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习题八 8 1 电量都是的三个点电荷 分别放在正三角形的三个顶点 试问 1 在这三角形的中心放一个什么样的电荷 就可以使这四个电荷都达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零 2 这种平衡与三角形 的边长有无关系 q 解 如题 8 1 图示 1 以A处点电荷为研究对象 由力平衡知 q 为负电荷 20 2 2 0 3 3 4 1 30cos 4 1 2 a qq a q 解得 qq 3 3 2 与三角形边长无关 题 8 1 图 题 8 2 图 8 2 两小球的质量都是 都用长为l的细绳挂在同一点 它们带有相同电 量 静止时两线夹角为2 m 如题8 2图所示 设小球的半径和线的质量都可 以忽略不计 求每个小球所带的电量 解 如题 8 2 图示 2 2 0 sin2 4 1 sin cos l q FT mgT e 解得 tan4sin2 0mg lq 8 3 根据点电荷场强公式 2 0 4r q E 当被考察的场点距源点电荷很近 r 0 时 则场强 这是没有物理意义的 对此应如何理解 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 解 0 2 0 4 r r q E v v 仅对点电荷成立 当时 带电体不能再视为点电 荷 再用上式求场强是错误的 实际带电体有一定形状大小 考虑电荷在带 电体上的分布求出的场强不会是无限大 0 r 8 4 在真空中有A B两平行板 相对距离为 板面积为 其带电量分 别为 和 则这两板之间有相互作用力 有人说 dS qqff 2 0 2 4d q 又有人 说 因为 fqE S q E 0 所以 f S q 0 2 试问这两种说法对吗 为什么 到底应等于多少 f 解 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的 第二种说法把合场强 S q E 0 看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的 正确解答应为一个板的电场为 S q E 0 2 另一板受它的作用 力 S q S q qf 0 2 0 22 这是两板间相互作用的电场力 8 5 一电偶极子的电矩为 l q p v v 场点到偶极子中心O点的距离为r 矢量r v 与l的夹角为 v 见题8 5图 且 试证P点的场强lr E在r方向上的分 量和垂直于 r Er的分量分别为 E r E 3 0 2 cos r p E 3 0 4 sin r p 证 如题 8 5 所示 将p v 分解为与r v 平行的分量 sinp和垂直于r v 的分量 sinp lr 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 场点在Pr方向场强分量 3 0 2 cos r p Er 垂直于r方向 即 方向场强分量 3 0 0 4 sin r p E 题 8 5 图 题 8 6 图 8 6 长l 15 0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 5 0 x10 9C m 1 的 正电荷 试求 1 在导线的延长线上与导线B端相距 5 0cm处 1 aP点的场强 2 在导线的垂直平分线上与导线中点相距 5 0cm 处Q点的场强 2 d 解 如题 8 6 图所示 1 在带电直线上取线元 其上电量在xdqdP点产生场强为 2 0 d 4 1 d xa x EP 2 2 2 0 d 4 d xa x EE l lPP 2 1 2 1 4 0 l a l a 4 22 0 la l 用 15 lcm 9 100 5 1 mC 5 12 acm代入得 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 2 1074 6 P E 1 CN 方向水平向右 2 同理 2 2 2 0 d d 4 1 d x x EQ 方向如题 8 6 图所示 由于对称性 即 l Qx E0d Q E v 只有y分量 2 2 2 2 2 2 2 0d d d d 4 1 d x x x EQy 2 2 4 d d l QyQy EE 2 2 2 3 2 2 2 d d l l x x 2 2 2 0 d4 2 l l 以 9 100 5 1 cmC 15 lcm5d2 cm代入得 2 1096 14 QyQ EE 1 CN 方向沿轴正向 y 8 7 一个半径为R的均匀带电半圆环 电荷线密度为 求环心处O点的场 强 解 如 8 7 图在圆上取 Rddl 题 8 7 图 dddRlq 它在O点产生场强大小为 2 0 4 d d R R E 方向沿半径向外 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 则 dsin 4 sindd 0R EEx dcos 4 cos dd 0R EEy 积分 RR Ex 00 0 2 dsin 4 0dcos 4 0 0 R Ey R EE x 0 2 方向沿x轴正向 8 8 均匀带电的细线弯成正方形 边长为 总电量为q 1 求这正方形轴 线上离中心为 l r处的场强E 2 证明 在处 