2019-2020学年杭州市高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合则 （ ）ABCD【答案】D【解析】根据交集运算求解即可.【详解】因为故.故选：D【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题型.2若一个幂函数的图像经过点，则它的单调增区间是（ ）ABCD【答案】C【解析】求出幂函数的解析式再求单调增区间即可.【详解】设幂函数,又图像经过点故.故.其增区间为故选：C【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与单调区间,属于基础题型.3下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）ABCD【答案】D【解析】在区间上单调递增；是非奇非偶函数；当时，是增函数；对于D:,是奇函数；又在区间上单调递减故选D4函数的零点的个数为 （ ）ABCD【答案】B【解析】略【详解】因为函数单调递增，且x=3,y0,x=1,y0，所以零点个数为15已知为上的奇函数，且当时，则（）A1B2CD【答案】D【解析】根据奇偶性转为计算，结合所给条件代入计算即可.【详解】因为是上的奇函数，所以；又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求值，难度较易.若函数是奇函数，则有.6已知，则= （ ）ABCD【答案】C【解析】根据诱导公式以及二倍角公式化简即可.【详解】.又,故.故选：C【点睛】本题主要考查了诱导公式以及二倍角公式的化简,属于基础题型.7在下列函数 中周期为的函数的个数为 （ ）A个B个C个D个【答案】C【解析】根据三角函数图像与性质逐个判断即可.【详解】最小正周期为.正确.因为.正确.,最小正周期为.正确.最小正周期为,故周期为成立.正确.故周期为.正确.为偶函数且无周期.错误.故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数周期的判定,周期是否为可根据判定,属于中等题型.8函数的大致图像是（ ）ABCD【答案】B【解析】由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B9已知函数（其中），若对任意，存在，使得，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意可知. 在的值域包含在上的值域.再分析列出不等式求解即可.【详解】画图易得, 在的值域包含在上的值域.故应当大于等于个周期才能使得值域包含在上的值域.故.故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图形变换与区间的不等式列式方法等.需要考虑区间长度与周期的关系,属于中等题型.10已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在上单调递减，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：构造函数，因为函数是上的增函数，所以也是增函数，而，所以，那么，以及根据周期，解得，又因为，解得，综上可得，故选A.【考点】1.构造法；2.三角函数的性质.【思路点睛】本题考查了三角函数的性质以及构造函数法，综合性强，属于难题，本题的第一个难点是构造函数，根据函数的单调性，得到，得到的第一个范围，根据函数在区间上单调递减，说明函数的周期,得到的第二个范围，以及时函数单调递减区间的子集，这样得到参数取值.二、填空题11 _；则_.【答案】 【解析】(1)根据正弦函数求值即可.(2)画出余弦函数图像分析即可.【详解】(1) (2)由余弦函数图像, 易得当时有.故当,.故答案为：(1)；(2)【点睛】本题主要考查了利用三角函数图像求解不等式的问题,属于基础题型.12函数的单调增区间为_；奇偶性为_（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）.【答案】 偶函数 【解析】(1)分两种情况讨论即可.(2)将代换为再判断奇偶性即可.【详解】(1)当时为增函数,当时为减函数.故单调增区间为.(2)因为.且定义域为.故奇偶性为偶函数.故答案为：(1) ; (2) 偶函数【点睛】本题主要考查了绝对值有关的函数的单调性与奇偶性,分绝对值内的正负讨论即可.属于基础题型.13若则=_；若，则_.【答案】 【解析】(1)根据对数基本运算求解即可.(2)利用指数幂的运算求解即可.