北师九上课题学习-猜想、证明与拓广（一）教案.doc

课题数学：猜想、证明与拓广（一）教学目标 (一)教学知识点 探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题. (二)能力训练要求 1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识. 2.在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识. 3.在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性. 4.在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流. 2.获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点 探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径.教学难点 从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.教学方法 自主探索合作交流.教具准备 多媒体演示，实物投影教学过程一.创设文化情境，激发探究热情，引入课题（先利用幻灯片展示关于猜想的名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现何发明（牛顿），再利用幻灯片展示数学史上的几个著名猜想：费马素数猜想，费马猜想，哥德巴赫猜想，以及我国数学家陈景润研究哥德巴赫猜想的成果及精神，渗透数学史文化和数学研究精神。 ）老师：同学们，在上课之前我想先问大家一个问题，你们在做数学题时，有没有碰到过用猜想得到正确答案的情况呢？学生：. 老师：科学家牛顿早就说过：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现和发明。其实，在数学史上，有许多数学方法和理论都是在得到猜想和证明猜想的过程中发现的。比如数学家费马的费马素数猜想，就是在其死后67年被当时年仅25的数学家欧拉通过举反例的方式证明是错误的。而他的另一个猜想费马猜想在经历了300多年的历史后终于被英国数学家怀尔斯证明是正确的，此后这个猜想被称为“费马大定理”。而另一个著名猜想哥德巴赫猜想，至今仍然只是猜想！但是我国数学家陈景润先生对这个猜想的研究已经取得了国际领先的成果，如果在座的各位同学也能继承陈老先生研究数学的信心，决心和恒心，说不定我们当中就会出现一位彻底攻克哥德巴赫猜想的数学家！为了早日实现这个目标，我们今天就一起来学习如何用猜想、证明与拓广的方式研究数学问题。二探究引例，总结从特殊到一般的研究方法老师：请看大屏幕，问题1：你知道两个数的平方和与这两个数积的2倍哪一个大吗？ 面对这个问题，我们也可以像那些数学家一样，先猜一猜。但是我们也不能瞎猜，有什么方法可以让我们的猜想更接近真想呢？(引导学生举特殊例子试试看)老师：同学们，你们计算的结果如何？（请1-2位同学回答）老师：xxx同学，请你告诉大家你举的什么数？结果如何？（老师板书学生的举例。）学生： 老师：那你的猜想是什么？学生：老师：其他同学有没有不同意见？(根据学生回答的情况，引导学生得出猜想)老师：通过同学们的特殊值举例，我们可以得到猜想：两个数的平方和大于或等于这两个数积的2倍。那这个猜想是否正确还需要做什么？（引导学生证明这个猜想，请一位同学回答，老师板书学生的思路，用幻灯片展示证明过程。）老师：好，下面让我们一起来看看证明过程。（幻灯展示证明过程） 由此可知，由特殊值得到的猜想，需要经过严格的逻辑证明才能得出结论。 那么，得出结论之后，面对这个问题，你们能提出类似的问题吗？比如老师就可以提出这样一个类似问题：你知道三个数的平方和与这三个数积的2倍哪一个大吗？ 请问你们能提出类似问题吗？试试看。请举手回答。（请2个同学回答）老师：类似的问题还有很多，相信我们在座每一位同学都能提出自己的问题。 因此，解决了一个问题之后可以提出类似的问题，进而解决一类问题，实现知识的拓广。现在让我们一起总结一下，研究这个数学问题到底经历了哪些步骤？请举手回答。 （请1-2位同学回答，幻灯片展示流程）老师：其实这个研究过程就体现了从特殊到一般的研究思想。难怪科学家们都说：猜想是会下金蛋的鸡！好了，下面就让我们利用这种方法去解决这样一个问题，请看大屏幕。（幻灯片展示问题2）三利用从特殊到一般的研究思想探究新问题老师：问题2：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍？ 面对这个问题，我们怎么得到猜想？（引导学生举例子得猜想）老师：请大家取定一个具体的边长，试一试。得到猜想的同学请举手示意。 （请1-2位同学回答，老师板书）老师：由同学们举的特殊值我们可以得到猜想：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。 那这个猜想如何证明呢？请思考。有思路的同学请举手示意。 （请1位同学回答，老师板书思路）老师：由此我们可以得到结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。那请问这个猜想不设未知数能不能证明？ 提示大家一下。（幻灯片展示：任意两个正方形都是相似的。）请举手回答。（请1位同学回答）老师：由此可知，在解决问题的时候，我们要从不同的角度去思考，尽量做到一题多解，开发思维。那对于这个问题，大家是否又能提出类似的问题，实现知识拓广呢？试一试。请举手回答。（请1-2位同学回答）老师：其实这样的类似问题有很多，老师这里也有一些：（幻灯展示） 下面，我们不妨从这些问题中选择问题3来做研究。 请看大屏幕，问题3：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？（幻灯展示问题3） 这里的矩形是任意给定的，那我们怎么得到猜想呢？老师：（引导学生取特殊情况研究从而得猜想）那我们就取定一个长为2，宽的1的矩形作为给定矩形，大家以四人小组合作探究的形式探索一下满足条件的矩形是否存在？待会我们要请一些小组派个代表给大家做实物展示。（学生小组探究并请2-3个小组展示不同的方法。老师根据情况补充讲解，这里一共有四种方法：方法一：利用周长设未知数，利用面积列一元二次方程。 解：方法二：利用面积设未知数，利用周长列一元二次方程。方法三：利用韦达定理构造方程。方法四：转化为两个函数图像是否有交点的问题 （ 利用几何画板展示图像）在补充讲解中提问：前三种方法中，不解方程能不能判断满足条件的矩形是否存在呢？引导学生利用韦达定理去确定解的符号，从而说明存在性。）老师：下面让我们一起来总结一下解决这个特殊情况的几种方法。首先， 我们可以通过周长和面积，设一个未知数，列一个一元二次方程来求解，也可以设两个未知数，列一个方程组，再通过消元化为一个一元二次方程求解，还可以利用韦达定理构造一个一元二次方程求解，这些方法体现的都是方程的思想。换一个角度，我们还可以将方程组是否有解的问题转化为函数图像是否有交点的问题来解决，体现了函数思想和数形结合的思想。总之，这个题我们可以做到一题多解，拓广思维。（幻灯片展示方法及其所反映的数学思想） 好了，让我们回到问题3。由刚才对特殊情况的证明可以得到猜想：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。那这个猜想怎么证明呢？刚才我们证明的是给定矩形的长为2，宽为1的特殊情况，那么更一般的，如果给定矩形的长为m,宽为n的时候，怎么证明呢？请思考.有思路的同学举手示意。 （引导学生利用构造方程的思想解决，并请一个同学说思路，老师板书，再用幻灯展示证明过程）老师：由此我们可以得出结论：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。 对于这个问题，大家又能否提出类似的问题呢？ （请1-2个同学回答）老师：这样类似的问题也有很多很多，大家课后不妨研究一下这个类似问题