假设检验的概论(ppt 43页).ppt

假设检验 第一节假设检验的概念 在总体X的分布完全未知 或只知其分布但不知其参数的情况下 我们对X的分布或分布中的参数作出某种假设 然后根据样本 用统计分析方法检验这一假设是否合理 从而作出接受或拒绝这一假设的决定 一 基本概念 对总体X的分布或分布中的参数提出假设 就称为统计假设 所提出的假设叫做原假设 或零假设 记为H0 对立于原假设的假设称为备择假设 或对立假设 记为H1 假设检验就是根据样本 适当构造一个统计量 按照某种规则 决定是接受H0 拒绝H1 还是拒绝H0 接受H1 所使用的统计量称为检验统计量 只对总体分布中的参数提出假设进行检验的问题 称为参数检验 二 两类错误 在确定检验法则时 应尽可能使犯两类错误的概率都较小 但是 一般说来 当样本容量给定以后 若减少犯某一类错误的概率 则犯另一类错误的概率往往会增大 要使犯两类错误的概率都减小 只好增大样本容量 现在 所以拒绝H0 即认为这段时间内包装机的工作不正常 三 双边检验与单边检验 在备择假设H1 中 可能大于 也可能小于 称H1为双边备择假设 相应的检验称为双边检验 如果对假设H0 H1 进行检验称为右边检验 如果对假设H0 H1 进行检验称为左边检验 右边检验的拒绝域为 左边检验的拒绝域为 例2某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布 现在用新方法生产了一批推进器 从中抽取n 25只 测得样本均值为 设在新方法下总体的标准差仍为 问这批新推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著提高 取显著性水平 解 依题意检验假设为H0 即新方法未提高燃烧率 H1 即新方法提高了燃烧率 这是一个右边检验问题 其检验统计量为 拒绝域为 现在 即u的取值落在拒绝域中 所以在显著性水平 0 05下拒绝H0 接受H1 即认为这批新推进器较以往提高了燃烧率 第二节单个正态总体均值与方差的假设检验 一 方差已知时 正态总体均值的假设检验 u检验 假设总体 X1 X2 Xn 是来自总体X的样本 已知 这里要检验的假设是H0 H1 当H0成立时 检验统计量 类似地可以检验单边假设 见表8 1 上述检验所用统计量服从标准正态分布 称为u检验法 对于给定的显著性水平 拒绝域为 例1一种元件 要求其平均寿命不小于1000h 现在从一批这种元件中随机抽取25件 测得平均寿命为950h 已知这种元件寿命服从 100h的正态分布 试在显著性水平 0 05条件下确定这批元件是否合格 解H0 H1 当H0为真时 检验统计量 对于给定的显著性水平 0 05 查表得 此题是一个左边检验的问题 拒绝域为 现在n 25 100 950 所以拒绝H0 而接受H1 即认为这批元件不合格 二 方差未知时 正态总体均值的假设检验 t检验 设总体 未知 X1 X2 Xn 是来自总体X的样本 这里要检验的是H0 H1 上述检验统计量服从t分布 称这种检验为t检验 类似地可以进行单边检验 见表8 1 解这里是在总体方差未知的情况下 检验假设H0 H1 在H0成立时 检验统计量对于给定的显著性水平 0 05 拒绝域为 例2某车间加工一种零件 要求长度为150mm 今从一批加工后的这种零件中抽取9个 测得长度如下 147 150 149 154 152 153 148 151 155假设零件长度服从正态分布 问这批零件是否合格 取 0 05 这里所以接受H0 即认为这批零件合格 三 正态总体方差的假设检验 检验 设总体 X1 X2 Xn 为X的样本 给定显著性水平 1 当已知时 方差的假设检验H0 H1 其中为已知常数 检验统计量 对于给定的显著性水平 拒绝域为或 上述检验的统计量服从分布 称此种检验为检验 类似地可以进行单边检验 见表8 1 例3某厂生产的尼龙纤维的纤度在正常情况下服从正态分布 其标准差 0 048 某日抽取5根纤维 测得它们的纤度为1 32 1 36 1 55 1 44 1 40试问能否认为这一天尼龙纤维的纤度的标准差 0 048 取 0 1 解这里要检验的假设是H0 0 048 H1 0 048 检验统计量对于给定的显著性水平 0 1 拒绝域为或 这里 1 414 0 00778 所以拒绝H0 即不能认为这一天尼龙纤度的标准差 0 048 第三节两个正态总体均值差与方差比的假设检验 设总体X与Y相互独立 X1 X2 Xm 与 Y1 Y2 Yn 分别为来自总体X与Y的相互独立的样本 一 方差已知时 两个正态总体均值差的假设检验 u检验 设为已知 要检验的假设为H0 H1 也可以写成H0 H1 检验统计量为对于给定的显著性水平 查表得 使得拒绝域为 二 方差未知但相等时 两个正态总体均值差的假设检验 t检验 设为未知 要检验的假设为H0 1 2 1 2 0 H1 1 2 检验统计量 其中 对于给定的显著性水平 查表得t 2 使得P t t 2 从而可知拒绝域为 t t 2 注意当与未知时 首先要检验方差齐性 即要检验 然后才能使用上述检验法 例1在甲 乙两个工厂生产的蓄电池中 