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第三章线性方程组 线性方程组的一般表达式 本章要解决三个问题 1 如何求线性方程组的解 2 如何判断一个线性方程组有没有解 在有解的情况下 有多少解 3 当解不止一个时 解与解之间是什么关系 取 AX B 增广矩阵 3 1消元法解线性方程组 3 2n维向量 3 3向量组的秩 3 4矩阵的秩 3 5线性方程组解的一般理论 3 1消元法解线性方程组 引例 用消元法解方程组 对 消元法 对m n线性方程组 行变换 r min m n 的同解方程组 解的情形 则 无解 1 r n 由cramer法则 2 r n 无穷多解 得唯一解 2 若r n 则 可写成 自由未知量 对 则方程组的解为 无解 1 r n 唯一解 2 r n 无穷多解 ci为任意常数 例1 解方程组 解 得同解方程组 原方程组的解为 例2 解线性方程组 解 得同解方程组 取x4 c 得原方程组的解 c为任意常数 例3 解线性方程组 解 原方程组无解 例4 当a为何值时 线性方程组有解 并求出方程组的解 解 由可知 当a 4时 方程组有解 同解方程为 取x2 c c为任意常数 则原方程组的解为 对齐次线性方程组 由消元法 齐次线性方程组的解 1 当r n时 仅有零解 2 当r n时 有无穷多解 补充定理 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是 对n元齐次线性方程组 因为 A方阵是 由于其次方程组有非零解的充要条件是 r n A B 而r n的充要条件是 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是 例5 当k为何值时 下面齐次方程组有非零解 并求其解 解 所以 当k 3或k 2为时 该齐次方程组有非零解 且当k 3时 得同解方程组 取x2 c 得原方程组的解 c为任意常数 当k 2时 得同解方程组 取x2 c 得原方程组的解 c为任意常数 线性方程组要解决三个问题 1 如何求线性方程组的解 2 如何判断一个线性
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