它相当于点电荷产 生的场强 lr q E 解 如 8 8 图示 正方形一条边上电荷 4 q 在点产生物强P P E v d方向如图 大 小为 4 4 coscos d 2 2 0 21 l r EP 2 2 cos 2 2 1 l r l 12 coscos 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 24 4 d 2 2 2 2 0 l r l l r EP P E v d在垂直于平面上的分量 cosdd P EE 424 4 d 2 2 2 2 2 2 0 l r r l r l r l E 题 8 8 图 由于对称性 点场强沿方向 大小为 POP 2 4 4 4 d4 2 2 2 2 0 l r l r lr EEP l q 4 2 4 4 2 2 2 2 0 l r l r qr EP 方向沿OP 8 9 1 点电荷位于一边长为a的立方体中心 试求在该点电荷电场中穿 过立方体的一个面的电通量 2 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个 顶点上 这时穿过立方体各面的电通量是多少 3 如题8 9 3 图所示 在 点电荷q的电场中取半径为R的圆平面 在该平面轴线上的 q qA点处 求 通过圆平面的电通量 x R arctan 解 1 由高斯定理 0 d q SE s vv 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 立方体六个面 当在立方体中心时 每个面上电通量相等 q 各面电通量 0 6 q e 2 电荷在顶点时 将立方体延伸为边长的立方体 使处于边长的立 方体中心 则边长的正方形上电通量 a2qa2 a2 0 6 q e 对于边长的正方形 如果它不包含所在的顶点 则aq 0 24 q e 如果它包含q所在顶点则0 e 如题 8 9 a 图所示 题 8 9 3 图 题 8 9 a 图 题 8 9 b 图 题 8 9 c 图 3 通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为 22 xR 的球冠面 的电通量 球冠面积 1 2 22 22 xR x xRS 4 22 0 0 xR Sq 0 2 q 22 1 xR x 关于球冠面积的计算 见题 8 9 c 图 0 dsin 2rrS 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 0 2 dsin 2 r cos1 2 2 r 8 10 均匀带电球壳内半径6cm 外半径10cm 电荷体密度为2 C m 3 求距球心5cm 8cm 12cm 各点的场强 5 10 解 高斯定理 0 d q SE s vv 0 2 4 q rE 当时 5 rcm0 q 0 E v 8 rcm时 q 3 4 p 3 r 3 内 r 2 0 23 4 3 4 r rr E 内 4 1048 3 1 CN 方向沿半径向外 12 rcm 时 3 4 q 3 外 r 内 3 r 4 2 0 3 3 1010 4 4 3 4 r rr E 内外 沿半径向外 1 CN 8 11 半径为和 的两无限长同轴圆柱面 单位长度上分别 带有电量 1 R 2 R 2 R 1 R 和 试求 1 r 2 1 R 1 Rr 3 2 Rr 处各点 的场强 2 R 解 高斯定理 0 d q SE s vv 取同轴圆柱形高斯面 侧面积 rlS 2 则 rlESE S 2d vv 对 1 1 Rr 0 0 Eq 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 2 21 RrR 0 q 0 E 题 8 12 图 8 12 两个无限大的平行平面都均匀带电 电荷的面密度分别为 1 和 2 试求空间各处场强 解 如题 8 12 图示 两带电平面均匀带电 电荷面密度分别为 1 与 2 两面间 nE v v 2 1 21 0 1 面外 nE v v 2 1 21 0 2 面外 nE v v 2 1 21 0 n v 垂直于两平面由 1 面指为 2 面 8 13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为 若在球内挖去一块半 径为r R的小球体 如题8 13图所示 试求 两球心O与 O 点的场强 并证明小球空腔内的电场是均匀的 解 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合 见 题 8 13 图 a 1 球在点产生电场 O0 10 E v 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 球在点产生电场O d 4 3 4 3 0 3 20 OO r E v 点电场O d3 3 0 3 0 OO r E v 2 在 O 产生电场 d 4 d 3 4 3 0 3 01 OOE v 球在 O 产生电场0 02 E v O 点电场 0 0 3 E v OO 题 8 13 图 a 题 8 13 图 b 3 设空腔任一点相对OP 的位矢为r v 相对点位矢为Or v 如题 8 13 b 图 则 0 3 r EPO v v 0 3 r E OP v v 000 3 3 3 d OOrrEEE