高二数学 矩阵与变换课件选修42.ppt

第一节矩阵的概念 1 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 一 矩阵概念的引入 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2 某航空公司在a b c d四城市之间开辟了若干航线 如图所示表示了四城市间的航班图 如果从a到b有航班 则用带箭头的线连接a与b 四城市间的航班图情况常用表格来表示 发站 到站 这个数表反映了四城市间交通联接情况 二 矩阵的定义 由个数排成的行列的数表 称为矩阵 简称矩阵 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 主对角线 副对角线 例如 是一个实矩阵 是一个复矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 是一个矩阵 例如 是一个3阶方阵 几种特殊矩阵 2 只有一行的矩阵 称为行矩阵 或行向量 只有一列的矩阵 称为列矩阵 或列向量 称为对角矩阵 或对角阵 4 元素全为零的矩阵称为零矩阵 零矩阵记作或 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的 例如 记作 5 方阵 称为单位矩阵 或单位阵 同型矩阵与矩阵相等的概念 1 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同型矩阵 例如 为同型矩阵 线性变换 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 若线性变换为 称之为恒等变换 单位阵 线性变换 这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换 例2设 解 第二节矩阵的运算 定义 一 矩阵的加法 设有两个矩阵那末矩阵与的和记作 规定为 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例如 2 矩阵加法的运算规律 1 定义 二 数与矩阵相乘 2 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 设为矩阵 为数 定义 并把此乘积记作 三 矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵 是一个矩阵 那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 其中 例 设 例2 故 解 注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例如 不存在 矩阵乘法的运算规律 其中为数 若a是阶矩阵 则为a的次幂 即并且 注意矩阵不满足交换律 即 例设 则 但也有例外 比如设 则有 如果ab ba 称a与b是可换的 当a b可换时 可得 设a为n阶方阵 由于a与e可换 因此 例3计算下列乘积 解 解 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当时 显然成立 假设时成立 则时 所以对于任意的都有 3 矩阵多项式 设是一个m次的多项式 a为n阶方阵 记 其中e为n阶单位矩阵 则p a 称为矩阵多项式 例设 求p a 解 定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例 四 矩阵的转置 1 转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例5已知 解法1 解法2 定义 设为阶方阵 如果满足 即那末称为对称阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 五 对称与反对称矩阵 例6设列矩阵满足 证明 例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 所以c为对称矩阵 所以b为反对称矩阵 命题得证 定义由阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵的行列式 记作或 运算性质 六 方阵的行列式 定义 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵的伴随矩阵 七 伴随矩阵 故 同理可得 八 共轭矩阵 运算性质 设为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 第三节矩阵的逆 一 概念的引入 在数的运算中 当数时 有 其中为的倒数 或称的逆 在矩阵的运算中 单位阵相当于数的乘法运算中 的1 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩阵的概念 二 逆矩阵的概念和性质 例设 说明若是可逆矩阵 则的逆矩阵是唯一的 事实上若设和是的逆矩阵 则有 可得 所以的逆矩阵是唯一的 a的逆记为 即aa 1 a 1a e 例设 解 设是的逆矩阵 则 利用待定系数法 又因为 所以 定理1矩阵可逆的充要条件是 且 证明 若可逆 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 推论 证明 逆矩阵的运算性质 