区间上的单调连续函数无极值和最值( )(6)函数f(x)在区间1,1上有最值( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1函数f(x)(x21)22的极值点是( )Ax1Bx1Cx1或1或0 Dx0解析：Cf(x)x42x23、由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0得x0或x1或x1.又当x1时、f(x)0、当1x0时、f(x)0、当0x1时、f(x)0、当x1时、f(x)0、x0,1、1都是f(x)的极值点2函数f(x)ax3bx在x1处有极值2、则a、b的值分别为( )A1、3 B1,3C1,3 D1、3解析：Af(x)3ax2b、f(1)3ab0.又当x1时有极值2、ab2.联立解得经检验符合题意3函数yxex的最小值是( )A1 BeC D不存在解析：Cyexxex、令y0、则x1、x1时、y1时、y0、x1是函数的唯一极小值点、即为最小值点、x1时、ymin、故选C.4(人教A版教材例题改编)函数f(x)x34x4在0,3上的最小值为_答案：5从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形、作成一个无盖的盒子、则盒子容积的最大值为_ cm3.解析：设盒子容积为y cm3、盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x5)、y12x2104x160.令y0、得x2或x(舍去)、ymax6122144(cm3)答案： 144考点一利用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度1由函数图象判断其极值情况1设函数f(x)在R上可导、其导函数为f(x)、且函数y(1x)f(x)的图象如图所示、则下列结论中一定成立的是( )A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：D由题图可知、当x0；当2x1时、f(x)0；当1x2时、f(x)2时、f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值、在x2处取得极小值命题角度2利用导数求函数的极值2已知函数f (x)2f (1)ln xx、则f (x)的极大值为( )A2B2ln 22Ce D2e解析：B函数f (x)定义域(0、)、f (x)1、所以f (1)1、f (x)2ln xx、令f (x)10、解得x2.当0x0、当x2时、f (x)0、解得x1、所以f(x)在(、2)和(1、)上单调递增、在(2,1)上单调递减、所以f(x)的极小值为f(1)(111)e111.4(20xx江西八校联考)若函数f (x)x2xaln x在1、)上有极值点、则实数a的取值范围为_解析：函数f (x)的定义域为(0、)、f (x)2x1、由题意知2x2xa0在R上有两个不同的实数解、且在1、)上有解、所以18a0、且2121a0、所以a(、1答案：(、1已知函数极值点或极值求参数的两个要领1列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组、利用待定系数法求解2验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件、所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性考点二利用导数研究函数的最值(师生共研)数学运算利用导数法求最值中的数学素养利用导数法求解函数最值应该注意两个方面的问题：一是函数的定义域、函数与其导函数的定义域可能不一致；二是确定函数在某个区间上的最值时、注意极值与最值的区别典例(20xx贵阳检测)已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)解(1)f(x)ln x1ln x、f(x)的定义域为(0、)所以f(x)、由f(x)0、得0x1、由f(x)1、所以f(x)1ln x的单调递增区间为(0,1)、单调递减区间为(1、)(2)由(1)得f (x)在上单调递增、在1、e上单调递减、所以f(x)在上的最大值为f(1)11ln 10.又f1eln2e、f(e)1ln e、且f f(e)所以f (x)在上的最小值为f2e.综上所述、f(x)在上的最大值为0、最小值为2e.求函数f(x)在闭区间a、b上的最值时、首先可判断函数在a、b上的单调性、若函数在a、b上单调递增或单调递减、则f(a)、f(b)一个为最大值、一个为最小值若函数在a、b上不单调、一般先求a、b上f(x)的极值、再与f(a)、f(b)比较、最大的即为最大值、最小的即为最小值易错警示：求极值、最值时、要求步骤规范、表格齐全；含参数时、要讨论参数的大小跟踪训练已知函数f(x)(xk)ex、(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解：(1)由f(x)(xk)ex、得f(x)(xk1)ex、令f(x)0、得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下：所以、f(x)的单调递减区间是(、k1)；单调递增区间是(k1、)(2)当k10、即k1时、函数f(x)在0,1上单调递增、所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k、当0k11、即1k2时、由(1)知f(x)在0、k1)上单调递减、在(k1,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11、即k2时、函数f(x)在0,1上单调递减、所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知、当k1时、f(x)mink；当1k2时、f(x)minek1；当k2时、f(x)minf(1)(1k)e.考点三利用导数研究生活中的优化问题(课堂共研)典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米、高为h米、体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关、侧面的建造成本为100元/平方米、底面的建造成本为160元/平方米、该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)、并求该函数的定义域(2)讨论函数V(r)的单调性、并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元、底面的总成本为160r2元、所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000、所以h(3004r2)、从而V(r)r2h(300r4r3)由h0、且r0可得0r5、故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)、所以V(r)(30012r2)令V(r)0、解得r15、r25(因为r25不在定义域内、舍去)当r(0,5)时、V(r)0、故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时、V(r)0、故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知、V(r)在r5处取得最大值、此时h8、即当r5、h8时、该蓄水池的体积最大利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系、建立实际问题的数学模型、写出相应的函数关系式yf(x)(2)求导数f(x)、解方程f(x)0.(3)判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点(4)确定函数的最大值或最小值、还原到实际问题中作答一般地、对于实际问题、若函数在给定的定义域内只有一个极值点、那么该点也是最值点跟踪训练(20xx市模拟)某商场销售某种商品的经验表明、该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2、其中3x6、a为常数已知销售价格为5元/千克时、每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克、试确定销售价格x的值、使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时、y11、所以1011、即a2.(2)由(1)可知、该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x0.令f(x)0、得x1; 令f(x)0、得0x0恒成立令f(x)0、解得x1、故当x2,1)时、g(x)0；当x(1、)时、g(x)0、故f(x)在2,1)上是减函数、在(1、)上是增函数所以f(x)ming(1)1331、故选A.5已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值、其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50、则f(x)的极大值与极小值之差为_解析：因为y3x26ax3b、所以y3x26x、令3x26x0、则x0或x2.所以f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.答案：46直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点、则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230、得x1、可得极大值为f(1)2、极小值为f(1)2、如图、观察得2a2时恰有三个不同的公共点答案：(2,2)7某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)1 200x3(万元)、已知产品单价的平方与产品件数x成反比、生产100万件这样的产品单价为50万元、产量定为_万件时总利润最大解析：设单价为a、由题意知a2且502、k50210025104、a2、即a、总利润yaxC(x)x500x31 200、y250xx2、令y0得x25、产量定为25万件时总利润最大答案：258设函数f(x)ln xax2bx、若x1是f(x)的极大值点、则a的取值范围为_解析：f(x)的定义域为(0、)、f(x)axb、由f(1)0、得b1a.f(x)axa1.若a0、当0x0、f(x)单调递增；当x1时、f(x)0、f(x)单调递减、所以x1是f(x)的极大值点若a1、解得1a1.答案：a1 9已知函数f(x)x1(aR、e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1、f(1)处的切线平行于x轴、求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)由f(x)x1、得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1、f(1)处的切线平行于x轴、得f(1)0、即10、解得ae.(2)f