OPPOP v vv vvv 腔内场强是均匀的 8 14 一电偶极子由 1 0 10 6C 的两个异号点电荷组成 两电荷距离 d 0 2cm 把这电偶极子放在1 0 10 5N C 1 的外电场中 求外电场作用于 电偶极子上的最大力矩 q 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 解 电偶极子p v 在外场E v 中受力矩 EpM v v v qlEpEM max 代入数字 4536 max 100 2100 1102100 1 MmN 8 15 两点电荷 1 5 10 8C 3 0 10 8C 相距 42cm 要把它们之 间的距离变为 25cm 需作多少功 1 q 2 q 1 r 2 r 解 2 2 2 1 0 21 2 0 21 4 4 d d r r r r qq r rqq rFA v v 11 21 rr 6 1055 6 J 外力需作的功 6 1055 6 AAJ 题 8 16 图 8 16 如题8 16图所示 在A B两点处放有电量分别为 的点电荷 qq AB间距离为2R 现将另一正试验点电荷从O点经过半圆弧移到C点 求移动过程中电场力作的功 0 q 解 如题 8 16 图示 0 4 1 O U0 R q R q 0 4 1 O U 3 R q R q R q 0 6 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n R qq UUqA o CO 0 0 6 8 17 如题8 17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 两直 导线的长度和半圆环的半径都等于R 试求环中心点处的场强和电势 O 解 1 由于电荷均匀分布与对称性 AB和段电荷在O点产生的场强 互相抵消 取 CD ddRl 则 ddRq 产生O点E v d如图 由于对称性 O点场强沿y轴负方向 题 8 17 图 cos 4 d d 2 2 2 0 R R EE y R 0 4 2 sin 2 sin R 0 2 2 AB电荷在O点产生电势 以0 U A B 2 000 1 2ln 4 4 d 4 d R R x x x x U 同理产生 CD2ln 4 0 2 U 半圆环产生 00 3 4 4 R R U 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 00 321 4 2ln 2 UUUUO 8 18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2 10 4m s 1的匀速率作圆周运 动 求带电直线上的线电荷密度 电子质量 9 1 10 31kg 电子电量 1 60 10 19C 0 m e 解 设均匀带电直线电荷密度为 在电子轨道处场强 r E 0 2 电子受力大小 r e eEFe 0 2 r v m r e 2 0 2 得 13 2 0 10 5 12 2 e mv 1 mC 8 19 空气可以承受的场强的最大值为E 30kV cm 1 超过这个数值时空气 要发生火花放电 今有一高压平行板电容器 极板间距离为d 0 5cm 求此 电容器可承受的最高电压 解 平行板电容器内部近似为均匀电场 4 105 1d EUV 8 20 根据场强E v 与电势U的关系UE v 求下列电场的场强 1 点电 荷q的电场 2 总电量为 半径为qR的均匀带电圆环轴上一点 3 偶 极子的处 见题8 20图 qlp lr 解 1 点电荷 r 0 4 q U 题 8 20 图 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 0 2 0 0 4 r r q r r U E vv v 为 0 r v r方向单位矢量 2 总电量 半径为qR的均匀带电圆环轴上一点电势 22 0 4xR q U i xR qx i x U E vvv 2 3 22 0 4 3 偶极子 l q p v v 在处的一点电势 lr 2 00 4 cos cos 2 1 1 cos 2 1 4r ql ll r q U 3 0 2 cos r p r U Er 3 0 4 sin1 r pU r E 8 21 证明 对于两个无限大的平行平面带电导体板 题8 21图 来说 1 相 向的两面上 电荷的面密度总是大小相等而符号相反 2 相背的两面上 电荷的面密度总是大小相等而符号相同 证 如题 8 21 图所示 设两导体A B的四个平面均匀带电的电荷面密度 依次为 1 2 3 4 题 8 21 图 1 则取与平面垂直且底面分别在A B内部的闭合柱面为高斯面时 有 0 d 32 SSE s vv 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 2 0 3 说明相向两面上电荷面密度大小相等 符号相反 2 在A内部任取一点 则其场强为零 并且它是由四个均匀带电平面产 生的场强叠加而成的 即 P 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 又 2 0 3 1 4 说明相背两面上电荷面密度总是大小相等 符号相同 8 22 三个平行金属板A B和C的面积都是200cm 2 A 和B相距4 0mm A 与C相距2 0 mm B 都接地 