2020新课标高考艺术生数学复习：三角函数的图象与性质含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：三角函数的图象与性质含解析编 辑：_时 间：_第3节三角函数的图象与性质最新考纲核心素养考情聚焦1.能画出ysin x、ycos x、ytan x的图象、了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)、正切函数在上的性质1.三角函数的定义域与值域(最值)、达成直观想象和数学运算的素养2.三角函数的单调性、增强逻辑推理和数学运算的素养3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性、提升逻辑推理和数学运算的素养三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点、题型既有选择题、填空题、又有解答题、一般难度不会太大、属中低档题型、通常与三角恒等变换相结合、在考查三角函数性质的同时、又考查了三角恒等变换的方法与技巧考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x、x0,2的图象中、五个关键点是：(0,0)、(、0)、(2、0)余弦函数ycos x、x0,2的图象中、五个关键点是：(0,1)、(、1)、(2、1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k、2k递减区间2k、2k无对称中心(k、0)对称轴方程xkxk无若f(x)Asin(x)为偶函数、则k(kZ)；若f(x)Asin(x)为奇函数、则k(kZ)思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)函数ysin x的图象介于直线y1与y1之间( )(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线( )(3)函数ysin是奇函数( )(4)函数ysin x的对称轴方程为x2k(kZ)( )(5)正切函数在整个定义域内是增函数( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1(20xx全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为( )A4B2CD.解析：C函数f(x)sin 的最小正周期为T.2(20xx全国卷)下列函数中、以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|解析：A函数ycos 2x的周期为、函数f(x)|cos 2x|的周期为、当x时、2x、ycos 2x递减且为负值、函数f(x)|cos 2x|在区间上单调递增3已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为、则该函数的图象( )A关于直线x对称B关于点对称C关于直线x对称 D关于点对称解析：Bf(x)sin(0)的最小正周期为、2、即f(x)sin.经验证可知fsinsin 0、即是函数f(x)的一个对称点4函数ytan 的图象与x轴交点的坐标是_解析：由2xk(kZ)得、x(kZ)函数ytan的图象与x轴交点的坐标是.答案：(kZ)5人教A版教材P46A组T2改编y3sin在区间上的值域是_解析：当x时、2x、sin、故3sin、即y3sin的值域为.答案：考点一三角函数的定义域、值域问题(自主练透)命题角度1三角函数的定义域问题(1)函数y的定义域为_(2)函数ylg(sin 2x)的定义域为_解析：(1)法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义、必须使sin xcos x0.在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象、如图所示在0,2内、满足sin xcos x的x为、再结合正弦、余弦函数的周期是2、所以函数y的定义域为x|2kx2k、kZ法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin xcos x的角x的终边范围(如图阴影部分所示)、函数y的定义域为x|2kx2k、kZ法三(利用整体思想)：sin xcos xsin0、将x视为一个整体、由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k、kZ、解得2kx2k、kZ.所以函数y的定义域为x|2kx2k、kZ(2)由得3x、或0x.函数ylg(sin 2x)的定义域为.答案：(1)x|2kx2k、kZ(2)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式、常借助于三角函数线或三角函数图象来求解命题角度2三角函数的值域(最值)问题(1)(20xx全国卷)函数f(x)sin3cos x的最小值为_(2)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_解析：(1)f(x)sin3cos xcos 2x3cos x、f(x)min4.(2)设tsin xcos x、则sin xcos x(t)、ytt2(t1)21.当t时、y取最大值；当t1时、y取最小值1.函数的值域为.答案：(1)4(2)1求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式、常借助于三角函数线或三角函数图象来求解2求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式、再求最值(值域)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数、可先设sin xt、化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数、可先设tsin xcos x、化为关于t的二次函数求值域(最值)考点二三角函数的单调性(师生共研)典例(1)ysin的单调递减区间为_解析ysin的减区间是ysin的增区间由2k2x2k、kZ、得kxk、kZ.故所给函数的减区间为、kZ.答案、kZ(2)若f(x)2sin x1(0)在区间上是增函数、则的取值范围是_逻辑推理三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理已知f(x)2sin x1(0)在区间 上是增函数解读一：是函数f(x)单调递增区间的子区间解读二：x的取值范围是的子区间解读三：原点到区间两端点的距离不超过推理一： 由函数ysin x在区间上单调递增、求得f(x)2sin x1(0)的单调递增区间推理二：由不等式的基本性质求出x的取值范围推理三： 由正弦函数ysin x的图形与性质知原点到区间两端点的距离等于求参数的取值范围建立关于的不等式组 解析方法一：第一步、求出f(x)2sin x1(0)的单调递增区间由2kx2k、kZ、得f(x)的增区间是、kZ.第二步、转化为集合之间的关系、即是函数f(x)单调递增区间的子区间f(x)在上是增函数、.第三步、利用数轴、列出关于的不等式组、解不等式组得的取值范围且、.方法二：第一步、由x的取值范围求出x(0)的取值区间x、0.x、第二步、由f(x)在区间上是增函数得x(0)的取值区间是的子区间又f(x)在区间上是增函数、第三步、利用数轴、列出关于的不等式组、解不等式组得的取值范围则又0、得0.