4.2 黄金分割.doc

北师大版九年级上探索三角形相似的条件黄金分割辽阳市第二中学数学组高菲444 黄金分割一、教学设计思路1对教材的分析【1】教学目标知识技能目标：(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法(2)会进行黄金分割的有关计算过程方法目标：(1)经历黄金分割的引入及寻找黄金分割点的探究过程(2)体会数形结合思想在解决数学问题中的使用情感态度目标：在现实情境中体会黄金分割的文化价值,感受数学之美【2】重点、难点重点：黄金分割的定义，以及简单的应用。难点：黄金分割的作图及黄金比的比值的理解。【3】本节课与前后知识的内在联系本节课的内容是前面线段的比、成比例的线段等相关内容在现实生活中的运用，在建筑、艺术上都有较多的体现。从另外一方面，它也是线段的比、成比例的线段等枯燥乏味的概念在在现实生活中的充分体现。在本节课的内容中设置了丰富的问题情境，展现了知识的发生、发展的过程。2对学习者的分析【1】学生学习本节内容的认知基础是“成比例线段”及“相似三角形的判定”。【2】学生的认知特点、一般容易出现的学习障碍或困难：学生学习本节内容时，有一个很大的障碍就是在前面刚学习“线段的比”还是“知其然而不知其所以然”，现在又用“线段的比”来定义“黄金分割”，使学生会更加的“糊涂”。另外，很容易造成入门容易而深入难的状况，即还是“知其然而不知其所以然”，只学得一个“皮毛”。3.教学设计的大致构思【1】本节课预期达到的学科教学目的了解黄金分割，体会其中的文化价值，掌握黄金分割的定义、作法，并能在实际生活中应用黄金分割去分析问题和解决问题，培养学生的应用知识去分析问题和解决问题的能力。【2】教学的主要环节发现美（产生问题）探索美（研究问题）应用美（解决问题）创造美（拓展问题） 欣赏美（发掘）延伸美（巩固）收获美（总结）分享美（提升）在整个的教学的设计中，教师只起到一个引导的作用，让学生尽可能变为学习的主体，教师设计问题，学生解决问题，更多的时间是让学生思考与讨论，自己解决问题。整个课堂是以引导和问题为主线，学生自主探究的方式来完成本节课。二、教学过程描述（一）发现美教师活动：前面我们学习了成比例线段和图形的相似，今天我们继续往下学习。首先请同学们观察图片，脸型、五官相同，只是改变了眼睛位置的3张脸，哪个更美？我们再观察一下第二幅对比照片，芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？（教师利用ppt演示为学生呈现图片。）为什么把Angelababy的眼睛改变一下位置，她就没有原来好看了？为什么芭蕾舞演员踮起脚尖这一个简单的动作就可以使她看起来更加和谐、美丽？这就要用到我们今天要学习的知识黄金分割。（写出标题）【设计意图：通过图片中人物眼睛位置的变化、，芭蕾舞演员脚尖的改变。让学生初步感受黄金分割在生活中给我们带来的美，激发学生学习的兴趣，为下面的学习打下基础。同时也引出本节的标题】（二）探索美探究活动（一）1.课前，同学们测量了五角星中特定线段的长度，并计算出了比值。哪位同学能展示一下你测得的结果？从上图选择一个五角星图案，度量线段AB、AC、BC的长度，并完成表格：（所有数据精确到0.1cm）ABACBC2我们发现，这里与的值相等，你们的测量结果相等吗？虽然我们都得到了相等，但数学是一门非常严谨的学科，用估计的值不能得出结论，所以，我现在用几何画板向大家展示一下得到的精确结果。3.五角星有点复杂，我们可以把问题简单化，只留下这条线段。我们发现，刚刚研究的实际上是这样一个问题：一条线段AB被一点C所截，分成两条线段AC、BC，这就是我们今天研究的黄金分割，请同学们看一下黄金分割的定义。（1-2-1朗读）一般地，点C把线段AB分成两部分AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，C叫做AB的黄金分割点，叫做黄金比。（教师板书：一、定义：如果，那么称线段AB被点C黄金分割，C叫做AB的黄金分割点，叫做黄金比。）4.教师与学生一同剖析概念： 1、点在线段AB上。2、 。3、黄金比还可以是。4、一条线段有两个黄金分割点。5看俩同学们已经掌握黄金分割的定义了，那我们来做个小测验，补全黄金分割的定义。教师应关注：（1）多少学生通过独立思考就能解决上述的问题。（2）学困生的参与度。【设计意图：学生从感性认识提升到理性认识。根据设置的问题串学习黄金分割的概念，培养学生分析问题的能力，为下个环节进行铺垫。】探究活动（二）教师活动：这里的黄金比究竟是多少呢？我们通过这道题一起来探究一下。1、问题一：已知线段AB，C为线段AB的黄金分割点，满足。求的比值？先给同学们一些时间思考。通过刚刚的思考，我相信有些同学已经有了答案，但是我通过观察发现还有一些同学面露难色，对于没有思路的同学，我这里给一点小提示。两分钟时间，小组讨论。时间到，哪个小组能将你们的讨论结果展示给大家。还有其他做法吗？学生活动：学生自主探究后，与同组同学分享自己的想法，交换彼此的意见与想法。学生展示求解的思路与方法。一种解法 解：设AB=1，AC=x，则BC=1-x，即，用配方法解得x=0.618 二种解法 通过设K的形式来求比值。（根据情况合理补充）解设=K,则AC=AB*KBC=AB-AC =AB- AB*K解得 k=2、两种形式分析黄金分割。3、探索完黄金比之后，我们来做两道小测验：（1）（2）线段AB上有一个点C，如果，那么点C是线段AB的黄金分割点吗？教师活动：教师点拨学生的思路与方法。鼓励学生用不同的方法进行求解。如果有学生对第一种方法不理解要给与解释。特别提示：黄金分割必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。而黄金比不是黄金分割专有的，只要满足这样的比比例就是黄金比。教师应关注：（1）在讨论过程中各小组的探究方法。（2）在展示交流中学生能否清晰的表达自己的想法。【设计意图：利用方程思想推导出黄金比，培养学生演绎推理的能力。为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；学生在合作交流中互相帮助，共同提升。】