人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程习题(2).docx

第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程一、基础过关1(x1)2(y2)24的圆心与半径分别为()A(1,2)，2 B(1，2)，2C(1,2)，4 D(1，2)，42点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆内 B在圆外C在圆上 D不确定3圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，2)，则此圆的方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x2)2(y1)214圆(x1)2y21的圆心到直线yx的距离为()A. B. C1 D.5圆O的方程为(x3)2(y4)225，点(2,3)到圆上的最大距离为_6圆(x3)2(y1)21关于直线x2y30对称的圆的方程是_7求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，3)；(2)经过点P(4,2)，Q(6，2)，且圆心在y轴上8求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上的圆的方程二、能力提升9方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆C两条射线 D半个圆10若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限11如果直线l将圆(x1)2(y2)25平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_12平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？三、探究与拓展13已知点A(2，2)，B(2,6)，C(4，2)，点P在圆x2y24上运动，求|PA|2|PB|2|PC|2的最值答案1A2.B3.B 4A556.2217解(1)圆的半径r|CP|5，圆心为点C(8，3)，圆的方程为(x8)2(y3)225.(2)设所求圆的方程是x2(yb)2r2.点P、Q在所求圆上，依题意有所求圆的方程是x22.8解由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x2y150，由，解得圆心C(7，3)，半径r|AC|.所求圆的方程为(x7)2(y3)265.9D10.D110,212解能设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(xa)2(yb)2r2.将A，B，C三点的坐标分别代入有解得圆的方程为(x1)2(y3)25.将D(1,2)代入上式圆的方程，得(11)2(23)2415，即D点坐标适合此圆的方程故A，B，C，D四点在同一圆上13解设P(x，y)，则x2y24.|PA|2|PB|2|PC|2(x2)2(y2)2(x2)2(y6)2(x4)2(y2)23(x2y2)4y68804y.2y2，72|PA|2|PB|2|PC|288.即|PA|2|PB|2|PC|2的最大值为88，最小值为72.4.1.2圆的一般方程一、基础过关1方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()Am2 BmCm2 Dm2设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|等于()A1 B. C. D23M(3,0)是圆x2y28x2y100内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是()Axy30 Bxy30C2xy60 D2xy604已知圆x2y22ax2y(a1)20(0a1)，则原点O在()A圆内 B圆外C圆上 D圆上或圆外5如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为_6已知圆C：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆C上，则a_.7已知圆的方程为x2y26x6y140，求过点A(3，5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程8求经过两点A(4,2)、B(1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程二、能力提升9若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()Axy0 Bxy0Cx2y20 Dx2y2010过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()Axy20 By10Cxy0 Dx3y4011 已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_12求一个动点P在圆x2y21上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程三、探究与拓展13已知一圆过P(4，2)、Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程答案1B2.D3B4B5(0，1)627解设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)24.圆心C(3,3)CMAM，kCMkAM1，即1，即x2(y1)225.所求轨迹方程为x2(y1)225(已知圆内的部分)8解设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D；令x0，得y2EyF0，所以圆在y轴上的截距之和为y1y2E；由题设，得x1x2y1y2(DE)2，所以DE2.又A(4,2)、B(1,3)两点在圆上，所以1644D2EF0，19D3EF0，由可得D2，E0，F12，故所求圆的方程为x2y22x120.9D10A12解设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x，y，于是有x02x3，y02y.因为点P在圆x2y21上移动，所以点P的坐标满足方程xy1，则(2x3)24y21，整理得2y2.所以点M的轨迹方程为2y2.13解设圆的方程为：x2y2DxEyF0，将P、Q的坐标分别代入，得令x0，由得y2EyF0，由已知|y1y2|4，其中y1，y2是方程的两根(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.解联立成的方程组，得或.故所求方程为：x2y22x120或x2y210x8y40.4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系一、基础过关1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心 B相切C相离 D相交2直线l将圆x2y22x4y0平分，且与直线x2y0垂直，则直线l的方程为()Ay2x By2x2Cyx Dyx3若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x3)2(y1)214若直线axby1与圆x2y21相交，则点P(a，b)的位置是()A在圆上 B在圆外C在圆内 D都有可能5过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_6已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为_7已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程8已知圆C：x2y22x4y40.