如题8 22图所示 如果使CA板带正电3 0 10 7C 略去边缘效应 问 B板和板上的感应电荷各是多少 以地的电势 为零 则 C A板的电势是多少 解 如题 8 22 图示 令A板左侧面电荷面密度为 1 右侧面电荷面密度为 2 题 8 22 图 1 ABAC UU 即 ABABACAC EEdd 2 d d 2 1 AC AB AB AC E E 且 1 2 S qA 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 得 3 2 S qA S qA 3 2 1 而 7 1 102 3 2 AC qSq C C101 7 2 SqB 2 3 0 1 103 2dd ACACACA EU V 8 23 两个半径分别为和 2 的同心薄金属球壳 现给内球壳 带电 试计算 1 RR 1 R 2 R q 1 外球壳上的电荷分布及电势大小 2 先把外球壳接地 然后断开接地线重新绝缘 此时外球壳的电荷分布及 电势 3 再使内球壳接地 此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变 量 解 1 内球带电q 球壳内表面带电则为q 外表面带电为 且均 匀分布 其电势 q 题 8 23 图 22 0 2 0 4 4 d d RR R q r rq rEU v v 2 外壳接地时 外表面电荷入地 外表面不带电 内表面电荷仍为 所以球壳电势由内球 q q q 与内表面q 产生 0 4 4 2020 R q R q U 3 设此时内球壳带电量为q 则外壳内表面带电量为 q 外壳外表面带 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 电量为 qq 电荷守恒 此时内球壳电势为零 且 0 4 4 4 202010 R qq R q R q UA 得 q R R q 2 1 外球壳上电势 2 20 21 202020 4 4 4 4 R qRR R qq R q R q UB 8 24 半径为R的金属球离地面很远 并用导线与地相联 在与球心相距为 处有一点电荷 试求 金属球上的感应电荷的电量 Rd3 q 解 如题 8 24 图所示 设金属球感应电荷为q 则球接地时电势 0 O U 8 24 图 由电势叠加原理有 O U0 3 4 4 00 R q R q 得 q 3 q 8 25 有三个大小相同的金属小球 小球1 2带有等量同号电荷 相距甚远 其间的库仑力为 试求 0 F 1 用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1 2后移去 小球1 2之间的库 仑力 2 小球3依次交替接触小球1 2很多次后移去 小球1 2之间的库仑力 解 由题意知 2 0 2 0 4r q F 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 1 小球3接触小球1后 小球3和小球1均带电 2 q q 小球再与小球接触后 小球与小球均带电 3223 qq 4 3 此时小球1与小球间相互作用力 2 0 0 2 2 0 1 8 3 4 8 3 4 2 F r q r qq F 2 小球3依次交替接触小球1 很多次后 每个小球带电量均为2 3 2q 小球1 间的作用力2 0 0 2 9 4 4 3 2 3 2 2 F r qq F 8 26 如题8 26图所示 一平行板电容器两极板面积都是S 相距为 分别 维持电势 U 0不变 现把一块带有电量的导体薄片平行地放在 两极板正中间 片的面积也是S 片的厚度略去不计 求导体薄片的电势 d A U B Uq 解 依次设A C B从上到下的个表面的面电荷密度分别为6 1 2 3 4 5 6 如图所示 由静电平衡条件 电荷守恒定律及维持 可得以下个方程 UUAB 6 题 8 26 图 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 654321 54 32 0 65 43 0 021 0 0 1 d U S q S q d U UC SS q B A 解得 S q 2 61 S q d U 2 0 32 S q d U 2 0 54 所以间电场 CB S q d U E 00 4 2 2 2 d 2 1 2 d 0 2 S q UEUU CBC 注意 因为C片带电 所以 2 U UC 若片不带电 显然C 2 U UC 8 27 在半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳 介质相对介电常数为 1 R 2 R r 金属球带电 试求 Q 1 电介质内 外的场强 2 电介质层内 外的电势 3 金属球的电势 解 利用有介质时的高斯定理 qSD S vv d 1 介质内 21 RrR 场强 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 3 0 3 4 4r rQ E r rQ D r v v v v 内 介质外 场强 2 Rr r Q EU 0 r 4 rd v v 外 介质内 21 RrR 两柱面之间充有介电常数 l 1 R 2 R 2 R 1 R l 2 R 1 R 的均匀电介质 当两圆柱面分别带等 量异号电荷Q和 时 求 Q 1 在半径r处 1 Rr 厚度为dr 