2018年长沙市高三理数联考试卷.pdf

科目 数学 理科 试题卷 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号写在答题卡和 该试题卷的封面上 并认真核对条形码的姓名 准考证号和科目 2 选择题和非选择题均须在答题卡上作答 在本试题卷和草 稿纸上作答无效 考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答 题 3 本试题卷共 7 页 如缺页 考生须及时报告监考老师 否 则后果自负 4 考试结束后 将本试题卷和答题卡一并上交 姓名 准考证号 理科数学试卷理科数学试卷 第第 1 页 共页 共 7 页 页 绝密 启用前 长沙市长沙市 2018 届高三年级统一模拟考试届高三年级统一模拟考试 理科数学理科数学 长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷共 7 页 全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知复数 2 1 z i 则下列结论正确的是 A z 的虚部为 i B z 2 C z2为纯虚数 D z 的共轭复数1zi 2 已知命题 p x0 0 x0 a 1 0 若 p 为假命题 则 a 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 3 已知1823 xy 则 11 xy A 1 B 2 C 1 D 2 4 在 AOB 中 OA OB 1 OA OB 点 C 在 AB 边上 且4ABAC 则OC AB A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 5 已知某三棱锥的三视图如图所示 其中俯视图 由直角三角形和斜边上的中线组成 则该几何 体的外接球的体积为 A 4 3 B 12 3 C 4 D 12 6 已知 3 sin 5 且sin2 0 则tan 4 的值为 A 7 B 7 C 1 7 D 1 7 正视图侧视图 俯视图 2 3 2 2 高考湘军高考湘军 理科数学试卷理科数学试卷 第第 2 页 共页 共 7 页 页 7 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 r 则记为 N r mod m 例如10 2 mod 4 下列程序框 图的算法源于我国古代数学名著 孙子算经 中的 中国剩余定理 则执行该程序框图输出的 i 等于 A 3 B 9 C 27 D 81 8 设函数 sin 0 0 2 f xx 点A B在双曲线C的左支上 O为坐标 原点 直线BO与双曲线C的右支交于点M 若直线AB的斜率为3 直线AM的斜 率为1 则双曲线C的离心率为 A 3B 2 C 3 D 4 a y O 128 64 a y O 128 64 a y O 12 8 64 a y O 128 64 开始 结束 N 11 i 1 i 3i N N i 输出i 是 否 N 2 mod 3 N 1 mod 7 是 否 第 7 题图 理科数学试卷理科数学试卷 第第 3 页 共页 共 7 页 页 11 已知直线l经过不等式组 20 250 20 xy xy y 表示的平面区域 且与圆O x2 y2 25相 交于A B两点 则当 AB 最短时 直线l的方程是 A 2x y 10 0 B 2x y 6 0 C x 2y 8 0 D 2x y 8 0 12 将正整数n表示为 1210 1210 22222 kkk kkk naaaaa 其中 1 k a 当01ik 时 i a为0或1 记 k n为上述表示式中 i a为0的个数 例如 210 51 2021 2 k 5 1 则k 10 32 k 18 2 3 A 9 B 10 C 11 D 12 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 把各题答案的最简形式写在题 中的横线上 把各题答案的最简形式写在题 中的横线上 13 在 8 1 2 x x 的展开式中 3 x的系数是 14 某种活性细胞的存活率y 与存放温度x C 之间具有线性相关关系 样本数据如 下表所示 存放温度x C 10 4 2 8 存活率y 20 44 56 80 经计算得回归直线的斜率为 3 2 若存放温度为6 C 则这种细胞存活率的预报值 为 15 如图 在 ABC中 D为BC边上一点 已知AB 6 AD 5 CD 1 B 30 ADB为锐角 则AC边的长为 16 过抛物线x2 8y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l 