证明 证明 例1求方阵的逆矩阵 解 三 逆矩阵的求法 同理可得 故 解 例2 例3设 解 于是 例4 例5 解 给方程两端左乘矩阵 给方程两端右乘矩阵 得 给方程两端左乘矩阵 得 给方程两端右乘矩阵 解 例6 解 例7 第四节分块矩阵 一 矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵a 为了简化运算 经常采用分块法 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算 具体做法 将矩阵a用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为a的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 例 即 即 二 分块矩阵的运算规则 例 分块对角矩阵的行列式具有下述性质 例1设 解 则 又 于是 例2 其中 其中 例3设 解 第五节矩阵的秩 矩阵的秩 向量组 称为矩阵a的行向量组 反之 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 定义1矩阵a的行向量组的秩叫做矩阵a的秩 记作r a 证明不失一般性 可设d位于a的左上角 否则可以经过对调达到这一目的 而经过对调含有d的r 1阶子式只是改变若干次符号 仍等于零 即 下面证明a的前r行向量 1 2 r是行向量组 1 2 m的一个最大无关组 首先 1 2 r线性无关 否则其中某个向量可由其余r 1个向量线性表示 从而d 0 与假设矛盾 其次证明 r 1 r 2 m可由 1 2 r线性表示 为此作r 1阶行列式 l r 1 m 若k r dk中有两列相同因而dk 0 若k r 则dk为包含d的r 1阶子式 有假设dk 0 因此总有dk 0 将dk按最后一列展开 有 其中ai与k无关 是由l确定的一组常数 由于d 0 于是 即 所以 r 1 r 2 m可由 1 2 r线性表示 从而 1 2 r是a的行向量组的一个最大无关组 所以r a r 从以上的证明可以看出 d 0的r阶子式所在的行的r个行向量是a的行向量组的一个最大无关组 推论1若中有一个阶子式不等于0 则 例1 解 解将 1 2 3 4作为行向量组 构成矩阵 容易看出 a的2阶子式 a中包含d2的3阶子式有4个 其中 a中包含d3的4阶子式只有1个 即 经计算知 所以r a 3 即向量组 1 2 3 4的组等于3 且由d3位于前三行 知 1 2 3是该向量组的一个最大无关组 定理2矩阵a的秩等于其列向量组的秩 证at中的每个子式都是a的某个子式的转置 它们有相同的值 因此定理1的假设对at与a同时成立 从而 而at的行向量组就是的a列向量组 所以a的秩等于它的列向量组的秩 由定义1及定理2可知 第六节矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换 所用记号是把 r 换成 c 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质 具有上述三条性质的关系称为等价 定理1若矩阵a经过有限次初等行变换变成矩阵b 则a的行 列 向量组与b的行 列 向量组等价 1 如果矩阵a经过某一种初等行变换变为b 那么对第一 二种变换 结论是显然的 下面考虑第三种变换 因为 其余行不变 所以可由线性表示 证明设a的行向量组为 b的行向量组为 又其余行不变 所以可由线性表示 于是a的行向量组与b的行向量组等价 2 如果a经过有限次初等行变换变为b 由 1 即向量组等价的传递性 可知a的行向量组与b的行向量组等价 对列变换情形 可以同样证明 推论 定理2在初等行 列 变换下 矩阵的列 行 向量间的线性关系不变 证明以初等行变换为例 设a经过某种行变换化为b 记 从而线性相关当且仅当线性相关 并且当某个可由其余线性表示时 也可由线性表示 且表示系数相同 所以a的行向量组与b的行向量组具有相同的线性性 推论在初等行 列 变换下 矩阵的任意个向量的线性关系不变 从而它们有相同的线性相关性 例1求下列矩阵a的秩 上式最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵 它具有下述特性 每个阶梯只有一行 由此看出r a 3 从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩 还可看出这个矩阵的第1 2 4三列线性无关 因而矩阵的第1 2 4三个列向量是a的列向量组的一个最大无关组 继续实行行变换 还可化为最简单的形式 这个行阶梯形矩阵具有这样的特性 非零行向量的第一的非零元素为1 且含这些元素的列的其他元素都为零 这个矩阵称为矩阵a的行最简形 m n矩阵a经过初等行变换可化为行最简形 若再经过初等列变换 即可化为下面的最简形式 这个矩阵称为a的标准形 其中er是一个r阶的单位矩阵 r等于a的秩 因此a与b等价当且仅当a与b有相同的标准形 由此可知方阵a可逆的充分必要条件是a与e等价 例2设 1 求此向量组的秩 2 判断此向量组的线性相关性 3 求此向量组的一个最大线性无关组 4 将其余向量用这个最大线性无关组线性表示 解构成矩阵 第七节初等矩阵 定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算 应用广泛 一 初等矩阵的概念 所以 1 a的秩等于2 2 1 2 3 4线性相关