375．二次函数1、2教学案.doc

海陵中学初三数学教学案 姓名 班级 第二十六章二次函数二次函数y=ax2的图象（第1课时）【目标导航】1知道二次函数的意义；2使学生会用描点法画出二次函数y=ax2的图像，并结合y=ax2的图像，初步理解抛物线及其有关概念【要点梳理】探究一：1圆的半径是R，它的面积为S，写出S与R之间的函数关系式 答案：S=R22多边形边数为n，对角线数为d，写出d与n之间的函数关系式 答案：d=n（n3）3某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，写出y与x之间的函数关系式 答案：y=20（x+1）2观察提问：比较这三个函数，都是用自变量的几次式来表示的？定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项注意一个函数是二次函数的条件：一是 ；二是 二次函数的一般式是 ，其中 是变量，a、b、c是常数；自变量x的取值范围是 ，b和c可以取 ，但要注意 任何一个二次函数的解析式都可以整理为y=ax2+bx+c形式，当变量y取定一个常数时，这个二次函数就是关于x的一元二次方程【课堂操练】 (口答)下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=5x1 （2）y=4x21 （3）y=2x33x2 （4） （5）（6） （7） （8）答案：（2）（4）（5）（7）是二次函数例1（1）若是二次函数，求m的值答案：由题意，得，m=2（2）当k为何值时，函数是二次函数？答案：由题意，得，k=3探究二：一次函数图像是 ，反比例函数的图像是 ，二次函数的图像是什么形状呢？通常画一个函数图像的步骤是 ； ； 答案：直线，双曲线，列表，描点，连线，一切实数我们先研究最简单的二次函数y=ax2（a0）的图像1.列表、描点画出函数y=x2的图象，在y=x2中自变量x取值范围是 ，x3210123y=x2二次函数y=x2的图像是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=x2，只是开口方向 ，且是轴对称图形， 是抛物线y=x2的对称轴，抛物线与对称轴的交点称为抛物线的顶点，（ ）是抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最 点答案：上，y轴，（0,0），低2（1）在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？x432101234x21.510.500.511.52 （2）在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点答案：（1）图象略，共同点：开口向上，顶点是原点；不同点：开口大小不一样（2）图象略，共同点：开口向下，顶点是原点；不同点：开口大小不一样归纳：一般地 ，抛物线的对称轴是 ，顶点是 ，当a0时，抛物线的开口 ， 是抛物线的最 点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，越大，抛物线的开口越 答案：y轴，原点，向上，顶点，低，下，高，大（a 0）图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化(增减性)最值a0a0例3 已知是关于x的二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大，求k的值答案：由题意，得，k=1【课堂操练】1.函数的图像开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 答案：上，y轴，（0,0）2.函数的图像开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 答案：下，y轴，（0,0）3.函数是二次函数，当k 时，图像开口向上；当k 时，图像开口向下答案：=4，=24.函数的图像如右图所示，则m 0，在对称轴左侧，y随x的增大 而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，顶点坐标是 ，是抛物线的最 点，函数在x= 时，有最 值为 答案：0，减小，增大，（0,0），低，0，小，05.分别求符合下列条件的抛物线的解析式；（1）图像经过点（3，2）；（2）与抛物线的开口大小相等，方向相反；（3）当x由1增加到2时，函数值减小了4答案：（1）y=x2；（2）y=；（3）y=x26.已知抛物线经过点（）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线上纵坐标等 于3的点的横坐标，并通过观察函数图像回答，当x在什么范围内时y3？答案：（1）；（2）2，2x2【课后盘点】1下列函数中是二次函数的有 （ ）y=x；y=x A1个 B2个 C3个 D4个答案：B2下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2bxc（a 0）模型的是 （ ） A在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计阻力） D圆的周长与圆的半径之间的关系答案：D3菱形的两条对角线的和为26cm，则菱形的面积S（cm2）与一条对角线的长x（cm）之间 的函数关系式为_，自变量的取值范围是_答案：S=x（26x），0x264函数y=（m2）x2x1是二次函数，则m=_答案：25函数是二次函数的条件是 （ ） Am、n为常数，且m 0 Bm、n为常数，且m n Cm、n为常数，且n 0 Dm、n可以为任何数答案：B6已知二次函数，则它们的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是 Aa1，b3，c5 Ba1，b3，c5 （ ） Ca5，b3，c1 Da5，b3，c1答案：D7在半径为4cm的圆中，挖出一个半径为xcm的圆，剩下的圆环的面积是y，则y与x 的函数关系为 （ ） A B C D答案：D8在同一坐标系中，抛物线，的共同点是 （ ） A开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点 B开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点 C对称轴是y轴，顶点是原点 D有最小值为0答案：D9（2011广西贺州）函数y=ax2（a0）与yax2（a0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）答案：A10抛物线，的开口大小的次序应为 （ ） A B C D答案：B11（2011广东广州）下列函数中，当x0时y值随x值增大而减小的是（ ） Ay = x2 By = x C y = x Dy = 答案：D12关于函数的性质的叙述，错误的是 （ ） A对称轴是y轴 B顶点是原点 C当x0时，y随x的增大而增大 Dy有最大值答案：D13已知点A（3，），B（1，），C（2，）在抛物线上，则、 的大小关系是 （ ） A B C D答案：D14已知二次函数和，对任意给定一个x值都有，关于m，n的关系可能正确的是 (填序号).mn0 m0，n0 m0，n0 mn0答案：15已知函数是关于x的二次函数（1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？