培优专题6整数的十进制表示(含答案)-.doc

培优专题6 整数的十进制表示 整数的十进制是我们最常用、最熟悉的一种数的进位方法用十进制位法表示一个数常有十个不同的数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且低位向高位进位是逢十进一比如2345这个数，它包含着数位与运算的意思，我们可以理解为2个1000、加上3个100、加上4个10、再加1个5，用式子可以表示为： 2345=2103+3102+410+5 一般地，对于任意一个n位的正整数A，都可以用这种形式表示： A=an-110n-1+an-210n-2+a110+a0，这里a0，a1，an-1取09这10个数字，且an-10，为了方便我们可以将A记为： A=an-1an-2a1a0 其中数码a0叫做个位数，a1叫做十位数，an-1叫做首位数（第n位数） 数的进位有很多种，如十二进制、二进制等，若A能写成： A=an-12n-1+an-22n-2+a121+a0，其中a0、a1an-10，1，且an-10，则A就是一个n位的二进制数，简记为：A=（an-1an-2a1a0）2 关于整数的十进制表示是数学竞赛的一个考点 例1 甲数为两位数，乙数为一位数，且甲数是乙数的9倍多3，现将乙数接于甲数的左边，那么所得的数比甲、乙两数的和的9倍少5，求甲、乙两数 分析 解决这类问题，关键是恰当地选设未知数 解：设乙数为x，则甲数为9x+3，把乙数接于甲数的左边所得的数为： 100x+9x+3，根据题意得： 100x+9x+3=9（9x+3）+x-5 解这个方程得：x=1 91+3=12 答：甲、乙两数分别为12和1练习11把一个两位数m，放在一个三位数n的前面组成一个五位数，可表示为（ ） Amn Bm+n C10m+n D1000m+n2设十位上的数字为x，个位上的数字为x+1，百位上的数字为x-1，则表示这个三位数的代数式是_3一个两位数交换它的十位数字与个位数字的位置，所得的两位数是原来的，求所有这样的两位数 例2 如果一个三位数正好等于各个数位上的数字之和的13倍，试求这个三位数 分析 解决这个题的关键是要能从b=29a-4c中分析出a只能为1，把这个问题解决了，此题也就迎刃而解了 解：设这个三位数可表示为，根据题意得： 100a+10b+c=13（a+b+c）， b=29a-4c 这里a只能为1，否则不论c取什么数，b均为两位数 当a=1时，c=5，6，7 而此时，b=9，5，1 故所求的三位数是195、156或117练习21一个两位数，个位上的数比十位上的数的一半少，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么得到的两位数与原来的两位数差的绝对值是一个整数平方数，求原两位数2将一个三位数的各位数字重新排列后，所得的最大的三位数减去最小的三位数恰好等于原数，求这个三位数3已知一个四位数的各位数之和与这个四位数相加等于2002，试求这个四位数 例3 已知一个三位数，它的数码是顺序相断的三个数码，例如123、456等等，将数码反序排成一个新三位数，证明其中较大的三位数减去较小的三位数的差一定是198 分析 解决这个问题的关键是要用代数式分别将这个三位数和其反序数表示出来，然后再判断其大小，最后求差 证明：设相断的数码为n，n+1，n+2，其中n取1、2、3、4、5、6、7，则这个三位数为a=100n+10（n+1）+（n+2） 设其反序数为b，则： b=100（n+2）+10（n+1）+n 显然，ba b-a=100（n+2）+10（n+1）+n-100n+10（n+1）+（n+2） =200-2=198练习31有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，这个两位数不大于63，则这个两位数是_2一个三位数的各位数字各不相同，把它的各位上的数字任意交换位置，又可得到5个三位数，若这6个三位数的和等于2220，那么在所有满足条件的三位数中，最小的三位数是_3有一个同学他不懂得an的意义，把2x9y看成是四位数，说出也巧，结果完全正确，求x、y的值 例4 已知一个四位数各位数字之和与这个四位数相加等于2003，试求这个四位数 分析 解决此类问题，除了要能找到相关关系列出方程外，关键是要对a、b、c、d的取值进行判定 解：设所求的四位数为，根据题意得： a+b+c+d+=2003，即1001a+101b+11c+2d=2003 若a=1，则：101b+11c+2d=1002 