2.4 用因式分解法求解一元二次方程.doc

2. 用因式分解法求解一元二次方程教学设计学校：西安市沣东新城高桥中学 教师：华亭教材分析本节是在学生学习了一元二次方程的解法配方法和公式法的基础上展开的，它与分解因式相联系，是解一元二次方程的重要方法之一，因式分解法解一元二次方程的学习，体现了解题策略的多样性，激发学生善于思考，勇于创新的精神，同时本节的学习还渗透了初中学学的两种重要的思想方法，类比法和转化归法。所以本节课不仅方法重要，里边所蕴含的的数学方法对今后的学习也是大有帮助的。学情分析从已有知识分析，学生在此之前，已经学习了用配方法、公式法和分解因式，为本节课的学习奠定了基础。从相关的活动经验看，九年级学生在经历这些知识的形成过程中，已经积累有了一定的独立思考、合作交流的经验，具备了一定的合作与交流的能力为本节的学习做好了铺垫。根据教材的内容和对学情的了解，制定本节课的教学目标为：教学目标知识与技能目标1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。过程与方法目标1、通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程的一种简便、特殊的方法，了解这种方法的数学思想，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程；2、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。情感与态度目标1、经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，培养学生发散思维的能力；2、通过应用分解因式法解一元二次方程的成功体验，进一步培养学生良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。教学重点 理解因式分解法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; 教学难点将方程化为一般式后，对方程左侧进行因式分解教法与学法教法：本节课我主要采用启发式、类比法、探究式的教学方法。教学中力求体现“类比-探究-归纳”的模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。同时本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过观察与演示，总结因式分解规律，从而突破难点。学法：学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性、活动性和创造性。教学过程（一） 温故知新，导入新课1、用配方法解一元二次方程的关键是什么？2、用公式法解一元二次方程的关键是什么？答：1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为： (x+m)2=n（n0）的形式。 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为：一般形式。3、选择合适的方法解下列方程：x2-6x=7 3x2+8x-3=0目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心。（二）探究新知，形成概念1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？生：齐答行。出示问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：学生独自完成，教师巡视指导，学生交流答案，并说明用了什么方法.学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程：x2=3xx2-3x=0a=1,b= -3,c=0 b2-4ac=9 x1=0, x2=3 这个数是0或3。学生B：:设这个数为x，根据题意，可列方程：x2=3x x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2) 2 (x-3/2) 2=9/4 x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2 x1=3, x2=0这个数是0或3.师：你们还有更简单的解法吗？ 生：疑惑 师：将上面的方程先化成一元二次方程的一般形式，观察方程的左边有什么特点？解：设这个数为x，根据题意，可列方程：x2=3x x2-3x=0方程的左边能分解因式吗？分解之后的方程是什么？即x(x-3)=0这个方程能直接求解吗？我们下面来了解一个原理.师：如果ab=0，那么a和b取值有什么特点？学生交流后，老师明确，大家说的很好，下面我来总结一下：师：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思.根据这个原理，所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，（中间应写上“或”字。）得到两个一元一次方程，所以解得： x1=0, x2=3 这个数是0或3。我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用ab=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用因式分解法来解一元二次方程。目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.通过因式分解法的探究，进一步点明了因式分解的理论根据及实质,总结了本节课的重点.（三）操作演练、形成技能解下列方程 (1)、 5X2=4X (仿照引例学生自行解决) (2)、 X-2=X(X-2) (师生共同解决) (3)、 (X+1)2-25=0 (师生共同解决) 解：（1）原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0 X=0或5X-4=0 X1=0, X2=4/5 解方程（2）时因为方程的左、右两边都有(x-2),所以我把(x-2)看作整体，然后移项，再因式分解求解。解：(2)原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2 ， X2=1学生：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。学生：方程(x+1) 2- 25=0的右边是0，左边(x+1) 2-25可以把(x+1)看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可因式分解。解：(3)原方程可变形为(X+1)+5(X+1)-5=0 (X+6)(X-4)=0 X+6=0或X-4=0 X1=-6 ， X2=4师：好这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。（四）拓展应用、巩固练习. 1、解下列方程：（1） (X+2)(X-4)=0 (2 ) X2-4=0 (3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？（对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用，在深化，让学生达到最大收获）3、继续思考本节的引例，判断下列方法是否正确，请同学们先交流，看清楚后，在进行发表意见，.若：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x 两边同时约去x,得 x=3 这个数是3。这种方法不对，因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明，而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根.（五）回顾反思、感悟与收获师生互相交流总结1、因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。2、在应用因式分解法时应注意的问题。3、因式分解法体现了怎样的数学思想?目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。（六）布置作业、知识延伸 课本49页习题2.7 1、2（1）（3）题。教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”。在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法。在教学过程中，我们先复习前面所学的两种方法，既为巩固了前面所学知识，又为本节课做好铺垫。使学生感到熟悉不陌生。本节由一个实际问题的求解引入，通过用原来的方法解决后，又提出还有没有更好的方法？激发学生的思考，引发学习的兴趣，从而引出对新解法的思考和讨论。在对新解法探究的处理上，教师为学习铺路搭桥，引导学生进行思考和探究，使学生逐步明确解法的依据，解题的思想和步骤，为用分解因式解一元二次方程作了铺垫，学生能够比较顺利的掌握用因式分解法解一元二次方程，从而树立了学习的信心。在此基础上，进行例题与的练习的讲解和训练，巩固学生对新方法的应用，训练