【详解】(1) (2) 故答案为：(1); (2)【点睛】本题主要考查了对数与指数的基本运算法则等,属于基础题型.14函数的 值域为_；函数的值域为_.【答案】 【解析】(1)利用三角函数公式代换为含有的二次复合函数再求值域即可.(2)参变分离再求值域即可【详解】(1) .因为故.即函数的值域为.(2) .因为.故,故答案为：(1);(2)【点睛】本题主要考查了正余弦函数的复合函数的值域问题,属于中等题型.15设函数f(x)则f(f(4)_.【答案】4【解析】f(4)416，所以f(f(4)f(16)416若，则_【答案】【解析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.17已知函数的值域为，则实数的取值范围_.【答案】【解析】由题意知的值域包含,再分情况讨论即可.【详解】由题意的值域包含,设,故的值域包含.当时, 在定义域内为增函数,且值域为,满足条件.当时, ,故.综上所述, 实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域与分情况讨论,以及函数的单调性与基本不等式的用法等.需要根据题意得出值域的包含关系.属于中等题型.三、解答题18设全集为R，Ax|3x7，Bx|4x10(1)求R(AB)及(RA)B；(2)若Cx|a4xa4，且ACA，求a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）先求得，再求其补集.先求得的补集，再和集合取交集.（2）由于，属于集合是集合的子集，由此列出不等式组，求得的取值范围.【详解】(1)ABx|3x10，R(AB)x|x3或x10又RAx|x3或x7，(RA)Bx|7x10(2)ACA，AC.3a7.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集混合运算，在运算的过程中，要注意端点值是否取得.属于基础题.19如图是，在区间上的图象，(1)求函数的解析式；(2)若把函数图像向左平移个单位后，与函数重合，求的最小值.【答案】(1) ;(2) 【解析】(1)先观察出,再根据五点作图法列式求解的值即可.(2)求得出轴右边最近的最大值处的对称轴表达式,再分析即可.【详解】(1)易得,又周期,故.又因为在处取最大值.故.即,又,故.故(2)因为,故轴右边最近的最大值处的对称轴在处取得.故把函数图像向左平移个单位后,与函数重合.即的最小值为.【点睛】本题主要是考查了根据五点作图法与图像求三角函数解析式的方法,同时也考查了三角函数图像平移的方法等.属于中等题型.20已知函数(1)求函数在区间上的值域(2)把函数图象所有点的上横坐标缩短为原来的倍，再把所得的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数， 若函数关于点对称（i）求函数的解析式；（ii）求函数单调递增区间及对称轴方程.【答案】(1);(2) （i）;（ii）单调递增区间为,对称轴方程为【解析】(1)利用降幂公式与和差角辅助角公式等将化简为的形式再求值域即可.(2)根据三角函数图像伸缩平移的方法求解函数的解析式,再求解单调递增区间及对称轴方程即可.【详解】(1) .即.又.故.(2)由题易得.又函数关于点对称,故.又,故当时满足.故.即单调递增区间满足即单调递增区间为对称轴方程满足.即对称轴方程为.【点睛】本题主要考查了三角函数的和差角以及降幂公式化简以及三角函数图像变换与图像性质等,属于中等题型.21已知，函数（）当时，求函数的最大值并求出相应的值；（）若函数在上有6个零点，求实数的取值范围.【答案】（）的最大值为2,此时或,；（）【解析】（）令,再将其的最大值以及相应的值即可.（）令,再参变分离讨论在区间上单调性与值域,进而分析零点个数即可.【详解】（）当时,令,则.故,故.又.故在时取最大值2,此时,即,解得或,.化简得或,.故的最大值为2,此时或,.（）由（）令有,.当时有3个零点,或时均成立.当时,有,设,则则也有3个根.又为一一对应的函数,故只需的函数值有3个根即可.又,画出图像知,当时均有3个自变量与之对应.故此时故【点睛】本题主要考查了三角函数中的换元用法以及关于二次函数的复合函数问题,同时也考查了数形结合解决零点个数的问题,需要换元分析复合函数的定义域与值域的关系,属于难题.22已知为正数，函数.（）解不等式；（）若对任意的实数总存在，使得对任意恒成立，求实数的最小值.【答案】（）；（）【解析】（）转换为关于的二次函数,再求解不等式即可.（）先求得在时的最大值 ,再根据得.再分情况讨论在上的最大最小值即可.【详解