b只能为9，得：11c+2d=93 c9，c8，c只能为7，故d=8 若a=2，则b=c=0，2d=1，d无解 这个四位数是1978 练习4 1+a=1995，求a、b、c、d的值 2一个六位数的3倍等于，则这个六位数是_ 3若一个两位数，加上2之后的各位数字之和只有原各位数字之和的一半，求所有这样的两位数 例5 将2003表示成2进制数 分析 将一个十进制数A用二进制数表示，关键是先将A表示成12=A的形式，如2003=210+979，然后将A再仿照表示A的方法以此类推，最终写成A=an-12n-1+an-22n-2+a121+a0（其中an-1、an-2a1、a0）0，1，就可简记为：A=（an-1an-2a1a0）2 解：210=1024，29=512，28=256，27=128，26=64，25=32，24=16，23=8，22=4， 2003=210+979 =210+29+467 =210+29+28+211 =210+29+28+27+83 =210+29+28+27+26+19 =210+29+28+27+26+24+21+1 =210+29+28+27+26+025+24+023+022+21+1 2003的二进制可表示为2003=（11 111 010 011）2 练习5 1试将1245表示成二进制 2试将（1011 110）2表示为十进制 3试将2003表示成三进制数答案:练习11D2111x-99 100（x-1）+10x+（x+1）=111x-99312，24，36，48设原两位数的个位数字为a，十位数字为b，由题意知：10a+b=（10b+a），a=2b故a可以取2，4，6，8，b相应地取1，2，3，4，这样的两位数共有4个：12，24，36，48练习2173设十位上的数为x，则个位上的数为x-，由题意知：10（x-）+x-（10x+x-）是一个整数平方数，即x+1是一个整数平方数，当x=1，x=7时，x+1是整数平方数，但当x=1时个位上的数为0不合题意，故x=7，这个两位数是732495设abc，且a、b、c为小于等于9且大于等于1的正整数，则由a、b、c组成的最大的三位数为100a+10b+c，最小的三位数为100c+10b+a，则（100a+10b+c）-（100c+10b+a）即99（a-c）等于原数，仅当a-c=5时，原数为495，954-459=495符合题意31982或2000设这个四位数为，则：100a+100b+10c+d+a+b+c+d=2002，即1001a+101b+11c+2d=2002，当a=1时，101b+11c+2d=1001 b只能为9，则11c+2d=92，c=8，d=2 当a=2时，101b+11c+2d=0，b=0，c=0，d=0 这个四位数是1982或2000练习3163，54，45，36，27，18设这个两位数，则a+b=9 且10a+b63 ，由得：b=9-a代入得：10a+9-a63，则a6，这个四位数63，54，45，36，27，182127设这个三位数是，则另五个为、，由题意知： （100a+10b+c）+（100a+10c+c）+（100b+10a+c）+（100b+10c+a）+（100c+10a+b）+（100c+10b+a）=2220，即222a+222b+222c=2220，a+b+c=10 满足题意的最小的三位数是1273x=5，y=2因2x9y是偶数，知y为偶数且只可能为2或4，当y=2时，2x81=，x=5，当y=4时，94=6561不可能，x=5，y=2练习41a=1，b=7，c=9，d=8，由题意知：1111a+111b+11c+d=1995， a=1，得：111b+11c+d=884，b=7，得11c+d=107，c=9，得d=82285713由23=知e=3；由23=得d=1；由3=得c=7；由23=得（2105+a104+b103+713）3=a105+b104+7139，即6105+3a104+3b103=a105+b104+5103， 595=70a+7b，10a+b=85，a=8，b=5，六位数是285713359、68由题意知原数的个位数与2之和大于等于10，设十位数字为a，若个位数字为9，则新得的数为10（a+1）+1，则（a+9）=a+1+1，得a=5；若个位数字为8，则有（a+8）=a+1+0，得a=6，两位数是59，68练习51（10 011 011 101）2 1245=210+221 =210+27+93 =210+27+26+29 =210+27+26+24+13 =210+27+26+24+23+22+1 =2