高二数学 正射影和三垂线定理2 ppt.ppt

9 4 2正射影和三垂线定理 2 a c b 斜线上任意一点在平面内 复习回顾 1 平面 的斜线ac在 内的射影为 直线bc 注意 三垂线定理及逆定理 直线 射影 直线 斜线 三垂线定理 三垂线的逆定理 a 的射影 一定在斜线的射影上 若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 3 结论 过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等 则这条射线在平面内的射影是角平分线 abc c a o b 则co在平面aob内的射影为角aob的平分线 若 coa cob 垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段ab ac ad ae 中 哪一条最短 简称 垂线段最短 ob oc ab ac ob oc ab ac ab ac ob oc ab ac ob oc 2 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 3 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段及其它们在该平面内的射影 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段最短 一 射影定理 例1 道旁有一条河 彼岸有电塔ab 高15m 只有测角器和皮尺作测量工具 能否求出电塔顶与道路的距离 解 测得c d的距离等于20m 45 在路上取点c d使bc垂直于cd 且 cdb 450 bc是ac在地面上的射影 cd ac cdb 450 cd bc cd 20m bc 20m 在rt abc中 且cd bc 答 电塔顶与道路的距离为25m 例2 在正方体abcd a1b1c1d1中 p为dd1的中点 o为底面abcd的中心 求证b1o pa 名师 p50变式探究 二 定理的灵活应用 练习1 如图 正方体ac1中 在连接正方体任意两个顶点的直线中 哪些与直线ac1垂直 求证 ac1 平面a1bd 名师 p49考点1 练习2 已知p是平面abc外一点 pa 平面abc ac bc 求证 pc bc p是平面abc外一点pa 平面abc pc是平面abc的斜线 ac是pc在平面abc上的射影 bc 平面abc且ac bc 由三垂线定理得pc bc 证明 练习 直接利用三垂线定理证明 已知 pa 正方形abcd所在平面 o为对角线bd的中点 求证 po bd pc bd 3 已知 在正方体ac1中 求证 a1c b1d1 a1c bc1 2 已知 pa 平面pbc pb pc m是bc的中点 求证 bc am 1 2 3 1 pa 正方形abcd所在平面 o为对角线bd的中点 求证 po bd pc bd 证明 abcd为正方形o为bd的中点 ao bd 又ao是po在abcd上的射影 po bd 同理 ac bd pc bd ac是pc在abcd上的射影 2 已知 pa 平面pbc pb pc m是bc的中点 求证 bc am bc am 证明 pb pcm是bc的中点 pm bc pa 平面pbc pm是am在平面pbc上的射影 3 在正方体ac1中 求证 a1c bc1 a1c b1d1 在正方体ac1中 证明 同理可证 a1c b1d1 由三垂线定理知 a1c bc1 b1c是a1c在面bcc1b1上的射影 a1b1 面bcc1b1 且bc1 b1c 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件 解题回顾 怎么找 直线a一定要在平面内 如果a不在平面内 定理就不一定成立 例如 当b 时 b oa 注意 如果将定理中 在平面内 的条件去掉 结论仍然成立吗 但b不垂直于op 解题回顾 若a是平面 的斜线 b 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 若a是平面 的斜线 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 面abcd 面 面b1bcc1 面 直线a1c 斜线a直线ab 垂线b 面abcd 面 直线a1c 斜线a直线b1b 垂线b 若a是平面 的斜线 直线b 且b垂直于a在另一平面 内的射影则a b 若a是平面 的斜线 平面 内的直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 练习4 判断下列命题的真假 面abcd 面 直线a1c 斜线a直线b1b 垂线b 9 4 2正射影和三垂线定理 3 例1 已知o为三棱锥p abc的顶点p在平面abc上的射影 若pa pb pc两两垂直 求证 o是 abc的垂心 练习1 名师 p536 外 垂 内 例2 如图 rt abc中 abc 900 ab斜交 于a bc bb cc 求证 ab c 900 名师 p51考点 一条线段或一个直角三角形 一条线段或一个锐角三角形