与抛物线相交于A B两点 M为线段AB的中点 O为坐标原点 则直线OM的斜率的取值范围是 A B C D 理科数学试卷理科数学试卷 第第 4 页 共页 共 7 页 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 7 个小题个小题 共共 70 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 第第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据 要求作答 题为选考题 考生根据 要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分分 17 本小题满分12分 设数列 an 的各项均为正数 其前n项和为Sn 已知a1 1 2 1 441 nn San n N 求数列 an 的通项公式 设 2 n n n a b 数列 bn 的前n项和为Tn 求使 1772 60 n n T 成立的正整数n的 最小值 18 本小题满分12分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为平行四边形 PA 底面ABCD 3AB 2 3AD AP 2 ABC 60 证明 平面PCA 平面PCD 设E为侧棱PD上一点 若直线CE分别与平面ABCD 平面PBC所成的角相等 求 PE PD 的值 A BC D P E 理科数学试卷理科数学试卷 第第 5 页 共页 共 7 页 页 19 本小题满分12分 某科研所共有30位科研员 其中60 的人爱好体育锻炼 经体检调查 这30位科 研员的健康指数 百分制 如下茎叶图所示 体检评价标准指出 健康指数不低于70 者为身体状况好 健康指数低于70者为身体状况一般 根据以上资料完成下面的2 2列联表 并判断有多大把握认为 身体状况好 与爱好体育锻炼有关系 身体状况好身体状况一般总计 爱好体育锻炼 不爱好体育锻炼 总计30 现将30位科研员的健康指数分为如下5组 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 其频率分布直方图如图所示 计算该所科研员健康指数的平均数 由茎叶图得到 的真实值记为x 由频率分布直方图得到的估计值记为x 同一组中的数据用 该组区间的中点值作代表 求x 与x 的误差值 从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道 求这2人 中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望 附 2 2 abcd adbc K ab cd ac bd 30位科研员健康指数的和 30 1 2288 i i x P K2 k0 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 001 k0 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828 健康指数 O 60 70 80 90 100 频率 组距 50 5 6 8 9 8 5 6 3 3 4 5 7 7 6 6 5 2 1 7 2 9 7 6 4 3 2 0 8 5 5 4 2 9 1 3 爱好体育锻炼 不爱好体育锻炼 理科数学试卷理科数学试卷 第第 6 页 共页 共 7 页 页 20 本小题满分12分 已知椭圆C的两焦点分别为 1 2 3 0 F 2 2 3 0 F 点E在椭圆C上 且 F1EF2 60 12 4EF EF 求椭圆C的标准方程 过x轴正半轴上一点M作直线l 交椭圆C于A B两点 问 是否存在定点 M 使当直线l绕点M任意转动时 22 11 AMBM 为定值 若存在 求出 定点M的坐标 若不存在 说明理由 21 本小题满分12分 已知函数 2 1 ln 6 x f xax x 其中a 0为常数 若f x 在区间 0 3 内单调递减 求a的取值范围 若f x 在 0 内有且只有一个零点x0 记 x0 表示不超过x0的最大整数 求 x0 的值 理科数学试卷理科数学试卷 第第 7 页 共页 共 7 页 页 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分分 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 22 本小题满分10分 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 已知曲线C的参数方程为 