人教A版高中数学必修5第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法导学案.doc

第二章 数列21 数列的概念与简单表示法（第1课时）学习目标1理解数列的概念，了解数列的分类；2理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式）；3能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。要点精讲1按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第位的数称为这个数列的第项。数列：，简记为。2项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。3从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。4数列可以看成以正整数集（或它的有限子集为定义域的函数。如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如三角形数依次构成的数列的通项公式；正方形数依次构成的数列的通项公式。范例分析例1（1）数列存在于现实生活，举出几个数列的例子。（2）数列和数列是同一数列吗？（3）下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？学生的学号由小到大构成的数列：1，2，3，4，55。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”每日得棰长构成的数列：某人2004年112月份的工资，按月份顺序排成的数列：1500，1500，1500，1500。的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂构成的数列：，。例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）；（2）；（3）；（4）。引申：根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1） （2） （3） 评注：研究各项的结构，把各项写成相同的结构形式，总结出结构中哪些部分不随序号的改变而改变，哪些部分会随序号的改变而改变。例3用列表、图象和通项公式分别表示下列数列来源:（1），。 （2），。引申：（1）已知数列的通项公式为，求证数列为递增数列。（2）已知数列的通项公式为，求数列的最大项。评注：判断或证明数列的单调性，一般是对 作差或作商比较，对含指数幂的通项公式作商比较更方便。与函数单调性的判断或证明有联系又有区别。例4（1）。根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有_个点.。（1） （2） （3） （4） （5）（2）两两相交的条直线，交点的个数最多是，已知，求常数的值。（3）数列，按规律判断是否数列中的项。规律总结1数列与集合含义不一样，与函数概念有联系也有区别，可用函数观点来处理数列问题。但数列问题也有特殊的处理方法，如数列单调性的证明。2数列的通项公式相当与函数的解析式，为自变量，为函数值，函数中的变量代换在数列中仍然成立，如。3根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。基础训练一、选择题1在数列，中，的值是（ ）A B C D2数列，的一个通项公式是（ ）A、 B、 C、 D、3已知数列的通项公式为，那么是这个数列的（ ） A第3项 B第4项 C第5项 D第6项4若一数列的前四项依次是，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ） A B C D5设数列，其中均为正数，则此数列（ ）A递增 B递减C先增后减D先减后增二、填空题6设数列，则是这个数列的 . 7用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 .8已知，则在数列的最大项的值为_.三、解答题9已知数列的通项公式，且，求。10已知数列的通项公式为（1）是否是它的项？ （2）判断此数列的增减性与有界性（注：有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上）。能力提高11已知数列中，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）A B C D 12设函数，数列的通项满足 。（1）求数列的通项；（2）试讨论数列的单调性。21 数列的概念与简单表示法（第1课时）答案例1分析：利用数列的概念和数列的分类等知识解题。解：（1）略（2）不是同一数列，因为数列与顺序有关。（3）为递增数列，为递减数列，为常数列，为摆动数列评注：数列与集合的区别数列集合按照一定的顺序排列着的一列数一些对象组成的总体与数的顺序有关与元素的顺序无关一个数列的数可以重复集合中的元素不能重复数列分为有穷数列和无穷数列集合分为有限集和无限集例2分析：根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。（1）；（2）；（3）；（4）引申：（1） （2） （3） 例3分析：数列是自变量为正整数的一类函数，用函数的表示法来表示数列。解：（1）123246图象略，通项公式为（2）12来源:3139图象略，通项公式为引申：（1），所以数列为递增数列（2）， 所以当时，数列为递增数列，所以当时，数列为递减数列，而为数列的最大项。例4分析：把规律概括出来，根据规律解决问题。 解：（1）；（2）；（3）是，不是评注：列出前几项找规律是求通项公式的关键一步。基础训练1C 2D 3A 4D 5A 6第七项 7 89由题意知 解得，。10（1）设，得，是数列的第项；（2），数列是递增数列，当时，有最小值，又，所以，数列是有界数列。11A 提示：对任意成立，12（1）由，得，的定义域，（2），数列为递增数列。21 数列的概念与简单表示法（第2课时）学习目标1了解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项；2了解数列的前项和与数列通项公式的关系，能根据前项和求通项；3能根据数列的递推公式求一些简单数列的通项公式。要点精讲1在数列中，由可计算出，像这样给出数列的方法叫做递推法，其中称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。2设数列的前项之和为，则。3设数列的前项之积为，则。范例分析例1（1）在数列中，写出数列的前项。（2）在数列中，写出数列的前项。评注：像第（2）小题中的数列的项的值是呈现周期性变化的，这样的数列称为周期数列。例2已知数列，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式，并加以验证。评注：数学猜想是数学研究的起点，而验证是对所猜结论正确与否的一种保护措施，学习数学需要掌握这种“归纳猜想验证”的思考方法。例3（1）数列的前项之和，求。（2）数列的前项之和，求。（3）数列的前项之积，求。分析：（1）（2）利用与的关系解题。（3）利用与的关系解题。例4设数列满足（），求。 分析：数列是自变量为正整数的一类函数，用函数的变量代换来表示数列递推。规律总结来源:1递推公式是数列的一种表示方法，利用数列的递推公式可以逐项求值。2递推公式与函数方程相类似。如与相类似。3由或求，不能忘记讨论。 来源:4由求与由求方法类似。基础训练一、选择题1在数列中，则的值是（ ） A B C D2已知数列的首项，且满足，则此数列的第三项是（ ）A B C D3数列满足是的前项和，则( ) A B C D4若数列的通项公式为，的最大值为第项，最小项为第项，则等于（ ）A B C D 5已知数列的首项，且满足，则（ ）A B C D二、填空题6数列的前项和，则 。7数列中，对所有的都有，则通项公式_ 8已知数列对于任意，有，若，则三、解答题来源:9已知数列的前项和满足，求的通项公式。10已知数列满足，且，求实数的值。能力提高11已知数列的首项，且满足，若（是弧度数），则与 的递推关系是12设是首项为的正项数列，且，（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并加以验证。21 数列的概念与简单表示法（第二课时）9答案例1分析：利用数列的递推公式逐项求值。解：（1）。（2）例2分析：利用数列的递推公式逐项求值，并根据前4项的特点，寻找规律，猜想数列的通项公式，再给予验证。解：，猜想。证明：假设，则，而例3（1）；（2），两段可合并，得（）（3），两段可合并，得（）评注：和是数列中较简单也最常见的递推公式，要学会求这种递