数学第二轮专题复习第二部分 专题五不等式解答题的解法.ppt

专题五不等式解答题的解法 数学第二轮专题复习第二部分 考题剖析 试题特点 03 15 不等式解答题的解法 应试策略 07 1 近三年高考各试卷不等式考查情况统计2005年 2006年 2007年高考卷的解答题中 每年都有不等式的题出现 但单独作为一个题的形式不是很多 2005年有3道 2007年的19套试卷中 也只有2道 是关于解不等式 处于第一个题的位置 属于容易题 而一般都是与其它知识综合 考查解不等式 证不等式 有一定的难度 不等式与数列 导数 解析几何 三角 函数等问题综合 其中与数列综合是最多的 但近两年出现了二项式的函数与不等式相结合的题 如2007年的湖北卷 四川卷 值得注意 试题特点 返回目录 不等式解答题的解法 不等式这部分知识 渗透在中学数学各个分支中 有着十分广泛的应用 因此不等式应用问题体现了一定的综合性 灵活多样性 对数学各部分知识融会贯通 起到了很好的促进作用 在解决问题时 要依据题设与结论的结构特点 内在联系 选择适当的解决方案 最终归结为不等式的求解或证明 不等式的应用范围十分广泛 它始终贯穿在整个中学数学之中 诸如集合问题 方程 组 的解的讨论 函数单调性的研究 函数定义域的确定 三角 数列 复数 立体几何 解析几何中的最大值 最小值问题 无一不与不等式有着密切的联系 许多问题 最终都可归结为不等式的求解或证明 返回目录 试题特点 不等式解答题的解法 2 主要特点不等式是中学数学的重要内容 在数学的各个分支中都有广泛的应用 是进一步学习高等数学的基础和重要工具 所以不等式一直是高考数学命题的重点和热点 历年高考试题 涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型 解不等式 证明不等式 取值范围问题 应用问题 返回目录 试题特点 不等式解答题的解法 返回目录 试题特点 试题主要有如下特点 1 突出重点 综合考查 高考命题遵循在 知识与方法的交汇点设计命题 不等式能和所有的数学知识构成广泛的联系 因此高考试题中不等式常与函数 数列 解析几何 三角等进行综合 2 高考突出主干知识和重要数学思想的考查 这是高考不变的立意 解含参数的不等式能较好地体现等价转化 分类整合 数形结合等数学思想 因此 含参数的不等式在历年高考中常考不衰 3 导数是解决不等式问题的强有力的工具 因此高考中加强了以导数为载体的导数 不等式 函数的综合 4 高考中除单独考查不等式的试题外 常在一些函数 数列 立体几何 解析几何等试题中涉及不等式的知识 加强了不等式作为一种工具作用的考查 不等式解答题的解法 应试策略 返回目录 1 不等式的解法在复习不等式的解法时 要加强等价转化思想的训练与复习 解不等式的过程是一个等价转化的过程 通过等价转化可简化不等式 组 以快速 准确求解 1 解一元一次不等式 组 及一元二次不等式 组 是解其他各类不等式的基础 必须熟练掌握 灵活应用 2 解高次不等式 分式不等式 首先使不等式一边是零 一边是一次因式 一次项系数为正 或二次不完全平方式的积与商的形式 注意二次因式恒正恒负的情况 然后用数轴标根法写出解集 尤其要注意不等号中带等号的情形 返回目录 应试策略 不等式解答题的解法 3 解绝对值不等式的常用方法 讨论法 讨论绝对值中的式子大于零还是小于零 然后去掉绝对值符号 转化为一般不等式 等价变形 解绝对值不等式常用以下等价变形 x ax2 a2 a x a a 0 x ax2 a2x a或x a a 0 一般地有 f x g x g x f x g x f x g x f x g x 或f x g x 4 对于解含参数不等式 要充分利用不等式性质 对参数的讨论 要不 重复 不 遗漏 一要考虑参数总的取值范围 二要用同一标准对参数进行划分 三要使得划分后 不等式的解集的表达式是确定的 返回目录 应试策略 不等式解答题的解法 2 掌握算术平均数与几何平均数定理 定理 如果a b r 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 取 定理 如果a b是正数 那么 当且仅当a b时 取 1 二元均值不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转化为 和式 的放缩功能 2 创设应用均值不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧 而拆与凑的成因在于使等号能够成立 返回目录 应试策略 不等式解答题的解法 3 和定积最大 积定和最小 即2个正数的和为定值 则可求其积的最大值 积为定值 则可求其和的最小值 应用此结论求值要注意三个条件 各项或因式非负 和或积为定值 各项或各因式都能取得相等的值 必要时要作适当的变形 以满足上述前提 返回目录 应试策略 不等式解答题的解法 3 不等式证明在不等式证明中 加强化归思想的复习 证明不等式的过程是一个把已知条件向要证明的结论的一个转化过程 既可考查学生的基础知识 又可考查学生分析问题和解决问题的能力 正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材 复习时应引起足够重视 1 证明不等式的常用方法有 比较法 综合法 分析法和数学归纳法 其他方法如 放缩法 反证法 换元法 判别式法证明不等式在高考中不作过高要求 返回目录 应试策略 不等式解答题的解法 2 比较法有求差比较法和求商比较法两种模式 求差比较法中的变形可以变成平方和 常数 因式的积 求商比较法要注意对分母的符号进行讨论 比较法在符号确定的前提下 可以转化为乘方问题来解决 如果a b 0 则a2 b2a b 3 利用综合法 分析法证明不等式经常使用的基本不等式有 