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点二、能力提升9由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为()A1 B2 C. D310圆x2y22x4y30上到直线l：xy10的距离为的点有()A1个 B2个 C3个 D4个11由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且APB60，则动点P的轨迹方程为_12已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆C：x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使BPA60，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由三、探究与拓展13圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值答案1D2A3A4B546(x3)2y247解设圆心坐标为(3m，m)，圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，圆心到直线yx的距离为|m|.由半径、弦心距的关系得9m272m2，m1.所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.8解假设存在且设l为：yxm，圆C化为(x1)2(y2)29，圆心C(1，2)解方程组得AB的中点N的坐标N(，)，由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|ON|.又|AN|，|ON|.所以922，解得m1或m4.所以存在直线l，方程为xy10和xy40，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的9C10C11x2y2412解(1)如图，连接PC，由P点在直线3x4y80上，可设P点坐标为(x，2x)圆的方程可化为(x1)2(y1)21，所以S四边形PACB2SPAC2|AP|AC|AP|.因为|AP|2|PC|2|CA|2|PC|21，所以当|PC|2最小时，|AP|最小因为|PC|2(1x)2(12x)2(x1)29.所以当x时，|PC|9.所以|AP|min2.即四边形PACB面积的最小值为2.(2)假设直线上存在点P满足题意因为APB60，|AC|1，所以|PC|2.设P(x，y)，则有整理可得25x240x960，所以402425960.所以这样的点P是不存在的13(1)证明直线l的方程可化为(2xy7)m(xy4)0(mR)l过的交点M(3,1)又M到圆心C(1,2)的距离为d5，点M(3,1)在圆内，过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点(2)解过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，当d25时，半弦长的平方的最小值为25520.弦长AB的最小值|AB|min4.此时，kCM，kl.lCM，1，解得m.当m时，取到最短弦长为4.4.2.2圆与圆的位置关系一、基础过关1已知0r0 ，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_7a为何值时，两圆x2y22ax4ya250和x2y22x2aya230.(1)外切；(2)内切8点M在圆心为C1的方程x2y26x2y10上，点N在圆心为C2的方程x2y22x4y10上，求|MN|的最大值二、能力提升9若圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长，则a，b满足的关系式是()Aa22a2b30Ba22a2b50Ca22b22a2b10D3a22b22a2b1010若集合A(x，y)|x2y216，B(x，y)|x2(y2)2a1且ABB，则a的取值范围是()Aa1 Ba5C1a5 Da511若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_12已知圆C1：x2y22ax2ya2150，圆C2：x2y24ax2y4a20(a0)试求a为何值时，两圆C1、C2：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含三、探究与拓展13已知圆A：x2y22x2y20，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程答案1B 2D3B4D5163或77解将两圆方程写成标准方程，得(xa)2(y2)29，(x1)2(ya)24.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d325，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或2.(2)当d321，即2a26a51时，两圆内切，此时a1或2.8解把圆的方程都化成标准形式，得(x3)2(y1)29，(x1)2(y2)24.如图，C1的坐标是(3,1)，半径长是3；C2的坐标是(1，2)，半径长是2.所以，|C1C2|.因此，|MN|的最大值是5.9B10D11412解对圆C1、C2的方程，经配方后可得：C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圆心C1(a,1)，r14，C2(2a,1)，r21，|C1C2|a，(1)当|C1C2|r1r25，即a5时，两圆外切当|C1C2|r1r2|3，即a3时，两圆内切(2)当3|C1C2|5，即3a5，即a5时，两圆外离(4)当|C1C2|3，即0a0，即myz，且xyz0，则M点的位置是()A一定在xOy平面上B一定在yOz平面上C一定在xOz平面上D可能在xOz平面上4在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为()A(3,4,5) B(3，4,5)C(3，4，5) D(3,4，5)5在空间直角坐标系中，点A(1,2，3)关于x轴的对称点为_6点P(3,2,1)关于Q(1,2，3)的对称点M的坐标是_7已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标8. 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心为坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(2，3， 1)，求其它7个顶点的坐标 二、能力提升9在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(2，3，4)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于yOz平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对10如图，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，|BP|BD|，则P点的坐标为()A. B.C. D.11连接平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标为_12. 如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6，OEAD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标三、探究与拓展13. 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标答案1C2A3D4A5.(1，2,3)6.