2020新课标高考数学讲义：复数与平面向量含解析.doc

教学资料范本2020新课标高考数学讲义：复数与平面向量含解析编 辑：_时 间：_第3讲复数与平面向量复数考法全练1(20xx高考全国卷)若z(1i)2i、则z()A1iB1iC1iD1i解析：选D.由z(1i)2i、得zi(1i)1i.故选D.2(2020山东高考模拟)已知abi(a、bR)是的共轭复数、则ab()A1BC.D1解析：选D.根据题意i、所以abii.所以a0、b1、所以ab1、故选D.3(一题多解)(20xx南宁模拟)设z2i、则|z|()A0BC1D解析：选C.法一：因为z2i2ii2ii、所以|z|1、故选C.法二：因为z2i、所以|z|1.故选C.4(20xx漳州模拟)已知i是虚数单位、且z、则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选A.z2i、则z2i、所以z对应的点在第一象限故选A.5(20xx高考全国卷)设复数z满足|zi|1、z在复平面内对应的点为(x、y)、则()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21解析：选C.由已知条件、可得zxyi(x、yR)、因为|zi|1、所以|xyii|1、所以x2(y1)21.故选C.6(20xx高考江苏卷)已知复数(a2i)(1i)的实部为0、其中i为虚数单位、则实数a的值是_解析：(a2i)(1i)a2(a2)i、因为其实部是0、故a2.答案：2复数代数形式的2种运算方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算、可将含有虚数单位i的看作一类项、不含i的看作另一类项、分别合并同类项即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数、解题时要注意把i的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”、其实质就是“分母实数化”提醒(1)复数运算的重点是除法运算、其关键是进行分母实数化(2)对一些常见的运算、如(1i)22i、i、i等要熟记(3)利用复数相等abicdi列方程时、注意a、b、c、dR的前提条件 平面向量的线性运算考法全练1(一题多解)(20xx市第二次质量检测)在ABC中、若a、b、则()AabBabCabDab解析：选A.通解：如图、过点D分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点E、F、则四边形AEDF为平行四边形、所以.因为、所以、所以ab、故选A.优解一：()ab、故选A.优解二：由、得()、所以()ab、故选A.2(一题多解)(20xx广东六校第一次联考)如图、在ABC中、P是BN上一点、若t、则实数t的值为()ABCD解析：选C.通解：因为、所以.设、则()(1)、又t、所以t(1)、得、解得t、故选C.优解：因为、所以、所以tt.因为B、P、N三点共线、所以t1、所以t、故选C.3已知P为ABC所在平面内一点、0、|2、则ABC的面积等于()AB2C3D4解析：选B.由|得、PBC是等腰三角形、取BC的中点为D、则PDBC、又0、所以()2、所以PDAB1、且PDAB、故ABBC、即ABC是直角三角形、由|2、|1可得|、则|2、所以ABC的面积为222、故选B.4已知向量a(1、2)、b(m、1)、若a(ab)、则实数m的值为_解析：ab(1m、1)、因为a(ab)、所以2(1m)1、解得m.答案：5(20xx市第一次质量预测)如图、在平行四边形ABCD中、E、F分别为边AB、BC的中点、连接CE、DF交于点G.若(、R)、则_解析：由题图可设x(x0)、则x()x()x.因为、与不共线、所以、x、所以.答案：平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题、要尽可能转化到三角形或平行四边形中、灵活运用三角形法则、平行四边形法则、紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时、若已知两向量的坐标形式、常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的、常利用共线向量定理(当b0时、ab存在唯一实数、使得ab)来判断提醒向量线性运算问题的2个关注点(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中、选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量、运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)注意结论的使用：O为直线AB外一点、若点P在直线AB上、则有(1)；若点P满足、则有. 