长为 的圆柱薄壳中任一点的电 场能量密度和整个薄壳中的电场能量 2 Rl 2 电介质中的总电场能量 3 圆柱形电容器的电容 解 取半径为r的同轴圆柱面 S 则 rlDSD S 2d vv 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 当时 21 RrR Qq rl Q D 2 1 电场能量密度 222 22 82lr QD w 薄壳中 rl rQ rlr lr Q wW 4 d d 2 8 dd 2 222 2 2 电介质中总电场能量 2 1 1 2 22 ln 4 4 d d R RV R R l Q rl rQ WW 3 电容 C Q W 2 2 ln 2 2 12 2 RR l W Q C 8 30 金属球壳A和B的中心相距为r A和B原来都不带电 现在A的 中心放一点电荷 在 1 qB的中心放一点电荷 如题8 30图所示 试求 2 q 1 对作用的库仑力 有无加速度 1 q 2 q 2 q 2 去掉金属壳B 求作用在上的库仑力 此时有无加速度 1 q 2 q 2 q 解 1 作用在的库仑力仍满足库仑定律 即 1 q 2 q 2 21 0 4 1 r qq F 但处于金属球壳中心 它受合力 为零 没有加速度 2 q 2 去掉金属壳B 作用在上的库仑力仍是 1 q 2 q 2 21 0 4 1 r qq F 但此时 受合力不为零 有加速度 2 q 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 题 8 30 图 题 8 31 图 8 31 如题8 31图所示 0 25 1 C F 0 15 2 C F 0 20 3 C F 上 电压为50V 求 1 C AB U 解 电容上电量 1 C 111 UCQ 电容与并联 2 C 3 C 3223 CCC 其上电荷 123 QQ 35 5025 23 11 23 23 2 C UC C Q U 86 35 25 1 50 21 UUUAB V 8 32 和两电容器分别标明 200 pF 500 V 和 300 pF 900 V 把它 们串联起来后等值电容是多少 如果两端加上1000 V 的电压 是否会击穿 1 C 2 C 解 1 与串联后电容 1 C 2 C 120 300200 300200 21 21 CC CC C pF 2 串联后电压比 2 3 1 2 2 1 C C U U 而1000 21 UU 600 1 UV400 2 U V 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 即电容电压超过耐压值会击穿 然后也击穿 1 C 2 C 8 33 将两个电容器和充电到相等的电压U以后切断电源 再将每一 电容器的正极板与另一电容器的负极板相联 试求 1 C 2 C 1 每个电容器的最终电荷 2 电场能量的损失 解 如题 8 33 图所示 设联接后两电容器带电分别为 1 q 2 q 题 8 33 图 则 21 22 11 2 1 21201021 UU UC UC q q UCUCqqqq 解得 1 1 qU CC CCC qU CC CCC 21 212 2 21 211 2 电场能量损失 WWW 0 22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 2 2 1 C q C q UCUC 2 21 21 2 U CC CC 8 34 半径为 2 0cm 的导体球 外套有一同心的导体球壳 壳的内 外半 径分别为 4 0cm和 5 0cm 当内球带电荷Q 3 0 10 8C 时 求 1 R 2 R 3 R 1 整个电场储存的能量 2 如果将导体壳接地 计算储存的能量 3 此电容器的电容值 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 解 如图 内球带电Q 外球壳内表面带电Q 外表面带电 Q 题 8 34 图 1 在和 1 Rr 32 RrR 区域 0 E v 在时 21 RrR 时 3 0 2 4r rQ E v v 在 21 RrR 3 2 30 2 22 0 02 1 8 d 4 4 2 1 R R Q rr r Q W 总能量 111 8 3210 2 21 RRR Q WWW 4 1082 1 J 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 2 导体壳接地时 只有 21 RrR 时 3 0 4r rQ E v v 0 2 W 4 210 2 1 1001 1 11 8 RR Q WW J 3 电容器电容 11 4 2 21 0 2 RRQ W C 12 1049 4 F 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题九 9 1 在同一磁感应线上 各点B v 的数值是否都相等 为何不把作用于运动电荷的磁力方向定 义为磁感应强度B v 的方向 解 在同一磁感应线上 各点B v 的数值一般不相等 因为磁场作用于运动电荷的磁力方向 不仅与磁感应强度B v 的方向有关 而且与电荷速度方向有关 即磁力方向并不是唯一由磁 场决定的 所以不把磁力方向定义为B v 的方向 题 9 2 图 9 2 1 在没有电流的空间区域里 如果磁感应线是平行直线 