3 cos 3 sin x y 为参数 以原点O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线C的极坐标方程 设A B为曲线C上两动点 且OA OB 求 AB 的取值范围 23 本小题满分10分 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 设函数f x x 3 x 2 的最小值为m 求不等式 2x 1 x m的解集 已知 10 m a 10 m b 证明 4ab 1 2 a b 数学 理科 参考答案第 1 页 共 9 页数学 理科 参考答案第 1 页 共 9 页 长沙市长沙市 2018 届高三年级统一模拟考试届高三年级统一模拟考试 数学 理科 参考答案及评分标准数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 C 解析 因为 2 1 1 1 1 i zi ii 则 z 的虚部为 1 z 2 z2 2i 为纯虚数 1zi 选C 2 D 解析 因为 p 为假命题 则 q 为真命题 即 x 0 x a 1 0 即 x 1 a 所 以1 a 0 即 a 1 选D 3 B 解析 由已知 18 log 3x 2 log 3y 则 3333 182 111118 log 18log 2loglog 92 log 3log 32xy 选B 4 A 解析 解法一 解法一 由已知 2AB 2 4 AC 3 4 OA AB 0AC AB 则 321 2cos2 442 OC ABOAACABOA ABAC AB 选 A 解法二 解法二 由已知可设 1 0 OA 0 1 OB 则 1 1 ABOBOA 因为44 ABACOCOA 则 13 1 44 4 OCABOA 所以 311 442 OC AB 选A 5 A 解析 由三视图可知 该几何体为三棱锥P ABC 如图 其中顶点P在底面ABC内 的射影O是BC的中点 且AB 2 2 2AC 3OP 因为AB AC 则482 3BC 从而3OAOBOC 所以点O为三棱锥P ABC 外接球的球心 球半径3R 其体积 3 4 4 3 3 VR 选A P AB C O 正视图侧视图 俯视图 2 3 2 2 数学 理科 参考答案第 2 页 共 9 页数学 理科 参考答案第 2 页 共 9 页 6 D 解析 由已知 3 sin0 5 且sin2 2sin cos 0 所以 4 cos 5 从而 3 tan 4 所以 3 1 tan11 4 tan 3 41tan7 1 4 选D 7 C 解析 第一次执行循环体 得i 3 N 14 此时14 2 mod 3 但14 1 mod7 第二次执行循环体 得i 9 N 23 此时23 2 mod 3 但23 1 mod 7 第三次执行循环体 得i 27 N 50 此时50 2 mod 3 且50 1 mod 7 退出循环 所以输出i的值为27 选C 8 D 解析 因为T 4 则 2 4 即 1 2 因为 1 3 f 则sin 1 6 又 0 2 得 23177232 3 26060 n nnn 则n 6 所以n的最小值为6 12分 18 本小题满分12分 解析 因为PA 底面ABCD 则PA CD 1分 在 ADC中 由已知 3CD 2 3AD ADC 60 由余弦定理 得 2 31223 2 3cos609AC 即AC 3 则 222 12CDACAD 所以AC CD 3分 结合 知 CD 平面PCA 4分 因为CD 平面PCD 所以平面PCA 平面PCD 5分 解法一 解法一 因为直线CE分别与平面ABCD 平面PBC所成的角相等 则点E分别 A B C D P E F M A BC D P E x y z 数学 理科 参考答案第 5 页 共 9 页数学 理科 参考答案第 5 页 共 9 页 到平面ABCD 平面PBC的距离相等 所以平面BCE平分二面角P BC A的 平面角 6分 在平面ABCD内 过点A作AF BC 垂足为F 连结PF 因为PA 底面ABCD 则BC PF 所以 PFA为二面角P BC A的平面角 7分 在平面PAD中 过点E作EM DA 交PA于M 连结FM 因为AD BC 则ME BC 所以平面CEMF平分二面角P BC A的平面角 则FM为 PFA的平分线 9分 在Rt AFB中 3 sin60 2 AFAB 在Rt PAF中 22 95 4 42 PFAPAF 由角平分线定理 5 3 PMPF AMAF 11分 因为ME AD 则 5 3 PEPM EDMA 所以 5 8 PEPE PDPEED 12分 解法二 解法二 如图所示建立空间直角坐标系 则点P 0 0 2 3 0 0 B C 