平面向量的数量积考法全练1(20xx高考全国卷)已知(2、3)、(3、t)、|1、则()A3B2C2D3解析：选C.因为(3、t)(2、3)(1、t3)、|1、所以1、所以t3、所以(1、0)、所以21302.故选C.2(20xx高考全国卷)已知非零向量a、b满足|a|2|b|、且(ab)b、则a与b的夹角为()ABCD解析：选B.由(ab)b、可得(ab)b0、所以abb2.因为|a|2|b|、所以cosa、b.因为0a、b、所以a与b的夹角为.故选B.3(一题多解)(20xx安徽五校联盟第二次质检)在ABC中、AB3、AC2、BAC120、点D为BC边上一点、且2、则()ABC1D2解析：选C.法一：因为2、所以2()、所以、则232321、故选C.法二：以A为坐标原点、AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系、如图所示则A(0、0)、B(3、0)、C(1、)、因为2、所以(4、)、则D、所以(3、0)、则301、故选C.4(20xx高考全国卷)已知a、b为单位向量、且ab0、若c2ab、则cosa、c_解析：由题意、得cosa、c.答案：5已知向量a、b满足|a|1、|b|2、则|ab|ab|的最小值是_、最大值是_解析：已知|a|1、|b|2、则(|ab|ab|)22(a2b2)2|ab|ab|102102.由|a|1、|b|2、得2ab2、则(ab)20、4、所以(|ab|ab|)216、20、所以|ab|ab|4、2、所以|ab|ab|的最小值是4、最大值是2.答案：426已知平面内三个不共线向量a、b、c两两夹角相等、且|a|b|1、|c|3、则|abc|_解析：由平面内三个不共线向量a、b、c两两夹角相等、可得夹角均为、所以|abc|2a2b2c22ab2bc2ac119211cos 213cos 213cos 4、所以|abc|2.答案：2平面向量数量积问题的难点突破(1)借“底”数字化、要先选取一组合适的基底、这是把平面向量“数化”的基础(2)借“系”坐标化、数形结合、建立合适的平面直角坐标系、将向量的数量积运算转化为坐标运算 平面向量在几何中的应用考法全练1(一题多解)(20xx市第二次质量预测)在RtABC中、C90、CB2、CA4、P在边AC的中线BD上、则的最小值为()AB0C4D1解析：选A.通解：因为BC2、AC4、C90、所以AC的中线BD2、且CBD45.因为点P在边AC的中线BD上、所以设(01)、如图所示、所以()()22|cos 1352(2)28248、当时、取得最小值、故选A.优解：依题意、以C为坐标原点、分别以AC、BC所在的直线为x、y轴、建立如图所示的平面直角坐标系、则B(0、2)、D(2、0)、所以直线BD的方程为yx2、因为点P在边AC的中线BD上、所以可设P(t、2t)、(0t2)、所以(t、2t)、(t、t)、所以t2t(2t)2t22t2、当t时、取得最小值、故选A.2(一题多解)(20xx市质量监测(二)如图、正方形ABCD的边长为2、E为BC边的中点、F为CD边上一点、若|2、则|()A3B5CD解析：选D.法一：以A为坐标原点、AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、建立平面直角坐标系如图所示、则A(0、0)、E(2、1)设|x、则F(x、2)、故(x、2)、(2、1)因为|2、所以(x、2)(2、1)2x25、解得x、所以|、故选D.法二：连接EF、因为|cosEAF|2、所以|cosEAF|、所以EFAE.因为E是BC的中点、所以BECE1.设DFx、则CF2x.在RtAEF中、AE2EF2AF2、即2212(2x)21222x2、解得x、所以AF.故选D.3(20xx江苏南通基地学校联考改编)如图、在平面直角坐标系xOy中、点A(、1)在以原点O为圆心的圆上已知圆O与y轴正半轴的交点为P、延长AP至点B、使得AOB90、则_、|_解析：由题可得圆O的半径r2、所以P(0、2)、则AP所在直线方程为y2(x0)、即yx2.设B、则(、1)、.由AOB90可得0、所以xx2x20、解得x、所以B(、3)、所以(、1)、所以1(1)2、|(2、0)|2.