人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案(6).doc

等差数列的前n项和 授课类型：新课【教学目标】一、知识与技能（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法倒序相加法，记忆公式的两种形式（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值（3）会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的数列问题通过对等差数列前n项和公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学和一些典型例题的讲解，使学生掌握解决数列的问题，体会方程思想、整体思想三、情感态度与价值观通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感【教学重点】探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会用公式分析解决一些实际问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系【教学难点】等差数列前n项和公式推导思路获得【教学方法】探究式教学法.【教学过程】创设情境，引入新课：情境：有一次，老师和高斯经过建筑工地，建筑工地上放着一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，100，老师问：高斯，你知道共有多少根圆木吗？ 提出问题：如何快速计算出1+2+3+99+100=? （设计意图：通过对课本的情境改变引入，既增加其趣味性，又可以引发学生对等差数列求和问题的兴趣） ：高斯算法高斯很快算出来他的算法是：（1+100）+（2+99）+（50+51）=5050学生活动：分组讨论，展示算法教师活动：在这过程中引导学生观察等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和的规律 提醒注意：使用本课件时，由于高斯算法比较巧妙，蕴涵了求等差数列前n项和的一般规律性，在教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律（设计意图：一方面为了让学生提高观察分析能力，另一方面也为接下来求前n项整数和1+2+3+4+n的和、求一般等差数列的前n项和做好铺垫） 启发：高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，n，前100项的和的问题但这只是前100项的和，我们想知道前n项的和怎样求，更想知道有没有一个公式来表示这就是我们今天要研究的问题问题：计算：1+2+3+n的和学生活动：由高斯算法启发后，计算它的和教师活动：分析其实质是求一个具体等差数列前n项和（设计意图：高斯算法和一般等差数列求法还有一定的距离，因为设计了求1+2+3+n的问题，目的是引发求等差数列前n项和的一般方法倒序相加法这样，很自然地过渡到一般等差数列求和问题）探索研究（1） 合作探究探究：高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到一般等差数列的前n项和吗？（设计意图：这里的“探究”是为了让学生在前面的基础上，把数列1+2+3+n的本质问题规律推广到一般等差数列，获得等差数列求和的思路，同时应向学生强调研究问题时从特殊到一般的方法） 借此东风，引领学生合作交流，推导出等差数列前n项和 学生活动：观察分析，并且分组讨论合作教师活动：让学生分组合作交流，鼓励学生推导出来，通过分析学生的各种做法，总结归纳，同时通过黑板板书其过程（具体见课件） 由上解法，鼓励学生思考另外的解法，教师总结 另解： 由+，得 =（设计意图：通过两种不同的方法推导等差数列求和公式，其本质是让学生掌握其推导方法倒序相加法，理解其推导过程也培养学生发散思维和探究合作的精神） 公式变形：得出等差数列求和公式后顺其自然地将公式变形，引申出求和的另外一个公式：教师活动：引导学生把代入中，观察所得学生活动：得 思考：比较这两个公式，如何记忆公式，从哪些角度反应等差数列的性质？教师活动：结构上：由五个元素构成，应用：知三求一教师活动：同时引导学生如何记忆公式用梯形面积公式来说明等差数列前n项和公式，这里对图形进行了“割”这种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式（见课件）（设计意图：为了让学生认识公式本身的结构特征，前者反应等差数列的任意第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质，后者反映等差数列前n项和与它的首项、公差之间的关系，同时让学生根据我们所学的知识对比记忆公式并准确运用公式，弄清楚两个公式的区别和联系）提醒：（1）对于第一个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了；对于第二个公式，只要知道等差数列首项、公差和项数就可以求和了，但实际解题时可根据题目给出的已知条件选择合适的公式来解决（2）使用本课件时第9张幻灯片要点击公式记忆进入第10张，之后讲完公式的记忆后要返回第9张幻灯片，这样教学流程才流畅、自然之后点击公式应用按钮进入公式应用（2）公式应用练一练：教师活动：巡查学生做题目的情况，根据学生情况分析点评练一练学生活动：动手练一练（设计意图：对于刚学完公式的学生来讲，直接学习课本例1难度稍微大了点，因此设计了以上两个练习来让学生熟悉、巩固公式）（3）例题讲解例12000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【分析】对于应用问题，首先应仔细阅读、审清题意然后，抽象、提炼出相关数据，找出关键词并分析出它们的本质关系，把实际问题转化为相应的数学问题【解析】根据题意，从20012010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中， d=50那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元【点评】通过此题引导学生逐步按照下列步骤来进行：（1）先阅读题目；（2）引导学生提取有用的信息，构建等差数列模型；（3）写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解可能出现的错误：（也是数列的实际问题中常见的、典型的错误） 理解错题意，把前n项和与最后一项混淆；项数；忘记答或者写单位（设计意图：主要是培养学生从实际情景中发现等差数列模型，并用相关知识解决问题，教学时，由于例1题目比较长，可以先让学生阅读题目，从中提出有用信息，构建等差数列模型，然后写出等差数列的首项公差，再用公式求解）一题多解例2已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？【分析】最直接的思路是利用方程思想：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前n项和的公式【解析】 解：由题意 ，将它们代入公式 ，解这个关于与d的方程组，得到，所以（设计意图：目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量，本例题的教学要让学生体会方程的思想，要引导学生认识到等差数列前n项和公式，就是一个关于的方程，使学生能把方程思想和前n项和公式相结合，解决等差数列前n项和问题）教学中鼓励引导学生探讨其他解法：【另解法】，得 ，所以 -，得，所以，把代入得a1=4，所以有（设计意图：通过鼓励学生一题多解，培养学生的发散思维，更好培养了学生的能力）再通过下列的变式探究解决数列问题常用的整体思想一题变式1已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220求前30项的和【分析】除了引导学生用刚学过的方程思想与函数思想来解决外，再引导学生合作探究用整体思想来解决【解析】由等差数列的性质，不难推得 、 和 成等差数列， 所以有 解得：前30项的和为2730【点评】上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用了数学中的整体思想来快速求出的，要注意体会这种思想在数学中的运用（实际上，换元法体现的也是整体思想）变式提高下面再通过一个题目体现一下在等差数列中整体思想的广泛运用：1 在一个等差数列中，已知 ，求教师活动：引导学生合作探究出：从而进一步体会一下整体思想所反映的数学本质例3已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【分析】这是一个关于前n项和的逆向问题，想一想的关系，然后列出 ，看到它们的关系，就会直接得到了【解析】根据 与 ，可知，当n1时，当n=1时， 也满足式所以数列的通项公式为由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列【点评】（1）引领学生总结出已知前n项和，求通项公式的方法；（2）用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的（3） 变式训练（详细解法见课件）（设计意图：例3实际上给了一个根据数列前n项和公式判断它是否是等差数列的依据，这反应它前n项和公式本身结构特征上：一个常数项为0的关于n的二次型函数）提醒：在教学过程中，要提醒学生注意：这种已知数列的来确定的方法对于任何