高中数学第一章知识导航学案.docx

1.4 三角函数的图象与性质知识梳理1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.2.正弦曲线与余弦曲线的关系我们知道y=cosx=sin(+x)(xR)，由此可知，余弦函数y=cosx的图象与正弦函数y=sin(+x)(xR)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图象.3.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.4.正弦、余弦、正切函数的主要性质函数性质y=sinxy=cosxy=tanx定义域RRx|x+k,kZ值域-1，1-1，1R周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间+2k, +2k(kZ)-+2k,2k(kZ)(+2k, +2k)(kZ)减区间+2k, +2k(kZ)2k,2k+(kZ)无对称性对称中心(k,0)(kZ)(k+,0)(kZ)(k,0)(kZ)对称轴x=k+ (kZ)x=k(kZ)无知识导学 要学好本节内容，可借助一定的实例展现正弦函数的图象，对这类函数图象有一个直观的了解.利用单位圆中的正弦线画出y=sinx在一个周期内的图象，再经平移得出y=sinx（xR）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx的图象.从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性，体会周期性是三角函数的重要性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过过来利用图象观察性质. 疑难突破1.为什么y=sinx不在0,2上考查单调性，而选用，？剖析：因为在0，2上y=sinx的增区间有两部分，表达起来不集中，而在一个周期，上，单调增减区间都分别只有一个，所以表达正弦函数所有单调区间时相对简单些.2.除原点外正弦函数y=sinx图象还有没有其他的对称中心？ 剖析：将轴左移或右移个单位，2个单位，3个单位，即（kZ）个单位，正弦函数图象的对称中心也可以是点（，），点（2，），点（，）（kZ）.由此可知正弦函数图象有无数个对称中心（，）（kZ）.它们是图象与x轴的交点，亦即图象和其平衡位置的交点，可以看出正弦函数图象也具有轴对称性.所有的对称轴为x=（kZ），它们是过图象的最高或最低点而与x轴垂直的直线.3.如何理解三角函数图象的五点法作图？剖析：y=sinx,x0，2的图象上有五点起决定作用，它们是（0，0）（，1），（，0），（，-1），（2，0）描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.（0，1）（，0），（，-1），（，0），（2，1）这五点描出后，余弦函数y=cosx，x0,2的图象的形状也就基本上确定了，因此可以用五点法作余弦函数y=cosx图象，如图1-4-1：图1-4-1 所以，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个点，然后再用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法. 注意：（1）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中.（2）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此，在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，利于应用.4.如何理解正弦、余弦、正切函数的性质？剖析：（1）正弦、余弦、正切函数的性质都能从其图象上得到体现，所以熟练掌握函数图象是理解性质的关键，而性质反过来又可帮助我们正确地作出函数的图象，因此图象与性质相辅相承，图象是性质的载体，性质又决定了图象的特征.（2）正切函数y=tanx,x(k,k+)(kZ)是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调函数.（3）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值.（4）正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线、正切曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.正切曲线的对称中心有两类：一类是曲线与x轴的交点，此时正切值为0；另一类是对称轴与x轴的交点，此时正切函数无意义.5.如何理解周期函数?剖析：（1）周期函数的定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)或不满足都不能说T是y=f(x)的周期；例如：sin(+)=sin,但是sin(+)sin.就是说不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是y=sinx的周期.（2）从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f2(x+)=f(2x)，则是y=f(x)的周期.（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)=C（C为常数）（xR），当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.再如函数D(x)=设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于0，因此在两种情况下，都有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期.（5）“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值