2020版高考数学二轮复习专题限时集训14导数的综合应用理.doc

教学资料范本2020版高考数学二轮复习专题限时集训14导数的综合应用理编 辑：_时 间：_专题限时集训(十四)导数的综合应用(建议用时：40分钟)1已知函数f(x).(1)求函数f(x)在1.)上的值域；(2)若x1.).ln x(ln x4)2ax4恒成立.求实数a的取值范围解(1)易知f(x)0(x1).f(x)在1.)上单调递减.f(x)maxf(1)2.x1时.f(x)0.f(x)在1.)上的值域为(0,2(2)令g(x)ln x(ln x4)2ax4.x1.).则g(x)2.若a0.则由(1)可知.g(x)0.g(x)在1.)上单调递增.g(e)12ae0.与题设矛盾.a0不符合要求若a2.则由(1)可知.g(x)0.g(x)在1.)上单调递减g(x)g(1)2a40.a2符合要求若0a2.则x0(1.).使得a.则g(x)在1.x0)上单调递增.在(x0.)上单调递减.g(x)maxg(x0)ln x0(ln x04)2ax04.ln x0ax02.g(x)max(ax02)(ax02)2ax04(ax02)(ax04)由题意知g(x)max0.即(ax02)(ax04)0.2ax04.即2ln x0241x0e2.a.且由(1)可知f(x)在(1.)上单调递减.a2.综上.a的取值范围为.2已知函数f(x)x2(a2)xaln x(aR)(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a1时.证明：对任意的x0.f(x)exx2x2.解(1)函数f(x)的定义域是(0.).f(x)2x(a2).当a0时.f(x)0对任意x(0.)恒成立.所以.函数f(x)在区间(0.)单调递增；当a0时.由f(x)0得x.由f(x)0.得0x.所以.函数在区间上单调递增.在区间上单调递减(2)证明：当a1时.f(x)x2xln x.要证明f(x)exx2x2.只需证明exln x20.设g(x)exln x2.则问题转化为证明对任意的x0.g(x)0.令g(x)ex0.得ex.容易知道该方程有唯一解.不妨设为x0.则x0满足e.当x变化时.g(x)和g(x)变化情况如下表x(0.x0)x0(x0.)g(x)0g(x)递减递增g(x)ming(x0)eln x02x02.因为x00.且x01.所以g(x)min220.因此不等式得证3已知函数f(x)ex(1aln x).其中a0.设f(x)为f(x)的导函数(1)设g(x)exf(x).若g(x)2恒成立.求a的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0.函数f(x)的极小值点为x1.当a2时.求证：x0x1.解(1)由题设知.f(x)ex(x0).g(x)exf(x)1aln x.g(x)(x0)当x(0,1)时.g(x)0.g(x)在区间(0,1)上单调递减.当x(1.)时.g(x)0.g(x)在区间(1.)上单调递增.故g(x)在x1处取得最小值.且g(1)1a.由于g(x)2恒成立.所以1a2.得a1.即a的取值范围为1.)(2)证明：设h(x)f(x)ex.则h(x)ex.设H(x)1aln x(x0).则H(x)0.故H(x)在(0.)上单调递增.因为a2.所以H(1)a10.H1aln 20.故存在x2.使得H(x2)0.则h(x)在区间(0.x2)上单调递减.在区间(x2.)上单调递增.故x2是h(x)的极小值点.因此x2x1.由(1)可知.当a1时.ln x1.因此h(x)h(x1)e e(1a)0.即f(x)在(0.)上单调递增由于H(x1)0.即1aln x10.即1aln x1.所以f(x1)e(1aln x1)ae0f(x0)又f(x)在(0.)上单调递增.所以x1x0.4已知函数f(x)xln xx2(a1)x.其导函数f(x)的最大值为0.(1)求实数a的值；(2)若f(x1)f(x2)1(x1x2).证明：x1x22.解(1)由题意.函数f(x)的定义域为(0.).其导函数f(x)ln xa(x1).记h(x)f(x).则h(x). 当a0时.h(x)0恒成立.所以h(x)在(0.)上单调递增.且h(1)0.所以任意x(1.).h(x)f(x)0.故a0不成立当a0时.若x.则h(x)0；若x.则h(x)0.所以h(x)在上单调递增.在上单调递减所以h(x)maxhln aa1.令g(a)ln aa1.则g(a)1.当0a1时.g(a)0；当a1时.g(a)0.所以g(a)在(0,1)上单调递减.在(1.)上单调递增所以g(a)g(1)0.故a1.(2)证明：当a1时.f(x)xln xx2.则f(x)1ln xx.由(1)知f(x)1ln xx0恒成立.所以f(x)xln xx2在(0.)上单调递减.且f(1).f(x1)f(x2)12f(1) 不妨设0x1x2.则0x11x2.欲证x1x22.只需证x22x1.因为f(x)在(0.)上单调递减.所以只需证f(x2)f(2x1).又f(x1)f(x2)1.所以只需证1f(x1)f(2x1).即f(2x1)f(x1)1.令F(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1).则F(1)1.所以欲证f(2x1)f(x1)1.只需证F(x)F(1).x(0,1).F(x)f(x)f(2x)1ln xx1ln(2x)2x.整理得F(x)ln xln(2x)2(1x).x(0,1).令m(x)F(x).则m(x)0.x(0,1).所以F(x)ln xln(2x)2(1x)在区间(0,1)上单调递增.所以任意x(0,1).f(x)ln xln(2x)2(1x)0.所以函数F(x)f(x)f(2x)在区间(0,1)上单调递减.所以F(x)F(1).x(0,1).故x1x22.题号内容押题依据1函数的单调性、构造法证明不等式、分类讨论思想高考的热点问题.将等价转化思想、分类讨论思想放在一起考查学生分析问题的能力.同时双变量问题的合理转化是近几年的热点.应引起重视【押题】已知函数f(x)x2ax(a1)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意的x1.x2(0.).x1x2.恒有f(x1)f(x2)x2x1.求实数a的取值范围解(1)f(x)xa(x1)x(a1).若a2.由f(x)0.得0x1或xa1.由f(x)0.得1xa1.则f(x)在(0,1).(a1.)上单调递增.在(1.a1)上单调递减；若a2.则f(x)0.f(x)在(0.)上单调递增；若1a2.由f(x)0.得0xa1或x1.由f(x)0.得a1x1.则f(x)在(0.a1).(1.)上单调递增.在(a1,1)上单调递减；若a1.由f(x)0.得x1.由f(x)0.得0x1.则f(x)在(1.)上单调递增.在(0,1)上单调递减综上.若a2.则f(x)在(0,1).(a1.)上单调递增.在(1.a1)上单调递减；若a2.则f(x)在(0.)上单调递增；若1a2.则f(x)在(0.a1).(1.)上单调递增.在(a1,1)上单调递减；若a1.则f(x)在(1.)上单调递增.在(0,1)上单调递减(2)f(x1)f(x2)x2x1f(x1)x1f(x2)x2.令F(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx.对任意的x1.x2(0.).x1x2.恒有f(x1)f(x2)x2x1等价于函数f(x)在(0.)上是增函数f(x)x