导数的应用1——函数的单调性.ppt

导数的应用 函数的单调性 前课复习 1 函数f x 在点x0处的导数定义 2 某点处导数的几何意义 3 导函数的定义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点m x0 y0 处的切线的斜率 4 四个常见函数的导数公式 5 导数的四则运算法则 6 复合函数的导数 7 对数函数的导数 1 2 8 指数函数的导数 前课复习 预备知识 预备知识 若f x 在g上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在g上具有严格的单调性 g称为单调区间 g a b 3 单调函数图像特征 预备知识 求证 函数y 2x3 6x2 7在区间 2 上是单调递增的 用定义法证明函数单调性 引入例 1 任取x1 x2 2 作差并变形 3 判断符号 4 下结论 求证 函数y 2x3 6x2 7在区间 2 上是单调递增的 证明 函数单调增 减 平均变化率 瞬时变化率 导数 定义 极限 结论 函数的单调性与其导数有关 我们可以利用导数去探讨函数的单调性 探究一 函数单调性与导数符号的关系 增区间 增区间 观察几何画板显示一般图象 注意 应正确理解 某个区间 的含义 它必是定义域内的某个区间 猜想 根据导数的几何意义 在点p附近 曲线可以用在点p处的切线近似代替 以直代曲思想 理论基础 切线斜率 0 切线递增 结论 导数与单调性关系 可用于判断函数单调性 或者证明函数单调性或者求函数单调区间 例题1 已知导函数的下列信息 当10 当x 4 或x 1时 0 当x 4 或x 1时 0 则函数f x 图象的大致形状是 a b c d d 应用一 确定函数单调区间 练习1 已知函数的导函数的图像如图所示 那么函数的图像最有可能的是 a 下图中的 自学 智力报 p7下文 已知函数y xf x 的图像如左图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 则函数f x 的图象大致是 a b c d c 练习2 例题2 p24例2 练习 p26练习1 例题3 智力报 p7上文例1 练习 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的交集 方法总结 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 根据导数确定函数的单调性步骤 练习 p26练习3 探究二 结论的逆命题是否成立 a 为常函数 练习 p26练习2 结论 1 为常函数 3 为某区间的增函数 4 为某区间的增函数 2 理由 如 可能 理由 应用二 证明函数单调性 例题4 书p26练习4 改为 0 2 如何 例题5 证明方程只有一个根x 0 证 设则 0恒成立 故f x 是r上的增函数 而f 0 0 故原方程有唯一根x 0 例题6 求函数的值域 解 函数的定义域是 2 又易得 当x 2时 即已知函数在 2 上是增函数 又f 2 1 故所求函数的值域是 1 应用三 证明不等式 例题7 智力报 p7右文例1 例2 说明 利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种重要方法 其解题步骤是 令f x f x g x x a 其中f a f a g a 0 从而将要证明的不等式 当x a时 f x g x 转化为证明 当x a时 f x f a 作业 1 当x 0时 证明不等式 1 2x e2x 2 应用四 参数讨论 例题8 智力报 p13例题2 已知单调性求参数范围 例题9 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 例题10 p25例题3 p37b6 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 若a 0则 易知此时f x 恰有三个单调区间 单调递减区间 应用五 画