磁感应强度B v 的大小在沿磁 感应线和垂直它的方向上是否可能变化 即磁场是否一定是均匀的 2 若存在电流 上述结论是否还对 解 1 不可能变化 即磁场一定是均匀的 如图作闭合回路可证明 abcd 21 BB rv 0d 021 IbcBdaBlB abcd vv 21 BB rv 2 若存在电流 上述结论不对 如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线 但B v 方 向相反 即 21 BB rv 9 3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场 答 不能 因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性 但不是稳恒电流 安培环路 定理并不适用 9 4 在载流长螺线管的情况下 我们导出其内部nIB 0 外面B 0 所以在载流螺线管 外面环绕一周 见题9 4图 的环路积分 外 B L v dl v 0 但从安培环路定理来看 环路L中有电流I穿过 环路积分应为 外 B L v dl v I 0 这是为什么 解 我们导出nlB 0 内 有一个假设的前提 即每匝电流均垂直于螺线管轴线 这0 外 B 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 时图中环路L上就一定没有电流通过 即也是 L IlB0d 0 vv 外 与 L llB0d0d vvv 外 是不矛盾的 但这是导线横截面积为零 螺距为零的理想模型 实 际上以上假设并不真实存在 所以使得穿过L的电流为I 因此实际螺线管若是无限长时 只是 外 B v 的轴向分量为零 而垂直于轴的圆周方向分量 r I B 2 0 r为管外一点到螺线管轴 的距离 题 9 4 图 9 5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转 能否肯定这个区域中没有磁场 如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场 解 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转 不能肯定这个区域中没有磁场 也可能存 在互相垂直的电场和磁场 电子受的电场力与磁场力抵消所致 如果它发生偏转也不能肯定 那个区域存在着磁场 因为仅有电场也可以使电子偏转 9 6 已知磁感应强度Wb m 2 的均匀磁场 方向沿0 2 Bx轴正方向 如题 9 6 图所 示 试求 1 通过图中abcd面的磁通量 2 通过图中面的磁通量 3 通过图中aefd 面的磁通量 befc 解 如题 9 6 图所示 题 9 6 图 1 通过面积的磁通是 abcd 1 S 24 0 4 03 00 2 11 SB vv Wb 2 通过面积的磁通量 befc 2 S 0 22 SB vv 3 通过面积的磁通量 aefd 3 S 24 0 5 4 5 03 02cos5 03 02 33 SB vv Wb 或曰 24 0 Wb 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 题 9 7 图 9 7 如题9 7图所示 AB CD为长直导线 CB 为圆心在点的一段圆弧形导线 其半 径为 O R 若通以电流I 求点的磁感应强度 O 解 如题 9 7 图所示 O点磁场由AB CB 三部分电流产生 其中 CD AB 产生 0 1 B v CD 产生 R I B 12 0 2 方向垂直向里 CD 段产生 2 3 1 2 60sin90 sin 2 4 00 3 R I R I B 方向 向里 62 3 1 2 0 3210 R I BBBB 方向 向里 9 8 在真空中 有两根互相平行的无限长直导线和 相距0 1m 通有方向相反的电流 20A 10A 如题9 8图所示 1 L 2 L 1 I 2 IA B两点与导线在同一平面内 这两点与导线的 距离均为5 0cm 试求 2 L A B两点处的磁感应强度 以及磁感应强度为零的点的位置 题 9 8 图 解 如题 9 8 图所示 方向垂直纸面向里 A B v 42010 102 1 05 02 05 01 0 2 II BAT 2 设在外侧距离为0 B v 2 L 2 Lr处 则 0 2 1 0 2 20 r I r I 解得 1 0 r m 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 题 9 9 图 9 9 如题9 9图所示 两根导线沿半径方向引向铁环上的A B两点 并在很远处与电源相 连 已知圆环的粗细均匀 求环中心O的磁感应强度 解 如题 9 9 图所示 圆心点磁场由直电流O A和 B及两段圆弧上电流与所产生 但 1 I 2 I A和 B在点产生的磁场为零 且 O 2 1 2 2 1 R R I I 电阻 电阻 1 I产生方向纸面向外 1 B v 2 2 2 10 1 R I B 产生方向纸面向里 2 I 2 B v 22 20 2 R I B 1 2 2 1 2 1 I I B B 有 0 210 BBB vvv 9 10 在一半径R 1 0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中 自上而下地有电流I 