方法三：第一步、由f(x)在区间上是增函数得原点到区间端点的距离不超过.f(x)在区间上是增函数、故原点到区间端点的距离不超过、第二步、列出关于的不等式组、解不等式组得的取值范围所以得T、即.又0、得0.答案互动探究在本例(1)中函数不变、求函数在、0上的单调递减区间解析：法一：xR时、ysin的减区间为、kZ.令k0得x；令k1得x、故x、0时、ysin的减区间为、.法二：因为x0、所以2x、结合正弦曲线、由2x、解得x；由2x、解得x0、所以单调减区间为、.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)、利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右、图象上升趋势的区间为单调递增区间、图象下降趋势的区间为单调递减区间、画出三角函数的图象、结合图象易求它的单调区间提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正、同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域跟踪训练1函数f(x)tan的单调递增区间是( )A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：B由k2xk(kZ)得、x(kZ)、所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kZ)、故选B.2(20xx全国卷)若f(x)cos xsin x在a、a是减函数、则a的最大值是()A.B.C.D解析：A因为f(x)cos xsin x cos 、所以由2kx2k(kZ)得2kx2k(kZ)、因此、a、a、aa、a、a、0a从而a的最大值为、选A.考点三三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究)命题角度1三角函数的周期性1(20xx山东卷)函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为( )A.B.CD2解析：C由题意y2sin、其周期T.2若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2、则自然数k的值为_解析：由题意知、12、即k2k.又kN、所以k2或k3.答案：2或3求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为、ytan(x)的最小正周期为；(3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题、通常要画出图象、结合图象进行判断跟踪训练(20xx全国卷)已知函数f(x)2cos2 xsin2 x2、则()Af(x)的最小正周期为、最大值为3Bf(x)的最小正周期为、最大值为4Cf(x)的最小正周期为2、最大值为3Df(x)的最小正周期为2、最大值为4解析：Bf(x)2cos2x(1cos2x)23cos2x1cos 2x、最小正周期为、最大值为4.故选B.命题角度2三角函数的对称轴或对称中心3当x时、函数f(x)sin(x)取得最小值、则函数yf( )A是奇函数且图象关于点对称B是偶函数且图象关于点(、0)对称C是奇函数且图象关于直线x对称D是偶函数且图象关于直线x对称解析：C当x时、函数f(x)取得最小值、sin1、2k(kZ)f(x)sinsin.yfsin(x)sin x.yf是奇函数、且图象关于直线x对称若求f(x)Asin(x)的对称轴、只需令xk(kZ)、求x；若求f(x)Asin(x)的对称中心的横坐标、只需令xk(kZ)、求x即可跟踪训练设函数f(x)sin(2x)cos(2x)(|)、且其图象关于直线x0对称、则( )Ayf(x)的最小正周期为、且在上为增函数Byf(x)的最小正周期为、且在上为减函数Cyf(x)的最小正周期为、且在上为增函数Dyf(x)的最小正周期为、且在上为减函数解析：B函数f(x)sin(2x)cos(2x)2sin的图象关于直线x0对称、函数f(x)为偶函数、k(kZ)|、f(x)2cos 2x、T.0x、02x、函数f(x)在上为减函数故选B.命题角度3三角函数奇偶性、对称性的应用4(20xx市一模)使函数f(x)sin (2x)cos (2x)是偶函数、且在上是减函数的的一个值是( )A. B. C. D.解析：B函数f(x)sin(2x)cos (2x)2sin 是偶函数、k、即k、kZ 、因此可取、此时、f(x)2sin cos 2x、且在上、即2x时、f(x)是减函数故选B.5(20xx市模拟)函数f(x)sin 的图象在区间上的对称轴方程为_解析：对于函数f(x)sin 的图象、令2xk、得x、kZ、令k0、可得函数在区间上的对称轴方程为x.答案：x函数f(x)Asin(x)的奇偶性、对称性的应用(1)若f(x)Asin(x)为偶函数、则当x0时、f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数、则当x0时、f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)、其对称轴一定经过图象的最高点或最低点、对称中心一定是函数的零点、因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时、可通过检验f(x0)的值进行判断跟踪训练(20xx全国卷)关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间单调递增f(x)在、有4个零点f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A BC D解析：Cf(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|、f(x)是偶函数、对；f(x)在区间上单调递减、错；f(x)在、上有3个零点、错；f(x)的最大值为2、对故选C.1(20xx全国卷)函数f(x)的最小正周期为( )A.B.CD2解析：Cf(x)sin xcos xsin 2x、f(x)的周期T.故选C.2(20xx全国卷)函数f(x)sin cos的最大值为( )A. B1 C. D.解析：A由诱导公式得coscossin、则f(x)sinsinsin、所以函数f(x)的最大值为.故选A.3函数f(x)12sin2是( )A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数解析：B因为函数y12sin2cos sin 2x、所以该函数是最小正周期为的奇函数故选B.4(20xx市一模)若直线xa(0a1)与函数ytan x的图象无公共点、则不等式tan x2a的解集为( )A.B.C.D.解析：B直线xa(0a1)与函数ytan x的图象无公共点、a、不等式化为tan x1、解得kxk、kZ；所求不等式的解集为x|kxk、kZ5(20xx市一模)已知函数f(x)2sin (2x)(0)、且f(0)1、则下列结论中正确的是( )Af()2B.是f(x)图象的一个对称中心CDx是f(x)图象的一条对称轴解析：A函数f(x)2sin (2x)、且f(0)2sin 1、sin.又0、或；当时、f2sin 2、当时、f2sin 2、故A正确6(20xx全国卷)函数f(x)cos 在0、的零点个数为_解析