2020江苏高考理科数学二轮讲义：矩阵与变换含解析.doc

教学资料范本2020江苏高考理科数学二轮讲义：矩阵与变换含解析编 辑：_时 间：_第7讲矩阵与变换 20xx考向导航考点扫描三年考情考向预测20xx20xx20xx1矩阵变换B题江苏高考对本讲的命题方向：常见的平面变换与矩阵的乘法运算；二阶矩阵的逆矩阵及其求法；矩阵的特征值与特征向量的求法试题基础、处于“送分题”位置2逆矩阵与矩阵运算B题3矩阵的特征值与特征向量A题1矩阵的乘法与逆矩阵(1) (2)若二阶矩阵A、B满足ABBAE(E为二阶单位矩阵)、则称A是可逆矩阵、B为A的逆矩阵、记为BA12矩阵对应的变换矩阵M对应的变换T：(x、y)(x、y)满足 3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设是二阶矩阵M的一个特征值、它的一个特征向量为、则有M(2)f()2(ad)adbc为矩阵M的特征多项式(3)如果是二阶矩阵M的特征值、则是M的特征多项式的一个根、它满足f()0、此时将代入可得到一组非零解、它即为M的属于的一个特征向量矩阵变换典型例题 (20xx姜堰中学期中检测)在平面直角坐标系xOy中、设曲线C：xy1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F、且F的方程为x2y2a2(a0)、求和a的值【解】设P(x0、y0)是曲线C上任意一点、P(x0、y0)在矩阵对应的变换下变为：P(x0、y0)；则有、所以、代入到x2y2a2中、有：(x0cos y0sin )2(x0sin y0cos )2a2、且x0y01、化简得：(xy)(cos2sin2)4x0y0sin cos a2即(xy)(cos2sin2)4sin cos a2；所以cos2sin20且a24sin cos 、而、a0；所以、a解决这类问题一般是设变换T：、求出原曲线在T的变换下得到的曲线、再根据条件求相应的系数值对点训练1变换T1是逆时针旋转的旋转变换、对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2(1)求点P(2、1)在T1作用下的点P的坐标；(2)求函数yx2的图象依次在T1、T2变换的作用下所得曲线的方程解 (1)M1、M1 、所以点P(2、1)在T1作用下的P点的坐标是P(1、2)(2)MM2M1、设是变换后图象上任一点、与之对应的变换前的点是、则M、也就是、即、所以所求曲线的方程是yxy2逆矩阵与矩阵运算典型例题 (20xx高考江苏卷)已知矩阵A(1)求A的逆矩阵A1；(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P(3、1)、求点P的坐标【解】(1)因为A、det(A)221310、所以A可逆、从而A1(2)设P(x、y)、则、所以A1、因此、点P的坐标为(3、1)正确进行矩阵变换、注意变换的先后顺序、记住求逆矩阵的过程是解题的关键 对点训练2已知矩阵A、B(1) 求AB；(2)若曲线C1：1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 、求C2的方程解 (1)因为A、B、所以AB (2)设Q(x0、y0)为曲线C1上的任意一点、它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x、y)、则 、即所以因为点Q(x0、y0)在曲线C1上、则1、从而1、即x2y28因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2y28矩阵的特征值与特征向量典型例题 (20xx高考江苏卷)已知矩阵 A(1)求A2；(2)求矩阵A的特征值【解】(1)因为A所以A2 (2)矩阵A的特征多项式为f()254令f()0、解得A的特征值11、24在求矩阵变换的特征值与特征向量时、要利用定义建立关系对点训练3(20xx市高三调研)求矩阵的特征值及对应的特征向量解 由题意得矩阵的特征多项式f()(3)21268、由f()0、解得12、24设1为12对应的特征向量、则、即x1y10、故可取为属于特征值12的一个特征向量同理、设2为24对应的特征向量、则、即x2y20、故可取为属于特征值24的一个特征向量综上所述、矩阵有两个特征值12、24、属于12的一个特征向量为、属于24的一个特征向量为1(20xx南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A有特征值6、其对应的一个特征向量为e、并且矩阵A对应的变换将点(1、2)变换成点(8、4)、求矩阵A解 设所求二阶矩阵A、则、所以、所以、解方程组得A2(20xx南京、盐城模拟)已知矩阵A、A的逆矩阵A1(1)求a、b的值； (2)求A的特征值 解 (1)因为AA1所以 解得a1、b(2)由(1)得A、则A的特征多项式f()(3)( 1)令f()0、解得A的特征值11、233(20xx市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中、设点A(1、2)在矩阵M对应的变换作用下得到点A、将点B(3、4)绕点A逆时针旋转90得到点B、求点B的坐标解 设B(x、y)、依题意、由 、得A(1、2)则(2、2)、(x1、y2)记旋转矩阵N、则 、即、得所以点B的坐标为(1、4)4(20xx江苏四星级学校联考)设矩阵A、已知矩阵A