2.1.3 函数的单调性.doc

2.1.3 函数的单调性教学目标1 理解单调函数、单调区间的概念，能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性2 通过对函数单调性的学习，让学生体会数形结合的思想.3 培养学生养成由特殊到一般，再由一般到特殊来研究问题的思维习惯.教学重点与难点本节课的重点是函数单调性的概念，教学难点是函数单调性的判断和证明.一、 问题情景l 结合成语“蒸蒸日上”“跌宕起伏”“每况愈下”的含义，画出相应的图象，并用数学语言叙述一下图象的变化规律.二、 学生活动、建构数学（1）一次函数； （2）二次函数； （3）反比例函数观察上面三个初等函数的图象说一说函数值随自变量的变化情况，如何用数学语言来准确地表达函数的这种变化？三、 数学理论、数学运用1、 单调增函数、单调减函数设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，若当x1f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间 l 想一想：如何用两句通俗的话来概括上面的定义？2、单调性、单调区间若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y = f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间几何意义：在单调区间上是增函数的图象是上升的；在单调区间上是减函数的图象是下降的.注：函数的单调性是函数的“局部性质”,讨论函数的单调性要强调在确定的区间上.例1.如下图是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 解：函数f(x)的单调区间有-5,-2，-2,1，1,3，3,5,其中f(x)在区间-5,-2，1,3上是减函数，在区间-2,1，3,5上是增函数.思考：f(x)在区间-5,-21,3上是减函数，对吗？如果函数在定义域的每个单调区间上都是单调减函数，那么能否说此函数在定义域上是减函数？在定义域内有f(-3)f(4)能否说函数f(x)在定义域内是增函数？在定义域内有f(-5)f(-1)能否说函数f(x)在定义域内是减函数？是否所有的函数都具有单调性？在判断函数单调性时是否都要画图？例2证明函数在R上是增函数.证明函数在上是增函数.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则x1-x20，f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2) 0, 即f(x1)f(x2)，所以，f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设是上的任意两个实数，且，则，由，得，且，于是，所以，在上是增函数.练习：证明函数在(0,+)上是增函数；证明函数y=-x3在R上是减函数.利用定义证明函数单调性的步骤：取值：对任意x1,x2I，且x1x2；作差：f(x1)-f(x2)；变形：(通分、因式分解、配方、分子分母有理化等)关键得到：x1-x2；定号：判定差的正负(注意理由的充分性);判断、下结论.课内练习：教材第37页，练习1，2，5，6.四、 回顾反思本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题.课后作业1.教材第43页，第1题（做书上）考虑二次函数的相应问题.2教材第43页，第4题、第7题.函数的最大、最小值教学目标4 了解函数的最大值与最小值概念，理解函数的最大值和最小值的几何意义，能求一些常见函数的最值和值域5 掌握二次函数在闭区间上的最值的求法.教学重点与难点本节课的重点是二次函数在闭区间上的最值，教学难点是函数最值的判断.五、 问题情景l 看课本34页图的气温变化图，说出气温在何时最高，何时最低？.六、 学生活动、建构数学问题1：观察下列函数的图象，并指出对于任意，与的大小关系观察得到：图（1）中，对于任意，都有；图（2）中，对于任意，都有 问题2：如何用数学语言来准确地表达函数的最大值和最小值呢？通过讨论，给出的最大值和最小值的定义七、 数学理论、数学运用函数最值的定义一般地，设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，都有，则称为的最大值(maximum value)，记为；如果存在定值，使得对于任意，都有，则称为的最小值(minimum value)，记为；问题3：设函数的定义域为，若是增函数，则 ， ；若是减函数，则 ， 问题4：判断下列说法是否正确： （1）单调函数一定有最大值和最小值；（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值例1 教材P36，如图为函数y=f(x)，x-4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间 例2教材P36，求下列函数的最小值：（1）； （2），变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；（即要考虑函数是否有最大值）.变题2：求下列函数的值域：（1）f(x)=x2-2x，x0，4； （2）f(x)=x2-2x，x0，4)变题3：求f(x)=x2-2ax，x0，4)的最小值解：f(x)=(x-a)2-a2，其图象是开口向上，对称轴为x=a的抛物线 若a0，则f(x)在0,4)上是增函数，f(x)min=f(0)=0；若0a0)的最值.解：f(x)=(x-1)2-1，其图象是开口向上，对称轴为x=1的抛物线 若0m1，则f(x)在0,m上是减函数，f(x)max=f(0)= 0, f(x)min=f(m)=m2-2m.若1m2，则f(x)在0,1上是减函数，在1，m上是增函数，且f(0)f(m) ，f(x)min=f(1)=-1，f(x)max=f(0)= 0.若m2，则f(x)在0,1上是减函数，在1，m上是增函数，且f(0)f(m) ，f(x)min=f(1)=-1，f(x)max= f(m)=m2-2m.注：研究二次函数在给定区间上的最值问题要考虑对称轴与给定区间的关系，通常最值可能在端点和顶点的位置取得.变题5：函数f(x)=x2-2ax，x0，4有最大值8，求a的值.解：f(x)=(x-a)2-a2，其图象是开口向上，对称轴为x=a的抛物线f(x)在x0，4的最大值只可能是f(0)或f(4)，又f(0)=0，f(4)=8，a=1经检验符合题意.l 思考：若已知函数f(x)=x2-2ax，x0，4有最小值-8，如何求a的值.课内练习：教材第37页，练习3，4.作出函数y=|x+1|+|x-3|的图象,并求出函数的值域.若f(x)=x2-2mx