0 3 0 3 3 0 BC 0 3 2 PC 7分 设 mx y z 为平面PBC的法向量 则 0 0 m BC m PC 即 330 320 xy yz 取z 3 则y 2 2 3x 所以 2 3 2 3 m 8分 设 01 PEPD 3分 所以有99 5 的把握认为 身体状况好与爱好体育锻炼有关系 4分 由茎叶图可知 各组数据的频数分别为3 7 7 8 5 则 37785 5565758595 3030303030 x 12300 165455525680475 3030 6分 所以 2300228812 0 4 3030 xx 故x 与x的误差值为0 4 7分 设这2人中爱好体育锻炼的人数为 则 的可能取值为0 1 2 其中 2 2 2 5 1 0 10 C P C 11 32 2 5 3 1 5 C C P C 2 3 2 5 3 2 10 C P C 10分 所以 的分布列为 11分 1336 012 105105 E 12分 20 本小题满分12分 解析 在 F1EF2中 由余弦定理 得 222 121211 2 cos60 MFMFMFMFFF 即 22 121212 3 MFMFMFMFFF 2分 因为 12 4EF EF 则 MF1 MF2 cos60 4 即 MF1 MF2 8 3分 又 MF1 MF2 2a 12 4 3FF 则4a2 24 48 所以a2 18 4分 因为2 3c 则b2 a2 c2 6 所以椭圆C的标准方程是 22 1 186 xy 5分 设点M m 0 m 0 A x1 y1 B x2 y2 1 当直线l与x轴不重合时 设l的方程为x ty m 代入椭圆方程 得 22 318tymy 即 222 3 2180tytmym 则 12 2 2 3 tm yy t 2 12 2 18 3 m y y t 7分 所以 2222222222 112212 111111 1 1 AMBMxmyxmytyty 222 2 12121212 222222222 1212121212 21111112 111 1 yyyyy yyy tyyty yty yty yy y 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 数学 理科 参考答案第 7 页 共 9 页数学 理科 参考答案第 7 页 共 9 页 2222 2 222222 122 3 1 236 1086 118181 18 tmtmtm tmmtm 2 2 2 2 222 1086 236 236 18 1 m t m m mt 10分 令 2 2 1086 1 236 m m 解得m2 9 即m 3 此时 22 112 3AMBM 为定值 11分 2 当直线l与x轴重合时 点 3 2 0 A 3 2 0 B M 3 0 则 22 22 111132 232 22 993 3 23 3 23 AMBM 综上分析 存在点M 3 0 满足题设要求 12分 21 本小题满分12分 解析 解析 3 22 133 0 33 xaxax fxx xxx 2分 因为f x 在区间 0 3 内单调递减 则当x 0 3 时 0fx 恒成立 即 3 330 xax 即 3 3 3 x a x 恒成立 所以 3 max 3 3 x a x 3分 因为函数 3 2 313 33 x yx xx 在区间 0 3 内单调递增 则当x 3时 max 8 3 y 所以a的取值范围是 8 3 5分 设 3 33 0 g xxaxx 则 2 33g xxa 因为a 0 由 0g x 得0 xa 得xa 所以g x 在 0 a内单调递减 在 a 内单调递增 6分 因为g 0 3 0 332 2 2 3 2 33650g aaa aaaa 所以g x 在 0 内有唯一零点 7分 设x m为g x 的零点 则当0 x m时 g x 0 从而 0fx 所以f x 在 0 m 内单调递减 在 m 内 单调递增 8分 因为f x 在 0 内仅有一个零点x0 由 33 3 3 30ga 又 7 1 0 6 f 当x充分大时 f x 0 所以x0 m 9分 由f x0 0 得 2 0 0 0 1 ln0 6 x ax x 即 3 000 66ln0 xaxx 又g x0 g m 0 则 3 00 330 xax 即 3 00 33axx 代入上式 得 数学 理科 参考答案第 8 页 共 9 页数学 理科 参考答案第 8 页 共 9 页 33 000 62 3 ln0 xxx 即 3 0 0 3 0 6 2ln0 3 x x x 10分 设 3 3 3 6 2ln 3 3 x h xx x x 则x0为函数h x 的零点 因为2 e 3 则ln2 1 ln3