第二讲 证明不等式的基本方法 知识归纳 课件(人教A选修.ppt

从近两年的高考试题来看 不等式的证明主要考查比较法与综合法 而比较法多用作差比较 综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质 题目难度不大 属中档题 在证明不等式时 要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明 如果已知条件与待证结论之间的联系不明显 可考虑用分析法 如果待证的命题以 至少 至多 恒成立 等方式给出 可考虑用反证法 在必要的情况下 可能还需要使用换元法 放缩法 构造法等技巧简化对问题的表述和证明 1 2011 福建高考 设不等式 2x 1 1的解集为M 求集合M 若a b M 试比较ab 1与a b的大小 解 由 2x 1 1得 1 2x 1 1 解得0 x 1 所以M x 0 x 1 由 和a b M可知0 a 1 0 b 1 所以 ab 1 a b a 1 b 1 0 故ab 1 a b 比较法证明不等式的依据是 不等式的意义及实数比较大小的充要条件 作差比较法证明的一般步骤是 作差 恒等变形 判断结果的符号 下结论 其中 变形是证明推理中一个承上启下的关键 变形的目的在于判断差的符号 而不是考虑差能否化简或值是多少 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形的方法 综合法证明不等式的思维方向是 顺推 即由已知的不等式出发 逐步推出其必要条件 由因导果 最后推导出所要证明的不等式成立 综合法证明不等式的依据是 已知的不等式以及逻辑推证的基本理论 证明时要注意的是 作为依据和出发点的几个重要不等式 已知或已证 成立的条件往往不同 应用时要先考虑是否具备应有的条件 避免错误 如一些带等号的不等式 应用时要清楚取等号的条件 即对重要不等式中 当且仅当 时 取等号 的理由要理解掌握 例2 已知a b c为 ABC的三条边 求证 a2 b2 c2 2 ab bc ca 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 分析法证明不等式的思维方向是 逆推 即由待证的不等式出发 逐步寻找使它成立的充分条件 执果索因 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 当要证的不等式不知从何入手时 可考虑用分析法去证明 特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效 分析法是 执果索因 步步寻求上一步成立的充分条件 而综合法是 由因导果 逐步推导出不等式成立的必要条件 两者是对立统一的两种方法 一般来说 对于较复杂的不等式 直接用综合法往往不易入手 因此 通常用分析法探索证题途径 然后用综合法加以证明 所以分析法和综合法可结合使用 用直接法证明不等式困难的时候 可考虑用间接证法予以证明 反证法是间接证法的一种 假设欲证的命题是 若A则B 我们可以通过否定来达到肯定B的目的 如果只有有限多种情况 就可用反证法 用反证法证明不等式 其实质是从否定结论出发 通过逻辑推理 导出与已知条件或公理或定理或某些性质相矛盾的结论 从而肯定原命题成立 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中 有时利用不等式关系的传递性 作适当的放大或缩小 证明比原不等式更强的不等式来代替原