2020新课标高考艺术生数学复习：正弦定理和余弦定理及其应用含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：正弦定理和余弦定理及其应用含解析编 辑：_时 间：_第6节正弦定理和余弦定理及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握正弦定理、余弦定理、并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.正、余弦定理的应用、提升数学抽象和数学运算素养2.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状、增强逻辑推理和数学运算素养3.和三角形面积有关的问题、提升逻辑推理和数学运算素养4.解三角形的实际应用、增强直观想象和数学运算素养正弦定理和余弦定理是历年高考的必考内容、选择题、填空题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用、解三角形实际应用中的距离问题、高度问题、解答题常与三角函数的图象与性质及三角恒等变换相结合、属于中低档题1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A、b2Rsin_B、c2Rsin_C；cos A；cos B；cos C(2)sin A、sin B、sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A、bsin Ccsin B、asin Ccsin A在ABC中、若角A、B、C所对的边分别是a、b、c、R为ABC外接圆半径、则2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)、并可由此计算R、r. 3在ABC中、已知a、b和A时、解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A abab解的个数一解两解一解一解无解在ABC中、常有以下结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角、大角对大边(3)任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边(4)sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sincos；cossin.(5)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(6)ABabsin Asin Bcos Asin B、则AB.( )(3)在ABC的六个元素中、已知任意三个元素可求其他元素( )(4)俯角是铅垂线与视线所成的角、其范围为.( )(5)方位角与方向角其实质是一样的、均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )(6)方位角大小的范围是0,2)、方向角大小的范围一般是.( )答案：(1)(2)(3) (4)(5)(6) 小题查验1(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若b6、a2c、B、则ABC的面积为_解析：由余弦定理得：36c24c22c2ccos、解得c2、ABC的面积Sc2csin2126.答案：62在ABC中、内角A、B、C的对边分别为a、b、c、且2c22a22b2ab、则ABC是( )A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形解析：A2c22a22b2ab、a2b2c2ab、cos C0、即90C0、sin A1、A、故ABC为直角三角形子题1本例条件不变、若、判断ABC的形状解：由、得、sin Acos Acos Bsin B、sin 2Asin 2B.A、B为ABC的内角、2A2B或2A2B、AB或AB、ABC为等腰三角形或直角三角形子题2本例条件不变、若a2bcos C、判断ABC的形状解：法一：因为a2bcos C、所以由余弦定理得a2b、整理得b2c2、则此三角形一定是等腰三角形法二：sin A2sin Bcos C、sin (BC)2sin Bcos C、sin(BC)0.BC、BC0、BC、则此三角形定是等腰三角形子题3本例条件不变、若cos A、判断ABC的形状解：依题意得cos A、sin Csin Bcos A、所以sin(AB)sin Bcos A.即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0.所以cos Bsin A0、于是有cos B0、B为钝角、所以ABC是钝角三角形判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理、化边为角、利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边、通过代数恒等变换、求出边与边之间的关系进行判断提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一、并注重挖掘隐含条件另外、在变形过程中要注意角A、B、C的范围对三角函数值的影响考点三与三角形面积有关的问题(师生共研)典例(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c、已知sin Acos A0、a2、b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点、且ADAC、求ABD的面积思维导引由已知条件sin Acos A0、先求角A、再由余弦定理求边c；先求ABC的面积、再利用ABD面积与ACD面积的比值求ABD的面积解析(1)由已知得tan A、所以BAC在ABC中、由余弦定理得、284c24c cos、即c22c240、解得c6(舍去)、c4.(2)由题设可得CAD、所以BADBACCAD、故ABD面积与ACD面积的比值为1、又ABC的面积为42sin BAC2、所以ABD的面积为.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A、一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题、一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形、且c1、求ABC面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin sin Bsin A.因为sin A0、所以sin sin B.由ABC180、可知sin cos 、故cos 2sin cos .因为cos 0、故sin 、因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa、由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形、故0A90、0C90.由(1)知AC120、所以30C90、故a2、从而SABC.因此、ABC面积的取值范围是.1(20xx市一模)在ABC中、BC2、AB4、cos C、则AC的值为( )A2B3C4D5解析：BABC中、aBC2、cAB4、cos C、c2a2b22abcos C、即164b24b、化简得b2b120、解得b3或b4(不合题意、舍去)、bAC3.故选B.2在ABC中、若a18、b24、A45、则此三角形有( )A无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：B、sin Bsin Asin 45、sin B.又ab、B有两个3(20xx全国卷)在ABC中、B、BC边上的高等于BC、则sin A()A. B. C. D.解析：D在ABC中、B、BC边上的高等于BC、ABBC.由余弦定理得ACBC、所以BCBCABACsin ABCBCsin A、sin A、故选D.4在ABC中、内角A、B、C所对的边分别为a、b、c、若b2ccos A、c2bcos A、则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：C由正弦定理、得sin B2sin Ccos A、sin C2sin Bcos A、即sin(AC)2sin Ccos Asin Acos Ccos Asin C、即sin Acos Ccos Asin C0、所以sin (AC)0、AC、同理可得AB、所以三角形为等边三角形故选C.5在锐角ABC中、角A、B、C所对的边分别为a、b、c、若sin A、a3、SABC2、则b的值为( )A6 B3C2 D2或3解析：D因为SABC2b c sin A、所以b c6、又因为sin A、所以cos A、又a3、由余弦定理得9b2c22bccos Ab2c24、b2c213、可得b2或b3.6有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清、具体如下：在ABC中、已知a、2cos2(1)cos B、c_、求角A.(答案提示：A60、请将条件补充完整)解析：由题知1cos(AC)(1)cos B、所以1cos B(1)cos B、解得cos B、所以B45.又A60、所以C75.根据正弦定理、得、解得c.故应填.答案：7(20xx市一模)在ABC中、内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若A45、2bsin Bcsin C2asin A、且ABC的面积等于3、则b_.解析：A45、2bsin Bcsin C2asin A、由余弦定理可得：a2b2c22bccos Ab2c2bc、由正弦定理可得：2b2c22a2、又SABCbcsin A3、即bc6、由联立解得b3.答案：38(20xx全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c、已知bsin Ccsin B4asin Bsin C、b2c2a28、则ABC的面积为_解析：根据题意、结合正弦定理可得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C、即sin A、结合余弦定理可得2bccos A8、所以A为锐角、且cos A、从而求得bc、所以ABC的面积为Sbcsin A.答案：9(20xx市一模)已知f(x)sin cos x.(1)写出f(x)的最小正周期、并求f(x)的最小值；(2)已知 a、b、c 分别为ABC的内角A、B、C的对边、b5、cos A且 f(B)1、求边a的长解：f(x)sin cos xsin xcos cos xsin cos xsin xcos xsin ；(1)f(x)的最小正周期T2、当x2k、kZ、即x2k、kZ时、f(x)取得最小值1；(2)ABC中、b5、cos A、sin A；又 f(B)1、sin 1、B、解得B、解得a8.10(20xx浙江省名校协作体高三联考)在ABC中、内角A、B、C所对的边分别为a、b、c、已知c2、C.(1)当2sin 2Asin(2BC)sin C时、求ABC的面积；(2)求ABC周长的最大值解：(1)由2sin 2