2018-2019学年华南师大附中高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省华南师大附中高一上学期期末数学试题一、单选题1已知向量，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】分析：根据向量的共线得到关于的方程，解方程可得所求详解：，且，解得故选C点睛：（1）根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，体现了方程思想在向量中的应用（2）运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合2已知平面向量，的夹角为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】分析：根据向量数量积的定义求解即可详解：由题意得故选B点睛：本题考查用量数量积定义的应用，考查学生的计算能力，属于基础题3已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】直接利用扇形的面积公式计算即可【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，扇形的面积故选：【点睛】本题考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力，属于基础题4如图所示，向量在一条直线上，且则( )ABCD【答案】D【解析】根据向量加法的三角形法则得到 化简得到故答案为D5若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得，从而求得的值【详解】解：，即，则，故选：【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，求得，是解题的关键，属于基础题6函数的部分图象如图所示，则关于的说法正确的是（ ）A对称轴方程是BC对称中心是D【答案】D【解析】根据函数图象求出函数解析式，再一一验证.【详解】解：由图可得，且，解得，又函数过，即，则，解得，令，得，故函数的对称轴为，令，得，则函数的对称中心是故正确的为故选：【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于基础题7函数是（ ）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】试题分析：=，所以，又，函数为奇函数【考点】二倍角公式，诱导公式8已知向量，则向量、的夹角为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出，代入我们易求出向量与的夹角【详解】解：，设向量、的夹角为，则，又，得，故选：.【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属于中档题9已知，为锐角，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式求出，最后利用二倍角公式解得.【详解】解：依题意，为锐角，又，为锐角，得，；，得：，因此，故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换的应用，属于中档题.10若锐角满足，则（ ）ABCD3【答案】A【解析】由已知求得，然后利用倍角公式化切为弦求解【详解】解：由锐角满足，得，则故选：【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是中档题11ABCD1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得： .点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12在直角中，为边上的点，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件解不等式求出的最小值【详解】解：由题，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.则，又，若，则，得：，解得.又，因此，.即故选：【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算问题，属于中档题二、填空题13已知向量若则_【答案】-2.【解析】分析：利用向量垂直的条件，结合题中所给的向量坐标，列出方程求解即可.详解：根据题意，由，可得，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关利用向量垂直，求其坐标所满足的条件，对应的知识点是向量垂直，向量的数量积等于零，应用向量数量积坐标公式求得结果.14已知tancos，那么sin _.【答案】【解析】由于，则sincos2，所以sin1sin2，解得sin.又sincos20，所以sin.故答案为.15已知向量、，其中，且，则_.【答案】【解析】首先求出，再根据即可得解.【详解】解：，即，故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积，及向量的模的计算，属于基础题.16设当时，函数取得最大值，则_.【答案】；【解析】f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos ，当x2k(kZ)时，函数f(x)取得最大值，即2k时，函数f(x)取到最大值，所以cos sin .三、解答题17已知平面上四点，.（1）求面及；（2）求在的方向上的投影.【答案】（1），；（2）3【解析】（1）直接根据向量的坐标表示及运算计算可得.（2）根据向量数量积的几何意义计算可得.【详解】解：由题，；（2）在的方向上的投影为.【点睛】本题考查平面向量的数量积及几何意义，属于基础题.18已知.（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用诱导公式计算可得;（2）首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】解：（1）；（2）解：若是第三象限角，因此，为第三或第四象限角，.【点睛】本题考查诱导公式的应用，两角差的余弦公式，属于基础题.19已知函数.（1）求图象的对称中心和单调递减区间；（2）由图象经过怎样的先平移后再伸缩变换，变成的图象.【答案】（1），；，；（2）见解析【解析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的性质解答.（2）根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】解：（1）；.令，得，因此，的对称中心是，.令，得，因此，的单调递减区间是，.（2）由题，先将的图象向右平移个单位，得到，接着把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到，最后把图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍，变成的图象.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.20如图，在中，点为直线上的一个动点，且满足（1）若，用向量表示；（2）若，且，请问取何值时使得？【答案】（1） （2） 【解析】分析：（1）由和向量减法的运算法则可得结果（2）将和都表示为组合的形式，根据可求得的值详解：（1）由题意得，(2)由题意知.，解得点睛：本题考查向量的分解和数量积的运算，解题时要把握住为了使得解题简单、方便，可使用同一组基底将所有向量表示出来另外，解题时还要注意向量共线的表示及其运用21如图，有一块扇形草地，已知半径为，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，、分别在线段、上，且线段平行于线段.（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；（2）设，当为何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？【答案】（1）；（2），【解析】（1）作于点，交线段于点，连接、，求出，可得矩形的面积；（2）设，求出，可得矩形的面积，再求最大值【详解】解：（1）如图，作于点，交线段于点，连接、，又，因此，.（2）设，则，因此，即时，所以，当，.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，属于中档题22已知aR，函数f（x）=log（1）当a=1时，解不等式f（x）1；（2）若关于x的方程g（x）=f（x）log3（ax+1）有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设0a1，若对任意t，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围【答案】（1）（0，）（2）（3）【解析】（1）利用对数函数的单调性解不等式；（2）函数的零点转化为方程的根；（3）利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，再作差变成不等式恒成立，最后构造函数求最值【详解】（1）a=1时，由f（x）1得，+13，0x，不等式的解集（0，）（2）g（x）=0时，log3（+a）=log3（ax+1），+a=ax+10，x=1，a1，故a的取值范围是（1，+）（3）f（x）=log3（+a）在定义域内为减函数，在区间t，t+1内f（x）