（3）当m为何值时，该函数有最小值？ 答案：由题意，得，m=7，4;m=4；m=716已知直线y=ax+b上有两点A、B，它们的横坐标分别是3、1，若二次函数yx2的图象经过A、B两点(1)请求出一次函数的表达式；(2)设二次函数的顶点为C，求ABC的面积答案：设A点坐标为(3，m)；B点坐标为(1，n).A、B两点在y=x2的图象上,m=9=3,n=1=.A(3，3),B(1，).A、B两点又在y=ax+b的图象上,解得一次函数的表达式是y=x+1.如下图，设直线AB与x轴的交点为D，则D点坐标为(，0).|DC|=.SABC=SADCSBDC=3=2.17已知抛物线（a0）与直线y=kx2相交于A、B两点，A的坐标是（1，1），求：（1）a、k的值；（2）B点的坐标；（3）答案：由题意，得，a=1，k=1；，x=2，1，B点的坐标（2，4）；SAOB=（1+4）31124=3.18已知正方形的周长为Ccm，面积为S，（1）求S与C之间的函数关系式；（2）画出函数的图像；（3）根据图像回答，当S=1时，正方形周长是多少？（4）根据图像回答，当C为何值时，S4？答案：S=；图象略；1；C819如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线相交于B、C两点，B点坐标为（1，1），（1）求直线AB的解析式，及抛物线的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求；（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D坐标答案：（1）设直线AB所表示的函数解析式为y=kx+b它过点A（2，0）和点B（1，1） ，解得 k=1，b=2，直线AB所表示的函数解析式为y=x+2抛物线过点B（1，1），a1=1，解得a=1抛物线所表示的函数解析式为y=x2；（2）解方程组，得x=-2，1，C（2，4）；（3）B点坐标为（1，1），A点坐标为（2，0），OA=2， SOAC=1224=4， SOAB=1221=1，SOBC=SOACSOAB=41=3；（4）设D点的纵坐标为yD，则 SOAD=OA|yD|=2yD=yD=3，把y=3代入y=x2，得 x=3，又点D在第一象限， xD=3，D点坐标为（ 3，3）20（2011广东株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标答案：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ，AOB=90，AC=OC=BC=2，B(2，-2)， 将B(2，-2)代入抛物线得，. （2）解法一：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，)， . 又AOB=90，易知AOE=OBF，又AEO=OFB=90，AEOOFB， AE=2OE， 设点A（，）（m0），则OE=m，m=4，即点A的横坐标为-4. 解法二：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，)， AOB=90，易知AOE=OBF，AE=2OE， 设点A（-，）（m0），则OE=m，m=4，即点A的横坐标为-4. 解法三：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，)， 设A（-，）（m0），则， AOB=90，解得：m=4，即点A的横坐标为-4. （3）解法一：设A（，）（m0），B（，）（n0），设直线AB的解析式为：y=kx+b， 则，(1)n+(2)m得， 又易知AEOOFB，mn=4，.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），解法二：设A（，）（m0），B（，）（n0），直线AB与y轴的交点为C，根据，可得，化简，得. 又易知AEOOFB，mn=4，OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,-2）说明：mn的值也可以通过以下方法求得.由前可知，由，得：，化简，得mn=4.21已知点A(1，a)在抛物线y=x2上（1）求A点的坐标（2）在坐标轴上是否存在点P，使得OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.答案：（1，1）；P（1，0），（0，1），（2，0），（0，2），（0，），（0，），（，0），（，0）22有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系（1）求此抛物线的解析式；（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥？（3）若设EFa，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围yxADMCBFOE 答案：（1）y=x2（9x9）；（2）CD=9，点E的横坐标为，则点E的纵坐标为，点E的坐标为，因此要使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过82=6（米），（3）由EF=a，则E点坐标为，此时，S矩形CDEF=EFED=8a（0a18）23如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，2）、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0）为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标（2）当SR2RP时，计算线段SR的长（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使若存在，求的值；若不存在，说明理由答案：（1）由题意知点A（2，2）在的图象上，又在y=x+b的图象上所以得和，b=4一次函数的解析式为y=x+4二次函数的解析式为由，解得或，所以B点的坐标为（4，8）（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，由得，所以点S的坐标（t，t+4）由得，所以点R的坐标所以，由SR=2RP得，解得或t=2因点P（t，0）为线段CD上的动点，所以，所以或t=2，当时，SR=，当t=2时，SR=，所以线段SR的长为或4（3）因，点R到直线BD的距离为4t，所以。