高中数学函数与方程根与零点课件必修1.ppt

3 1函数与方程 课题 3 1 1方程的根与函数的零点 教学目标 1 熟练掌握二次函数的图象 会判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 了解函数的零点与方程根的联系 3 认识到函数的图象及单调性在确定零点的作用 提出问题 一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系 先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数的图象 o 指出 1 方程x2 2x 3 0的根与函数y x2 2x 3的图象之间的关系 2 方程x2 2x 1 0的根与函数y x2 2x 1的图象之间的关系 3 方程x2 2x 3 0的根与函数y x2 2x 3的图象之间的关系 有两个不等的实数根x1 x2 有两个相等实数根x1 x2 没有实数根 一般地 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根与二次函数y ax2 bx c a 0 的图象有如下关系 x1 0 x2 0 x1 0 没有交点 结论 一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是 推广到一般情形是 函数y f x 的图象与x轴的交点情况 方程f x 0的实根情况 若一元二次方程有实数根 它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标 若一元二次方程没有实数根 则相应二次函数的图象与x轴没有交点 想一想 推广到一般情形又怎样呢 定义 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 zeropoint 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 引出函数零点的概念 剖析概念 你能得出什么结论吗 结论 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 想一想 怎样求函数的零点呢 求函数的零点有两种方法 代数法 求方程f x 0的实数根 几何法 将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 下面我们来探究二次函数的零点情况 1 用代数法探究 结论 二次函数 1 0 二次函数有两个零点 2 0 二次函数有一个二重零点或二阶零点 3 0 二次函数没有零点 2 用数形结合法探究 以为例 观察二次函数的图象 填空 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 在区间 2 4 上有零点 f 2 f 4 0 1 5 4 3 想一想 怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢 让我们来看一个例子 观察下面函数y f x 的图象 a d c b 在区间 a b 上 有 无零点 f a f b 0 在区间 b c 上 有 无零点 f b f c 0 在区间 c d 上 有 无零点 f b f c 0 有 有 有 你知道判断一个函数在给定区间上是否存在零点的方法了吗 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 结论 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法 思考 若函数y f x 在区间 a b 上有零点 是否一定有f a f b 0 例1求函数f x lnx 2x 6的零点个数 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表 表3 1 和图象 图3 1 3 x123456789f x 4 1 30691 09863 38635 60947 79189 945912 079414 1972 表3 1 分析 先说明它存在零点 再求零点的个数 巩固深化 图3 1 3 由表3 1和图3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 说明这个函数在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 01234 例2 函数的零点所在的大致区间是 a 1 2 b 2 3 c 和 3 4 d e 分析 从已知的区间 a b 求f a f b 判断是否有f a f b 0 解 因为f 1 20 所以f 2 f 3 0 所以f x 在 2 3 内有一个零点 选b 例3 若方程在 0 1 内恰有一解 求实数a的取值范围 分析 令 由题意应有f 0 f 1 0 解出a 解 令 因为方程在 0 1 内恰在一解 则f 0 f 1 1 例4 二次函数中 a c 0 则函数的零点个数是 a 1个b 2个c 0个d 无法确定 分析 分析条件a c 0 a是二次项系数 确定抛物线的开口方向 c f 0 所以a c a f 0 0 由此可解出a 解 因为c f 0 所以a与f 0 异号 即 a 0 f 0 0 或 a 0 f 0 0 所以函数必有两个零点 故选b 小结 1 一元