5 0 A通 过 电流分布均匀 如题9 10图所示 试求圆柱轴线任一点处的磁感应强度 P 题 9 10 图 解 因为金属片无限长 所以圆柱轴线上任一点的磁感应强度方向都在圆柱截面上 取 坐标如题 9 10 图所示 取宽为的一无限长直电流 P l d l R I Idd 在轴上P点产生与B v dR 垂直 大小为 R I R R R I R I B 2 0 0 0 2 d 2 d 2 d d 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n R I BBx 2 0 2 dcos cosdd R I BBy 2 0 2 dsin 2 cos dd 5 2 0 2 0 2 2 2 1037 6 2 sin 2 sin 22 dcos R I R I R I Bx T 0 2 dsin 2 2 2 0 R I By iB vv 5 1037 6 T 9 11 氢原子处在基态时 它的电子可看作是在半径 0 52 10 8cm的轨道上作匀速圆周运动 速率v 2 2 10 8cm s 1 求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值 a 解 电子在轨道中心产生的磁感应强度 3 0 0 4 a ave B vv v 如题 9 11 图 方向垂直向里 大小为 13 4 2 0 0 a ev B T 电子磁矩 m P v 在图中也是垂直向里 大小为 242 102 9 2 eva a T e Pm 2 mA 题 9 11 图 题 9 12 图 9 12 两平行长直导线相距 40cm 每根导线载有电流 20A 如题9 12图所示 求 d 1 I 2 I 1 两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度 2 通过图中斜线所示面积的磁通量 10cm 25cm 1 r 3 rl 解 1 52010 104 2 2 2 2 d I d I BA T 方向 纸面向外 2 取面元 rlSdd 6 12010 1 10 102 23ln 3 1 ln 2 3ln 2 22 1 21 1 lIlIlI ldr rd I r I rr r Wb 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 9 13 一根很长的铜导线载有电流10A 设电流均匀分布 在导线内部作一平面 如题9 13 图所示 试计算通过S平面的磁通量 沿导线长度方向取长为1m的一段作计算 铜的磁导率 S 0 解 由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度 l IlB 0 d v 2 2 0 2 R Ir rB 2 2 0 R Ir B 题 9 13 图 磁通量 60 0 2 0 10 42 I dr R Ir SdB R s m vv Wb 9 14 设题9 14图中两导线中的电流均为8A 对图示的三条闭合曲线 b 分别写出安培 环路定理等式右边电流的代数和 并讨论 ac 1 在各条闭合曲线上 各点的磁感应强度B v 的大小是否相等 2 在闭合曲线c上各点的B v 是否为零 为什么 解 a lB 0 8dv v ba lB 0 8dv v c lB0dv v 1 在各条闭合曲线上 各点B v 的大小不相等 2 在闭合曲线C上各点B v 不为零 只是B v 的环路积分为零而非每点0 B v 题 9 14 图题 9 15 图 9 15 题9 15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面 内 外半径分别为 b 导 体内载有沿轴线方向的电流 a I 且I均匀地分布在管的横截面上 设导体的磁导率 0 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 试证明导体内部各点 的磁感应强度的大小由下式给出 bra r ar ab I B 22 22 0 2 解 取闭合回路rl 2 bra 则 l rBlB2dv v 22 2 2 ab I arI 2 22 22 0 abr arI B 9 16 一根很长的同轴电缆 由一导体圆柱 半径为a 和一同轴的导体圆管 内 外半径分别 为b 构成 如题9 16图所示 使用时 电流cI从一导体流去 从另一导体流回 设电流 都是均匀地分布在导体的横截面上 求 1 导体圆柱内 r 2 两导体之间 aar 3 导体圆筒内 b br c 以及 4 电缆外 r 各点处磁感应强度的大小 c 解 L IlB 0 dv v 1 ar 2 2 0 2 R Ir rB 2 0 2 R Ir B 2 bra IrB 0 2 r I B 2 0 3 crb 02 rB 0 B 题 9 16 图题 9 17 图 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 9 17 在半径为R的长直圆柱形导体内部 与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空 腔 两轴间距离为 且a ar 横截面如题9 17图所示 现在电流I沿导体管流动 电流均 匀分布在管的横截面上 而电流方向与管的轴线平行 求 1 圆柱轴线上的磁感应强度的大小 2 