解得t=1或t=10因为，所以t=1二次函数y=ax2的图象（第2课时）【目标导航】会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图像，并结合y=ax2+k的图像，了解函数y=ax2+k的性质【要点梳理】复习函数y=ax2图像、性质探究一：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,的图像答案：图象略讨论：（1）抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标各是什么？答案：开口方向向上，对称轴y轴、顶点坐标是（0，1），（0，1）（2）抛物线与抛物线有什么关系？答案：抛物线是由抛物线向上平移1个单位得到，抛物线是由抛物线向下平移1个单位得到归纳：将抛物线向 平移 个单位，就得到抛物线 ；把抛物线向 就得到抛物线答案：上，1，向下平移1个单位思考：（1）把抛物线向下平移5个单位可得抛物线 （2）把抛物线向上平移2个单位可得抛物线 （3）抛物线可由抛物线 而得到（4）将抛物线y= 向下平移2个单位可得抛物线（5）抛物线y=2x24的图象可由抛物线y=2x2向_平移_个单位得到，它的顶点坐标是_，对称轴是_答案：（1）；（2）；（3）向上平移2个单位；（4）；（5）下，4，（0，4），y轴总结：1二次函数的图象与抛物线的开口方向、大小完全相同，对称轴也是y轴，只是位置不同，可由抛物线上下平移得到：当时，抛物线向上平移个单位，得到的图象；当时，抛物线向下平移个单位，得到的图象；2抛物线的性质：当时，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，k），当x0时，k；当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减少.当时，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，k），当x0时，k；当x0时，y随x的增大而减少；当x0时，y随x的增大而增大.y=ax2+k（a 0）图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化最值a0a0【课堂操练】1.二次函数是由通过向 平移 个单位得到，其开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴方程为 答案：下，2，下，（0，2），直线x=02.抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 答案：y轴，（0，2）3.将抛物线y=ax2+c向下平移3个单位，得到抛物线，则a= ，c= 答案：2，24.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是 A B C D ( )答案：B5.一条抛物线顶点在y轴上，纵坐标是3，它还经过A（1，0），此抛物线的解析式为 ， 当x 时，y随x的增大而减小答案：y=3x2+3，06. （2011福建莆田）抛物线y=6x2可以看作是由抛物线y=6x2+5按下列何种变换得到（ ）A向上平移5个单位 B向下平移5个单位C向左平移5个单位 D向右平移5个单位答案：B7.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( )答案：BO8.廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF（精确到1米）答案：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y=8，把y=8代入y=x2+10得：x=，由两点间距离公式可求出EF=18（米）【课后盘点】1当m=_时，抛物线y=（m1）x9开口向下，对称轴是_，在对称轴左侧， y随x的增大而_；在对称轴右侧，y随x的增大而_答案：2, y轴，增大，减小2（2011浙江宁波）将抛物线yx2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为 答案：yx213抛物线y=x21的顶点坐标是 答案：（0，1）4抛物线与y轴的交点坐标是 答案：（0，4）5小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是 答案：46若的图象的形状与二次函数的图象的形状完全相同，且经过点A（4，10），求这个二次函数的解析式为_ _答案：y=2x242，y=2x2+207抛物线的图象可由抛物线向_平移_个单位得到，它的顶 点坐标是_，对称轴是_答案：上，（0，）, y轴8下列图形中阴影部分的面积相等的是 （ ）111A B C D答案：D9若二次函数中，当x取，（）时，函数值相等，则当x取时，函数值为_答案：510抛物线向下平移个单位得到的抛物线是_答案：y=2x2111如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 答案：212如图所示是一拱桥，已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系（1）求此桥拱线所在抛物线的解析式（2）桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的渔船河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下？说明理由答案：（1）设抛物线为C点坐标代入得：c=8 ，A，B点坐标代入得： ，解得，所求抛物线为；（2）当y=4时得，高出水面4m处，拱宽（船宽），所以此船在正常水位时不可以开到桥下13如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用表示（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？答案：（1）当x=1时，y =3.75, 3.7524. 卡车可以通过.（2）当x=2时，y =3, 324. 卡车可以通过.14（2011四川宜宾）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a0，a为常数），并经过点（2a，2a）,点D（0，2a）为一定点求含有常数a的抛物线的解析式；设点