答案：22用向量解决平面几何问题的3个步骤(1)建立平面几何与向量的联系、用向量表示问题中涉及的几何元素、将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算、研究几何元素之间的关系、如平行、垂直和距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系提醒关注2个常用结论的应用(1)ABC中、AD是BC边上的中线、则()(2)ABC中、O是ABC内一点、若0、则O是ABC的重心 一、选择题1若i是虚数单位、则复数的实部与虚部之积为()AB.C.iDi解析：选B.因为i、所以其实部为、虚部为、实部与虚部之积为.故选B.2(20xx市综合检测(一)a、b为平面向量、已知a(2、4)、a2b(0、8)、则a、b夹角的余弦值等于()ABC.D.解析：选B.设b(x、y)、则有a2b(2、4)(2x、2y)(22x、42y)(0、8)、所以、解得、故b(1、2)、|b|、|a|2、cosa、b、故选B.3(20xx广东六校第一次联考)在ABC中、D为AB的中点、点E满足4、则()A.B.C.D.解析：选A.因为D为AB的中点、点E满足4、所以、所以()、故选A.4(20xx湖南省五市十校联考)已知向量a、b满足|a|1、|b|2、a(a2b)0、则|ab|()A.B.C2D.解析：选A.由题意知、a(a2b)a22ab12ab0、所以2ab1、所以|ab|.故选A.5已知(1i)zi(i是虚数单位)、则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选A.因为(1i)zi、所以z、则复数z在复平面内对应的点的坐标为、所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限、故选A.6已知向量a与b的夹角为120、且|a|b|2、则a在ab方向上的投影为()A1B.C.D.解析：选B.由向量的数量积公式可得a(ab)|a|ab|cosa、ab、所以a在ab方向上的投影|a|cosa、ab.又ab|a|b|cosa、b22cos 1202、所以|a|cosa、ab、故选B.7在如图所示的矩形ABCD中、AB4、AD2、E为线段BC上的点、则的最小值为()A12B15C17D16解析：选B.以B为坐标原点、BC所在直线为x轴、BA所在直线为y轴、建立如图所示的平面直角坐标系、则A(0、4)、D(2、4)、设E(x、0)(0x2)、所以(x、4)(x2、4)x22x16(x1)215、于是当x1、即E为BC的中点时、取得最小值15、故选B.8(一题多解)已知a、b、e是平面向量、e是单位向量若非零向量a与e的夹角为、向量b满足b24eb30、则|ab|的最小值是()A.1B.1C2D2解析：选A.法一：设O为坐标原点、a、b(x、y)、e(1、0)、由b24eb30得x2y24x30、即(x2)2y21、所以点B的轨迹是以C(2、0)为圆心、1为半径的圆因为a与e的夹角为、所以不妨令点A在射线yx(x0)上、如图、数形结合可知|ab|min|1.故选A.法二：由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b、e、3e、所以be、b3e、所以0、取EF的中点为C、则B在以C为圆心、EF为直径的圆上、如图设a、作射线OA、使得AOE、所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A.9(多选)下列命题正确的是()A若复数z1、z2的模相等、则z1、z2是共轭复数Bz1、z2都是复数、若z1z2是虚数、则z1不是z2的共轭复数C复数z是实数的充要条件是z (是z的共轭复数)D已知复数z112i、z21i、z332i(i是虚数单位)、它们对应的点分别为A、B、C、O为坐标原点、若xy(x、yR)、则xy1解析：选BC.对于A、z1和z2可能是相等的复数、故A错误；对于B、若z1和z2是共轭复数、则相加为实数、不会为虚数、故B正确；对于C、由abiabi得b0、故C正确；对于D、由题可知、A(1、2)、B(1、1)、C(3、2)、建立等式(3、2)(xy、2xy)、即解得xy5、故D错误故选BC.10(多选)已知向量a(2、7)、b(x、3)、且a与b的夹角为钝角、则实数x的值可以为()A. B C. D1解析：选CD.a与b的夹角为钝角必须满足ab2x210且a与b不共线、把各选项逐项代入验证知、C、D符合要求11(多选)已知等边三角形ABC内接于O、D为线段OA的中点、则()A.B.C.D.解析：选AC.如图所示、设BC中点为E、则().故选AC.12(多选)已知P为ABC所在平面内一点、0、|2、则()AABC是直角三角形BABC是等腰三角形CABC的面