1.4 生活中的优化问题举例--导数在应用题的应用.ppt

1 4生活中的优化问题举例 能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题 本节重点 利用导数知识解决实际中的最优化问题 本节难点 将实际问题转化为数学问题 建立函数模型 1 解决实际应用问题的基本步骤一般地 高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的 其目的在于考查学生对数学语言的阅读 理解 表达与转化能力 求解时一般按以下几步进行 1 阅读理解 认真审题 就是读懂题中的文字叙述 理解叙述所反映的实际背景 领悟实际背景中的数学本质 写出题中的数量关系 实现应用问题向数学问题转化 2 引入数学符号 建立数学模型 一般地 设自变量为x 函数为y 并用x表示相关的量 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关的知识 将问题中的数量关系表示为一个数学关系式 实现问题的数学化 即建立数学模型 3 运用数学知识和方法解决上述问题 4 检验结果的实际意义并给出答案 2 求最优化问题的步骤求实际问题中的最大 小 值 主要步骤如下 1 抽象出实际问题的数学模型 列出变量之间的函数关系式y f x 2 求出函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的取值大小 最大者为最大值 最小者为最小值 1 解决实际应用问题时 要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式 这需要通过分析 联想 抽象和转化完成 函数的最值要由和确定 当定义域是且函数只有一个时 这个也就是它的 2 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 通过前面的学习 我们知道是求函数最大 小 值的有力工具 运用可以解决一些生活中的 极值 端点的函数值 开区间 极值 极值 最值 优化问题 导数 导数 优化问题 例1 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 分析 根据所给几何体的体积公式建模 解析 设箱高为xcm 则箱底边长为 60 2x cm 则得箱子容积V是x的函数 V x 60 2x 2 x 00 当10 x 30时 V x 0 当x 10时 V x 取极大值 这个极大值就是V x 的最大值 答 当箱子的高为10cm 底面边长为40cm时 箱子的体积最大 点评 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值 不必再与端点的函数值进行比较 已知圆柱的表面积为定值S 求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值 解析 设圆柱的底面半径为r 高为h 则S圆柱底 2 r2 S圆柱侧 2 rh 例2 有甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边A处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸40km的B处 乙厂到河岸的垂足D与A相距50km 两厂在此岸边合建一个供水站C 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省 分析 根据题设条件作出图形 分析各已知条件之间的关系 借助图形的特征 合理选择这些条件间的联系方式 适当选定变元 构造相应的函数关系 通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值 可确定点C的位置 解析 解法1 根据题意知 只有点C在线段AD上某一适当位置 才能使总运费最省 设C点距D点xkm 则 BD 40 AC 50 x 令y 0 解得x 30 当00 因此函数在x 30 km 处取得最小值 此时AC 50 x 20 km 供水站建在A D之间距甲厂20km处 可使水管费用最省 点评 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把 问题情景 译为数学语言 找出问题的主要关系 并把问题的主要关系近似化 形式化 抽象成数学问题 再划归为常规问题 选择合适的数学方法求解 对于这类问题 学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换 从而造成了解决应用问题的最大思维障碍 运算不过关 得不到正确的答案 对数学思想方法不理解或理解不透彻 则找不到正确的解题思路 在此需要我们依据问题本身提供的信息 利用所谓的动态思维 去寻求有利于问题解决的变换途径和方法 并从中进行一番选择 设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶 已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍 问如何设计使总造价最小 解析 设圆柱体的高为h 底面半径为r 又设单位面积铁的造价为m 桶的总造价为y 则y 3m r2 m r2 2 rh 答 当此铁桶的高与底面半径之比等于4 1时 总造价最小 分析 根据题意 月收入 月产量 单价 px 月利润 月收入 成本 px 50000 200 x x 0 列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值 答 每月生产200吨产品时利润达到最大 最大利润为315万元 点评 建立数学模型后 注意找准函数的定义域 这是此类题解答过程中极易出错的地方 现该公司准备共投入3百万元 分别用于广告投入和技术改造投入 请设计一种资金分配方案 使得该公司获得最大收益 注 收益 销售额 投入 答案数据精确到0 01 解析 设3百万元中技术改造投入为x百万元 广告费投入为 3 x 百万元 则广告投入带来的销售额增加值为y1 2 3 x 2 14 3 x 百万元 技术改造投入带来的销售额增加值为 所以当该公司用于广告投入1 27百万元 用于技术改造投入1 73百万元时 公司将获得最大收益 一 选择题1 曲线y ln 2x 1 上的点到直线2x y 3 0的最短距离为 答案 A 2 以长为10的线段AB为直径作半圆 则它的内接矩形面积的最大值为 A 10B 15C 25D 50 答案 C 3 用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3 4 那么容器容积最大时 高为 A 0 5mB 1mC 0 8mD 1 5m 答案 A 二 填空题4 如图所示 一窗户的上部是半圆 下部是矩形 如果窗户面积一定 窗户周长最小时 x与h的比为 答案 1 1 5 设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比 若银行以10 的年利率把总存款的90 贷出 同时能获得最大利润 需要支付给存户的年利率定为 答案 6 解析 设支付给存户的年利率为x 银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差 即y kx2 0 9 0 1 kx2 x 0 09kx2 kx3 x 0 y 0 18kx 3kx2 由y 0 得x 0 06或x 0 舍去 当x 0 0 06 时 y 0 当x 0 06 时 y 0 故当x 0 06时 y取最大值 三 解答题6 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 解析 设广告的高和宽分别为x