2018-2019学年市第六中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省厦门市第六中学高一下学期期中数学试题一、单选题1已知数列，则是这个数列的第（ ）项A20B21C22D23【答案】D【解析】由，得 即 ，解得 ，故选D2已知中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，那么( )ABCD【答案】C【解析】根据余弦定理，即可求解。【详解】解：根据余弦定理得： ，又因为,所以 ,故选.【点睛】这题考查余弦定理，已知三边求角。属于基础题。3设等比数列的前n项和为，且，则公比q=（ ）ABC2D3【答案】C【解析】将已知转化为的形式，解方程求得的值.【详解】依题意，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.4已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是ABCD【答案】A【解析】由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为，所以底面积为，所以体积为，故选A【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题5如图，正三棱柱的各棱长包括底面边长都是2，E，F分别是AB，的中点，则EF与侧棱所成的角的余弦值是ABCD2【答案】B【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，取AC的中点G，连接FG，EG，EFG为EF与侧棱C1C所成的角，在直角三角形EFG中求出此角即可【详解】解：取AC的中点G，连接FG，EG根据题意可知FGC1C，FGC1C；而EGBC，EGBC；EFG为EF与侧棱C1C所成的角，在RtEFG，cosEFG故选B【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题6记为等差数列的前项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则等于( )A2B4C6D8【答案】A【解析】根据题意得，结合等差数列的前n项和公式，即可求出的值【详解】依题：，.【点睛】考查等差数列的求和与性质，处理多样，重在考查考生的基本量思想与整体思想，分析能力以及求解运算能力，属基础题7底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为ABCD【答案】D【解析】根据几何体的性质，判断出球心的位置，进而求得球的半径和体积。【详解】侧面为等边三角形，所以四棱锥为正四棱锥从顶点向底面作垂直，则垂足即为底面正方形的中心O因为正方形边长为1，所以O到顶点与到正方形四个顶点的距离均为 所以O即为球心，球的半径为所以 所以选D【点睛】本题考查了球的基本概念和空间几何体的结构特征，关键是找到球心的位置，属于基础题。8已知的内角，的对边分别是，且，若的外接圆半径为，则的周长的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】先根据正弦定理与余弦定理化简条件得C，再根据正弦定理得c，最后根据余弦定理求最大值，由三角形三边关系确定范围，即得的周长的取值范围.【详解】因为，所以，,因此.即,因为,所以,选B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.二、多选题9如果，给出下列不等式，其中一定成立的不等式是( )ABCD【答案】BD【解析】根据不等式的性质即可求解。【详解】解：当 时， 选项均不成立。对于选项 , ，知成立。对于选项 , ，正确，故选：.【点睛】本题考查不等式的性质，属于中档题。10在数列中，若(，p为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为( )A若是等方差数列，则是等差数列B若是等方差数列，则是等方差数列C是等方差数列D若是等方差数列，则(，k为常数)也是等方差数列【答案】ACD【解析】利用等方差的定义和等差数列的定义一个一个地进行演算，能够推出不正确，其余的都正确【详解】解：对于, 是等方差数列，可得(，p为常数)，即有是首项为，公差为 的等差数列，故正确；对于 ，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以不正确；对于，数列中， ，所以数列是等方差数列，故正确； 对于 , 数列中的项列举出来是： 数列中的项列举出来是： , 所以，数列是等方差数列，故正确故选： 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的定义和性质及其应用，解题时要注意掌握数列的概念三、填空题11已知不等式的解集为，则_【答案】11【解析】利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值【详解】不等式的解集为，方程的实数根为2和3，；故答案为：11【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题12在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b=1,则_【答案】2【解析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.13对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于_【答案】【解析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，根据勾股定理，以及基本不等式的性质进行求解即可【详解】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知，则，则三角形的面积，则三角形的面积，当且仅当a=b=取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查三角形面积的计算，利用基本不等式的性质结合勾股定理，三角形的面积公式是解决本题的关键14已知正数、的等差中项为1，则的最小值为_【答案】【解析】由题得x+y=2,再利用基本不等式求最值.【详解】由题得x+y=2, .当且仅当时取等.故答案为：9【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15三棱锥中，是的中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为_【答案】10.【解析】以B为顶点，三棱锥与四棱锥等高，计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解.【详解】设B到平面ACD的距离为h，三角形ACD面积为，因为是的中点，在上，且，所以,，所以，又=2，所以，所以.故答案为10.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.16设数列的前项和为，已知，则=_.【答案】【解析】由，可得,可化为，即数列为公比为，首项为的等比数列，所以，故答案为.四、解答题17设锐角的内角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（I）（II）【解析】（1）根据条件及正弦定理得到，于是可得所求角的大小（2）先由余弦定理得到，然后再根据正弦定理求出三角形外接圆的半径，进而可得圆的面积【详解】（1）由正弦定理及条件得，又三角形为锐角三角形，（2）在中由余弦定理得，设外接圆的半径为，则，外接圆的面积为【点睛】考查用正余弦定理解三角形的应用，解题时注意正弦定理中的比值与三角形外接圆半径间的关系，属于基础题18如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点. (1)求该三棱柱的表面积；(2)求异面直线AB与所成角的余弦值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）该三棱柱的表面积 ，由此能求出结果（2）取AC中点E，连结DE，C1E，则DEAB，从而C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C1D所成角的大小【详解】(1)正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积:.(2)取AC中点E，连结DE， D为棱BC的中点，是异面直线AB与所成角(或所成角的补角)，异面直线AB与所成角的余弦值为【点睛】本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题19已知数列为等差数列，公差，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）由题意可知，.又，.故数列的通项公式为.（2）由（1）可知， ，.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前项和.202015年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.（I）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f(n)，求f(n)的表达式；（II）这种汽车使用多少报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？【答案】(1) （万元）.(2) 13年报废最合算.【解析】分析：（1）先根据等差数列求和公式得维修总费用，再加上购买费用、保险费、养路费、汽油费得f(n)的表达式；（2）先列年平均费用，再根据基本不等式求最值,最后根据等号取法得结果.详解：（I）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为（万元） 所以 （万元） （II）该辆轿车使用n年的年平均费用为 =3.7（万元） 当且仅当 时取等号，此时n=13答：这种汽车使用13年报废最合算. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21在平面四边形中，已知，（1）若，求的面积；（2）若，求的长【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在中， 即 ,解得.所以.（2）因为,所以 ，, .在中，, . 所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.22已知数列an中，a1=1，a1+2a2+3a3+nan=（nN）（）证明当n2时，数列nan是等比数列，并求数列an的通项an；（）求数列n2an的前n项和Tn；（）对任意nN，使得 恒成立，求实数的最小值【答案】（）（） () 【解析】（）要证明数列nan是等比数列，应先求其通项公式，然后用等比数列定义证明即可由等比数列通向公式可求得数列nan的通项公式，进而可求数列an的通项an；（）要求数列n2an的前n项和Tn，应根据（）的结果求其通项公式，由通项公式的特点可用错位相减法求数列从第二项到第n项的和，再加第一项可得结果；（） 根据（）的结果，不等式可变为，利用基本不等式，可求得不等式右边的最大值为可求实数的最小值为【详解】（）证明：由a1+2a2+3a3+nan=，得a1+2a2+3a3+（n1）an1=（n2），：，即（n2），当n2时，数列na