三、应用美那好同学们我们来看下面的问题：下列矩形中，哪个看起来更美、更舒服？它之所以看起来很舒服，正是因为它的宽与长的比是黄金比。生活中，这样的例子有很多。比如下面这个问题。画面展示的是古希腊时间的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形，画成如图中的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么，我们可以惊奇的发现请你们想一想：1、点E是AB的黄金分割点吗？2、矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗？观看PPT演示的内容，观察与思考、交流、讨论、解决问题。解：由，可以得到 即 所以点E是AB的黄金分割点换一句话讲，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比。像这样，宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形。生活中，黄金矩形的例子有很多，大到庄严的五星红旗，小到我们每天可见的书桌，都是黄金矩形。其实我们以前还学习过一种特殊的图形，黄金三角形。在学习等腰三角形一节时，我们提到了一个顶角为等腰三角形，它就是黄金三角形，有兴趣的同学可以课下研究一下，它的底边与腰的比就是黄金比。教师活动：黄金分割应用于各行各业，有着悠久的文化价值。请同学们在次欣赏黄金分割带来的美。教师利用PPT再次呈现黄金分割给我们的生活带来的美。欣赏图片，感受黄金分割悠久的文化历史和黄金分割在人类历史上的作用和影响。【设计意图：将黄金分割应用于实际的生活中展示黄金分割的文化价值，将生活中的实际问题抽象出几何问题，反映了数学来源于实际生活，产生于人的需要。同时也检验了学生对前面探究活动的认识程度。也体现了知识的发生过程，解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。】四、创造美关于黄金分割的知识，我们已经掌握很多了，但总有一种纸上谈兵的感觉，我知道线段上满足这样条件的点是黄金分割点，但是单给你一条线段，你能不能做出黄金分割点呢？如果黄金比是，我们可以很容易做出，但就有些麻烦了。我们需要想办法做出，同学们想一下怎么做？可以用勾股定理，两条直角边，一边为1，另一边为2，斜边就是，做出剩下的就容易了。请同学们看屏幕，我们采用如下方法就可以得到黄金分割点：如图： 已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=AB；（2）连接AD，在AD上截取DE=DB；（3）在AB上截取AC=AE点C就是线段AB的黄金分割点。关于黄金分割点的做法还有很多，感兴趣的同学可以课下查阅资料了解。学生活动:根据学生对问题分析的情况来说明点C为什么是线段AB的黄金分割点。学生可有想法就说，哪怕只是其中的一小步。教师活动：引导学生作长度为的线段；教师应关注：（1）学生能否用语言准确地表达自己的观点。（2）学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中。【设计意图:将本题的设计由PPT的动态演示向学生介绍一种作黄金分割的方法，从而也巩固学生对黄金分割的认识。】五、欣赏美说了这么多，同学们已经迫不及待的想知道黄金分割既然这么美，它在生活中到底有哪些应用，现在我们就一起来看一下。芭蕾舞演员、奥黛丽赫本和Angelababy的脸、黄金分割出最美丽的脸庞、维纳斯雕像、巴台农神庙和巴黎圣母院以及联合国总部大厦都是黄金矩形、苹果的logo。六、延伸美1、已知线段AB，点P是它的黄金分割点，APBP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）AS1S2 BS1S2 CS1=S2 DS1S22、点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段AC的长度3、高老师的上身长约66cm，下身长约100cm，我要穿约多高的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果？（精确到0.01）教师应关注：（1）计算的准确性。（2）学生是否认真观察并思考。【设计意图:这两道练习题设定目的是让学生对本节课的知识灵活掌握，体会数学来源与生活同时也为生活服务。】七、收获美我们共同探究黄金分割，谈谈你在本节课的收获？及你的困惑？在学生自由发言的基础上，师生共同总结：本节课学习的重点知识是黄金分割的概念、黄金比，明确如何来判断一条线段的黄金分割点。黄金分割应用于我们生活中的各行各业。我们应用了模型思想、方程思想来探索出黄金比值。更重要的是我们同体会到了黄金分割带给我们的美。【设计意图:鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动。同时也培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识。】八、分享美1、查阅资料了解黄金分割，发现你身边黄金分割。2、为你的妈妈设计满足她的黄金比的高跟鞋。课堂检测：（时间：5分钟）1、已知点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则下面的等式成立的是（ ）A、 B、 C、 D、2、如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点.试确定支撑点C到端点A的距离以及支撑到端点B的距离。 【设计意图:在课堂教学中课堂检测是不可缺少的重要环节，它及时检测学生对本节课知识的掌握。】、【板书设计】黄金分割一、 定义：如果，那么称线段AB被点C黄金分割，C为线段AB的黄金分割点。二、黄金比：叫做黄金比。=0.618三、应用四、做黄金分割点 【教学反思】1.教师的的教学流程中就让学生