分别取5个测量电容量 数据如下 甲厂 143141138142140乙厂 141143139144141设甲 乙两厂蓄电池的电容量分别服从N 1 和N 2 且 问两厂的电容量有无显著差异 取 0 05 解法一设X Y分别表示甲 乙两厂蓄电池的电容量 于是有X N 1 Y N 2 要检验的假设为H0 1 2 H1 1 2 检验统计量拒绝域为 t t 2 m n 2 这里 0 05 m n 5 查表得t 2 m n 2 t0 025 8 2 306 143 141 138 142 140 140 8 141 143 139 144 141 141 6 这里 0 05 n 5 查表得t 2 n 1 t0 025 4 2 7764 2 2 1 2 1 0 8 s2 2 699 于是 0 2177 2 7764 因此接受原假设H0 即认为两厂蓄电池的电容量无显著差异 注两种解法的结果相同 而后一种解法的计算量较前一种解法要小得多 另外 后一种解法可以取消的要求 三 两个正态总体方差比的假设检验 F检验 1 均值 1 2已知时 方差比的假设检验 这里要检验的假设为H0 H1 由于且与相互独立 在H0成立的条件下 有 对于给定的显著性水平 查表得F 2 m n 和F1 2 m n 我们有P F1 2 m n F F 2 m n 1 因此得到拒绝域为F F1 2 m n 或F F 2 m n 这种利用F分布进行检验的方法 称为F检验 2 均值 1 2未知时 方差比的假设检验 这里要检验的假设为H0 H1 由于 且与相互独立 在H0成立的条件下 有 例2从两个正态总体分别独立地抽取样本观察值如下 甲 4 44 02 04 8乙 6 01 03 20 4能否认为两个样本观察值来自同一总体 取 0 05 解设两个正态总体分别为X N 1 和Y N 2 首先检验H0 由于 1 2未知 所以检验统计量为F F m 1 n 1 拒绝域为 F1 2 m 1 n 1 或 F 2 m 1 n 1 这里 0 05 m n 4 查表得F 2 m 1 n 1 F0 025 3 3 15 44 F1 2 m 1 n 1 由于0 065 0 24 15 44 因此接受原假设H0 即认为两个正态总体的方差相同 下面再检验假设 1 2 由于 但未知 所以取检验统计量为拒绝域为 t t 2 m n 2 因为t 2 m n 2 t0 025 6 2 4469 而 0 82 2 4469 所以接受 即认为两个正态总体的均值相同 综上所述 在显著性水平 0 05下 认为两个样本值来自同一总体 第四节大样本情况下非正态总体均值的假设检验 设非正态总体X具有有限的均值E X 和非零方差D X 2 当样本容量n很大 n 50 时 由中心极限定理可知近似地服从标准正态分布N 0 1 要检验的假设为H0 0 1 当方差 2已知时 在H0成立的条件下 检验统计量 1 近似服从标准正态分布N 0 1 对于给定的显著性水平 查表得u 2 使 因此得到拒绝域为 2 当方差 2未知时 用S2代替 2 检验统计量为 2 仍然近似服从标准正态分布N 0 1 拒绝域为 3 右边检验H0 0 H1 0的拒绝域为左边检验H0 0 H1 0的拒绝域为 例1某工厂生产一批产品 要求次品率不超过10 如果从产品中抽取50件 发现有8件次品 可否认为这批产品合格 取 0 05 解设次品率为p 要检验的假设为H0 p p0 0 1 H1 p 0 1 由于总体X服从参数为p的 0 1 分布 方差为 2 D X p 1 p 在H0成立的条件下 检验统计量为拒绝域为u u 这里u u0 05 1 645 n 50 于是因此 在显著性水平 0 05下接受H0 即认为这批产品合格 例2对于一个未知分布的总体X 从中抽取容量为150的样本观察值 算得 s 4 在显著性水平 0 05下检验假设H0 0 解这里方差 2未知 因此检验统计量为拒绝域为 查表得 u0 025 1 96 由于所以接受H0 即认为总体的均值 0 在总体X的分布未知时 检验总体的分布函数F x 是否与已知的分布函数F0 x 有显著差别 即检验H0 F x F0 x 这类问题称为非参数检验 若总体分布为离散型 则上述假设相当于H0 总体X的分布律为 若总体分布为连续型 则相当于检验假设H0 f x f0 x f0 x 为已知密度函数 第五节总体分布的假设检验 检验 由频率与概率的关系知道 当原假设H0成立时 ni n pi 2应该比较小 也应该比较小 因此比较小才合理 上式称为皮尔逊统计量 如果F0 x 中含有r个未知参数 1 2 r即总体X的分布函数为F0 x 1 2 r 则应先求出 1 2 r的极大似然估计 再求出 可以证明 在假设H0成立的条件下 不论F0 x 是怎样的分布函数 当样本容量充分大时 皮尔逊统计量总是近似地服从自由度为k 1的分布 对于给定的显著性水平 当样本容量n很大时 有原假设H0的拒绝域为 当n充分大时 统计量近似地服从自由度为k r 1的分布 此时假设H0 的拒绝域为 注意在使用上述皮尔逊检验法时 通常应取n 50 且每个npi 5 如果某些区间的npi太小 则应