a2 0 a r a2 b2 2ab a b r a b r 返回目录 应试策略 不等式解答题的解法 a b c 3 a b c r 利用基本不等式的变式 其中a b r 分析法是从要证的结论入手 寻找其充分条件 即执果索因 综合法为分析法的逆过程 即由因导果 复杂的不等式证明要注意几种方法的结合使用 4 涉及到数列或与自然数有关的不等式可考虑数学归纳法的运用 涉及到函数的不等式可考虑构造函数 应用导数来解决 返回目录 应试策略 不等式解答题的解法 考题剖析 返回目录 考题剖析 返回目录 1 2007 石家庄质检题 解关于x的不等式 x x a a 0 解析 当x a时 不等式可化为即 a x 当x a时 不等式可化为即 故不等式的解集为 点评 本题主要考查含绝对值不等式的解法 分类讨论的思想 本题的关键不是对参数a进行讨论 而是去绝对值时必须对未知数进行讨论 得到两个不等式组 最后对两个不等式组的解集求并集 得出原不等式的解集 不等式解答题的解法 考题剖析 2 2007 湖北八校联考题 设函数f x ax2 bx c的图象与两直线y x y x均不相交 试证明对一切x r都有 ax2 bx c 返回目录 分析 因为x r 故 f x 的最小值若存在 则最小值由顶点确定 故设f x a x x0 2 f x0 证明 由题意知 a 0 设f x a x x0 2 f x0 则f x0 又二次方程ax2 bx c x无实根 故 1 b 1 2 4ac 0 2 b 1 2 4ac 0 所以 b 1 2 b 1 2 8ac 0 即2b2 2 8ac 0 即b2 4ac 1 所以 b2 4ac 1 故 不等式解答题的解法 由b2 4ac即 ax2 bx c 成立 考题剖析 返回目录 点评 从上述例子可以看出 在证明与二次函数有关的不等式问题时 如果针对题设条件 合理采取二次函数的不同形式 那么我们就找到了一种有效的证明途径 不等式解答题的解法 考题剖析 返回目录 3 2007 广东中山市模拟题 已知数列 an 中a1 2 an 1 1 an 2 n 1 2 3 求 an 的通项公式 若数列 bn 中b1 2 bn 1 n 1 2 3 证明 bn a4n 3 n 1 2 3 解析 由题设 an 1 1 an 2 1 an 1 2 1 an an 1 1 an 不等式解答题的解法 考题剖析 返回目录 所以 数列 an 是首项为2 公比为 1的等比数列 an 1 n 即an的通项公式为an 1 n 1 n 1 2 3 用数学归纳法证明 当n 1时 因 2 b1 a1 2 所以 b1 a1 结论成立 假设当n k时 结论成立 即 bk a4k 3 也即0 bk a4k 3 不等式解答题的解法 考题剖析 返回目录 当n k 1时 bk 1 又所以bk 1 a4k 1 也就是说 当n k 1时 结论成立 根据 和 知 bn a4n 3 n 1 2 3 不等式解答题的解法 点评 本题主要考查由非等比数列向等比数列的转化能力 利用数学归纳法解决问题的能力以及利用数列知识解数列综合问题的能力 数列不等式综合题往往是各年高考题中的压轴题 证明时应当首先考虑用数学归纳法 考题剖析 返回目录 不等式解答题的解法 4 对于在区间 m n 上有意义的两个函数f x 与g x 如果对任意的x m n 均有 f x g x 1 则称f x 与g x 在区间 m n 上是接近的 否则是非接近的 设f1 x loga x 3a 与f2 x loga a 0 a 1 是区间 a 2 a 3 上的两个函数 1 求a的取值范围 2 讨论f1 x 与f2 x 在区间 a 2 a 3 上是否是接近的 考题剖析 返回目录 不等式解答题的解法 解析 1 a 0且a 1 当x a 2 a 3 时 要使函数f1 x loga x 3a 有意义 a 2 3a 0 即a0 即a r 由 和 得0 a 1 即为a的取值范围 考题剖析 返回目录 2 要判断f1 x 与f2 x 在区间 a 2 a 3 上是否是接近的 只须检验 f1 x f2 x 1在区间 a 2 a 3 上是否恒成立 f1 x f2 x loga x 3a loga loga x 3a x a 设 loga x 3a x a 1 则 1 loga x 3a x a 1 即 1 loga x2 4ax 3a2 1 不等式解答题的解法 考题剖析 设g x x2 4ax 3a2 x 2a 2 a2 抛物线g x 开口向上 且对称轴为x 2a 0logag x2 设h x loga x2 4ax 3a2 则h x 在区间 a 2 a 3 上是减函数 h x max h a 2 loga 4 4a h x min h a 3 loga 9 6a 返回目录 不等式解答题的解法 式成立的充要条件是 当a 0 时 f1 x 与f2 x 在区间 a 2 a 3 上是接近的 当a 1 时 f1 x 与f2 x 在区间 a 2 a 3 上是非接近的 考题剖析 返回目录 点评 高考题中常常出现和高中知识有关的新的定义 本题中定义了两个函数在区间上接近的定义 解题时必须先搞懂两个函数在区间上接近的定义 对数的运算是学生的一个薄弱环节 本题涉及到对数的运算 二次函数的最值问题也是重点内容之一 不等式解答题的解法 5 2007 惠州市调研一 已知函数f x 的导数f x 满足0 时 总有f x x成立 3 对任意x1 x2 若满足 x1 1 x2 1 求证 f x1 f x2 2 考题剖析 返回目录 不等式解答题的解法 证明 1 用反证法 设方程f x x有异于 的实根 即f 不妨设 则 f f 在 与 之间必存在一点c c 由题意使等式 f f f c 成立 因为 所以必有f c 1 但这与0 f x 1矛盾 因此 如若 也是方程f x x的根 则必有 即方程f x x不存