(5,2，7)7解如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，F，G.8解长方体的对称中心为坐标原点O，因为顶点坐标A(2，3，1)，所以A关于原点的对称点C1的坐标为(2,3,1)又因为C与C1关于坐标平面xOy对称，所以C(2,3，1)而A1与C关于原点对称，所以A1(2，3,1)又因为C与D关于坐标平面xOz对称，所以D(2，3，1)因为B与C关于坐标平面yOz对称，所以B(2,3，1)B1与B关于坐标平面xOy对称，所以B1(2,3,1)同理D1(2，3,1)综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C1(2,3,1)，C(2,3，1)，A1(2，3,1)，B(2,3，1)，B1(2,3,1)，D(2，3，1)，D1(2，3,1)9C10D11.12解因为AD与两圆所在的平面均垂直，OEAD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直又因为ABAC6，BC是圆O的直径，所以BAC为等腰直角三角形且AFBC，BC6.以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，3，0)、B(3，0,0)、C(3，0,0)、D(0，3，8)、E(0,0,8)、F(0,3，0)13解如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(，0)，D(，0)，P(0,0,2)，E(1，0)4.3.2空间两点间的距离公式一、基础过关1若A(1,3，2)、B(2,3,2)，则A、B两点间的距离为()A. B25 C5 D.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A9 B. C5 D23已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于()A. B. C. D.4到点A(1，1，1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足()Axyz1 Bxyz0Cxyz1 Dxyz45若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为_6已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，7)，B(2,4,3)，则z_.7在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2)，B(4，2，2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标8. 如图所示，BC4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，0)，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，求AD的长度二、能力提升9已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是()AA、B、C三点可以构成直角三角形BA、B、C三点可以构成锐角三角形CA、B、C三点可以构成钝角三角形DA、B、C三点不能构成任何三角形10已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|AB|取最小值时，x的值为()A19 B C. D.11在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_12. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|3，|AA1|2，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离三、探究与拓展13在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小答案1C2.B3.B4B5x2z2y206.0或47解设P(0，y，z)，由题意所以即，所以，所以点P的坐标是(0,1，2)8解由题意得B(0，2,0)，C(0,2,0)，设D(0，y，z)，则在RtBDC中，DCB30，BD2，CD2，z，y1.D(0，1，)又A(，0)，|AD|.9A10C11(0，1,0)12解如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，|DD1|CC1|2，C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，N为CD1的中点，N.M是A1C1的三等分点且靠近A1点，M(1,1,2)由两点间距离公式，得|MN|.13解点M在直线xy1(xOy平面内)上，可设M(x,1x,0)|MN|，当且仅当x1时取等号，当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min.章末检测一、选择题1方程x2y22ax2bya2b20表示的图形是()A以(a，b)为圆心的圆B以(a，b)为圆心的圆C点(a，b)D点(a，b)2点P(m,3)与圆(x2)2(y1)22的位置关系为()A点在圆外 B点在圆内C点在圆上 D与m的值有关3空间直角坐标系中，点A(3,4,0)和B(x，1,6)的距离为，则x的值为 ()A2 B8C2或8 D8或24若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 ()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)5设A、B是直线3x4y20与圆x2y24y0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 ()A4x3y20 B4x3y60C3x4y60 D3x4y806圆x2y24x0过点P(1，)的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy207对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心8已知圆O：x2y25和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A5 B10 C. D.9将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2y22x4y0相切，则实数的值为()A3或7 B2或8 C0或10 D1或1110已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交 Bl与C相切Cl与C相离 D以上三个选项均有可能11若直线mx2ny40(m、nR，nm)始终平分圆x2y24x2y40的周长，则mn的取值范围是 ()A(0,1) B(0，1)C(，1) D(，1)12过点P(2,4)作圆O：(x2)2(y1)225的切线l，直线m：ax3y0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A4 B2 C. D.二、填空题13与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程为_14过点P(2,0)作直线l交圆x2y21于A、B两点，则|PA|PB|_.15若垂直于直线2xy0，且与圆x2y25相切的切线方程为ax2yc0，则ac的值为_16在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_三、解答题17自点A(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程18 已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，O为原点，若OPOQ，求实数m的值19已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等20如图