空心部分轴线上的磁感应强度的大小 解 空间各点磁场可看作半径为R 电流均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为 1 Ir电 流均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和 2 I 1 圆柱轴线上的点OB的大小 电流产生的 电流产生的磁场 1 I0 1 B 2 I 22 2 020 2 22rR Ir aa I B 2 22 2 0 0 rRa Ir B 2 空心部分轴线上O点 B的大小 电流产生的 2 I0 2 B 电流产生的 1 I 22 2 0 2 2rR Ia a B 2 22 0 rR Ia 2 22 0 0 rR Ia B 题 9 18 图 9 18 如题9 18图所示 长直电流附近有一等腰直角三角形线框 通以电流 二者 1 I 2 I 共面 求 的各边所受的磁力 ABC 解 A B AB BlIF vvv d 2 d aII d I aIFAB 22 21010 2 方向垂直AB向左 C A AC BlIF vvv d 2 方向垂直向下 大小为 AC 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n ad d AC d adII r I rIFln 22 d 21010 2 同理 BC F v 方向垂直向上 大小 BC ad d Bc r I lIF 2 d 10 2 45cos d d r l ad a BC d adII r rII Fln 245cos2 d 210120 题 9 19 图 9 19 在磁感应强度为B v 的均匀磁场中 垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线 电 流为I 如题9 19图所示 求其所受的安培力 解 在曲线上取 l v d 则 b a ab BlIF vvv d 与l v dB v 夹角 l v d B v 不变 B v 是均匀的 b a b a ab BabIBlIBlIF wvvvv d d 方向 ab向上 大小BIFab ab 题 9 20 图 9 20 如题9 20图所示 在长直导线AB内通以电流 20A 在矩形线圈中通有电 流 10 A 1 ICDEF 2 IAB与线圈共面 且 CDEF都与AB平行 已知 9 0cm b 20 0cm 1 0 cm 求 ad 1 导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力 2 矩形线圈所受合力和合力矩 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 解 1 CD F v 方向垂直CD向左 大小 410 2 100 8 2 d I bIFCD N 同理方向垂直 FE F v FE向右 大小 510 2 100 8 2 ad I bIFFE N CF F v 方向垂直CF向上 大小为 ad d CF d adII r r II F 5 210210 102 9ln 2 d 2 N ED F v 方向垂直ED向下 大小为 5 102 9 CFED FF N 2 合力 EDCFFECD FFFFF vvvvv 方向向左 大小为 4 102 7 FN 合力矩BPM m vvv 线圈与导线共面 BPm vv 0 M v 题 9 21 图 9 21 边长为l 0 1m 的正三角形线圈放在磁感应强度B 1T 的均匀磁场中 线圈平面与 磁场方向平行 如题9 21图所示 使线圈通以电流I 10A 求 1 线圈每边所受的安培力 2 对轴的磁力矩大小 O O 3 从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功 解 1 0 Bl IFbc vvv Bl IFab vvv 方向 纸面向外 大小为 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 习题答案网 h t t p w w w j i e x i 360 c n 866 0120sin IlBFab N Bl IFca vvv 方向纸面向里 大小 866 0120sin IlBFca N 2 ISPm BPM m vvv 沿O O 方向 大小为 2 2 1033 4 4 3 B l IISBM mN 3 磁力功 12 IA 0 1 Bl 2 2 4 3 22 1033 4 4 3 BlIAJ 9 22 一正方形线圈 由细导线做成 边长为 共有匝 可以绕通过其相对两边中点的 一个竖直轴自由转动 现在线圈中通有电流 aN I 并把线圈放在均匀的水平外磁场B v 中 线 圈对其转轴的转动惯量为 求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期JT 解 设微振动时线圈振动角度为 BPm vv 则 sinsin 2B NIaBPM m 由转动定律 BNIaBNIa at J 22 2 2 sin d 即 0 2 2 2 J BNIa dt d 振动角频率 J BNIa2 周期 IBNa J T 2 2 2 9 23 一长直导线通有电流 20A 旁边放一导线 其中通有电流 10A 且两者共 面 如题9 23图所示 求导线所受作用力对O点的力矩 1 Iab