高二数学选修2 抛物线的几何性质 课件.ppt

抛物线的几何性质 目标 1 掌握抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 通径 2 会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程 焦点坐标及解决其它问题 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索其的几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比探索 x 0 y r 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点 4 离心率 5 焦半径 6 通径 始终为常数1 通径长为2p pf x0 p 2 f p y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y r x 0y r y 0 x r y 0 x r 0 0 x轴 y轴 1 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 p越大 开口越开阔 例题 例1 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且过点m 2 求它的标准方程 并用描点法画出其图形 例2 一个顶点在坐标原点 焦点在x轴上抛物线截直线2x y 4 0所得弦长为 求抛物线的方程 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程及焦点的位置 f y x o 解 如图所示 在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系 使反光镜的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 a b 设抛物线的标准方程是 由已知条件可得点a的坐标是 40 30 代入方程可得 所求的标准方程为焦点坐标为 例 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的边长 等腰直角三角形aob内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 aob的面积为a 8p2b 4p2c 2p2d p2 作业 1 p47习题5 6 72 抛物线y2 2x上距点a a 0 距离最近的点恰好是抛物线的顶点 求a的取值范围 3 一抛物线形拱桥跨度为52m 拱顶离水面6 5m 一竹排上有一长 宽均为4m 高为6m的大木箱 问能否安全通过拱桥 点与抛物线 点与圆 椭圆 双曲线的位置关系及判断方法 点p x0 y0 与抛物线y2 2px p 0 的位置关系及判断方法 1 点在抛物线外 2 点在抛物线上 3 点在抛物线内 y02 2px0 0 y02 2px0 0 y02 2px0 0 直线与抛物线 1 直线与抛物线相离 3 直线与抛物线相交 2 直线与抛物线相切 x o y 有两个不同的交点相交 或二次项系数为0 方程 组 只有一解 只有一个交点相交 证明 与抛物线y2 2px p 0 的对称轴平行的直线和抛物线只有一个交点 只有一个交点不一定就相切 结论 1 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 p2 4 2 y1y2 p2 3 ab x1 x2 p 4 若直线ab的倾斜角为 则 ab 2p sin2 5 以ab为直径的圆与准线相切 a b 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交于p x1 y1 q x2 y2 1 过p和抛物线顶点的直线交准线于m 则直线mq平行于抛线的对称轴 2 过q作qm 准线l 垂足为m 则m o p三点共线 2000年高考题 m 练习 1 已知直线l过点a 3p 2 p 且与抛物线y2 2px p 0 只有一个公共点 则直线l的条数为 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交于p x1 y1 q x2 y2 则y1y2 p2是直线pq过抛物线焦点的a 充分非必要条件b 必要非充分条件c 充要条件d 非充分非必要条件 例题 1 ab是抛物线y2 2px p 0 上两点 满足oa ob o为坐标原点 求证 1 a b两点的横坐标之积 纵坐标之积均为定值 2 直线ab经过一定点 1 逆命题 若横坐标之积为定值4p2 或纵坐标之积为定值 4p2 是否有oa ob 2 逆命题 若直线ab过定点 2p 0 是否有oa ob 结论 抛物线y2 2px p 0 的轴上有三个点 1 焦点f 有许多关于焦点弦有关的结论 2 点 2p 0 过该点的直线与抛物线交于两点a x1 y1 b x2 y2 有x1x2 4p2 y1y2 4p2 oa ob 3 点m p 0 p为抛物线上任一点 在轴上m点左侧的点 有 pm 的最小值为 om 在轴上m点右侧的点 到顶点的距离不是最小 例题 2 如果抛物线y ax2 1上总有关于直线x y 0对称的相异两点 试求a的范围 小结 1 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 p2 4 2 y1y2 p2 3 ab x1 x2 p 2 4 若直线ab的倾斜角为 则 ab 2p sin2 5 以ab为直径的圆与准线相切 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交于p x1 y1 q x2 y2 1 过p和抛物线顶点的直线交准线于m 则直线mq平行于抛线的对称轴 2 过q作qm 准线l 垂足为m 则m o p三点共线 2000年高考题 抛物线y2 2px p 0 的轴上有三个点 1 焦点f 有许多关于焦点弦有关的结论 2 点 2p 0 过该点的直线与抛物线交于两点a x1 y1 b x2 y2 有x1x2 4p2 y1y2 4p2 oa ob 3 点m p 0 p为抛物线上任一点 在轴上m点左侧的点 有 pm 的最小值为 om 在轴上m点右侧的点 到顶点的距离不是最小 作业 1 在抛物线y2 2x上求一点p 使p到直线x y 3 0的距离最短 并求出距离的最小值 2 若直线过定点m m 0 m 0 与抛物线y2 2px p 0 交于