人教A版高中数学必修5第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法教案(7).docx

第1讲数列的概念及简单表示法教学目标：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数anf(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.已知数列an的前n项和Sn，则an诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)一个数列中的数是不可以重复的.()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()2.(2016保定调研)在数列an中，已知a11，an12an1，则其通项公式为an()A.2n1 B.2n11 C.2n1 D.2(n1)解析法一由an12an1，可求a23，a37，a415，验证可知an2n1.法二由题意知an112(an1)，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.答案A3.(2016山西四校联考)已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an()A.2n11 B.2n1 C.2n1 D.2n1解析当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列，an122n12n，an2n1.答案B4.(2015江苏卷)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_.解析a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，将以上n1个式子相加得ana123n，即an，令bn，故bn2，故S10b1b2b102.答案5.(人教A必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.答案5n4考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5，55，555，5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5).(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故所求数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9，99，999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】 (1)数列，的一个通项公式an_.(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式an_.解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n.(2)数列an的前4项可变形为，故an.答案(1)(1)n(2)考点二由Sn与an的关系求an【例2】 设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式.解(1)令n1时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列.所以an232n1，an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.规律方法数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示.【训练2】 (1)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A.2n1 B.C. D.(2)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.解析(1)Sn2an1，当n2时，Sn12an，anSnSn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，an(n2).当n1时，a11，anSn2an12.(2)由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.答案(1)B(2)(2)n1考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】 (1)在数列an中，a11，an12an3，求它的一个通项公式为an.(2)在数列an中，a12，an1ann1，求an.(3)已知数列an满足a11，anan1(n2)，求an.解(1)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3).令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.bn42n12n1，an2n13.(2)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(3)法一因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1，以上(n1)个式子的等号两端分别相乘得ana1.法二因为ana11.规律方法已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.(1)当出现anan1f(n)时，用累加法求解；(2)当出现f(n)时，用累乘法求解；(3)当出现an1panq时，将an1panq的递推关系式可以化为(an1t)p(ant)的形式，构成新的等比数列，其中t.【训练3】 (1)(2016合肥一模)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.(2)在数列an中，a11，Snan，则an_.解析(1)由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足).(2)由题设知，a11.当n2时，anSnSn1anan1.，3.以上(n1)个式子的等号两端分别相乘，得到，又a11，an.答案(1)32n12(2)考点四数列的单调性及应用【例4】 已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设cnabn，证明：当且仅当n3时，cn1cn.(1)解当n1时，a1S14.对于n2，有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.综上，an的通项公式an4n.将n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11.(求bn法一)对于n2，由Tn12bn1，Tn2bn，得bnTnTn1(bnbn1)，bnbn1，bn21n.(求bn法二)对于n2，由Tn2bn，得Tn2(TnTn1)，2Tn2Tn1，Tn2(Tn12)，Tn221n(T12)21n，Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n.综上，bn的通项公式bn21n.(2)证明(法一)由cnabnn225n，得.当且仅当n3时，1，即cn1cn.(法二)由cnabnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22.当且仅当n3时，cn1cn0，即cn1cn.规律方法(1)单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an1与an(nN*)的大小，若an1an恒成立，则an为递增数列；若an1an恒成立，则an为递减数列.用作差法判断数列增减性的步骤为：作差；变形；定号；结论.(2)求数列an的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项.【训练4】 已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an(1)n1.(2)由(1)得Sn1当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.思想方法1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系：an3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.易错防范1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.3.在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式是an等于()A. B.cos C.cos D.cos 解析令n1，2，3，逐一验证四个选项，易得D正确.答案D2.设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()A. B. C.4 D.0解析an3，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.答案D3.(2016黄冈模拟)已知数列an的前n项和为Snn22n2，则数列an的通项公式为()A.an2n3 B.an2n3C.an D.an解析当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn12n3，由于a1的值不适合上式，故选C.答案C4.数列an满足an1an2n3，若a12，则a8a4()A.7 B.6 C.5 D.4解析依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即an2an2，所以a8a4(a8a6)(a6a4)224.答案D5.(2015石家庄二模)在数列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN*)的个位数，则a2 015()A.8 B.6C.4 D.2解析由题意得a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015a33565a52.答案D二、填空题6.在数列an中，a11，对于所有的n2，nN*，都有a1a2a3ann2，则a3a5_.解析由题意知a1a2a3an1(n1)2，an(n2)，a3a5.答案7.(2016潍坊一模)已知数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.解析当n1时，a1S1a1，a11.当n2时，anSnSn1anan1，.数列an为首项a11，公比q的等比数列，故an.答案8.(2015太原二模)已知数列an满足a11，anan1nanan1(nN*)，则an_.解析由已知得n，n1，n2，1，an.答案三、解答题9.根据下列条件，确定数列an的通项公式.(1)a11，an13an2；(2)a11，an1(n1)an；(3)a12，an1anln.解(1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.(2)an1(n1)an，n1.n，n1，3，2，a11.累乘可得，ann(n1)(n2)321n！.故ann！.(3)an1anln，an1anlnln.anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，ana1lnlnlnln n.又a12，anln n2.10.设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(aR且a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围.解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，又S131a3(a3)，故数列Sn3n是首项为a3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12a30a9.又a2a13a1.综上，所求的a的取值范围是9，3)(3，).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知数列an满足an1anan1(n2)，a11，a23，记Sna1a2an，则下列结论正确的是()A.a2 0141，S2 0142 B.a2 0143，S2 0145C.a2 0143，S2 0142 D.a2 0141，S2 0145解析由an1anan1(n2)，知an2an1an，则an2an1(n2)，an3