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第一章第一章 随机事件与概率计算随机事件与概率计算 模拟测验模拟测验 一 填空题 1 事件A B C中至少有两个不发生 可用运算符号表示为 1 1 事件的集合表示方法事件的集合表示方法 事件 A B C 中至少有一个发生 可用运算符号表示为 而运算符号 A B C则表示事件 以 A 表示事件 甲种产品畅销 乙种产品滞销 其对立事件 A表示 2 设 A B为随机事件 P A 0 7 P A B 0 3 则 P 2 2 概率计算概率计算 文氏图 文氏图方法方法 文氏图文氏图 条件概率计算条件概率计算 文氏图文氏图 独立性独立性 文氏图文氏图 不相容性不相容性 AB 3 设A B为随机事件 P A 0 92 P B 0 93 P B A 0 85 则P A B P A B 4 设事件 A B相互独立 已知 P A 0 5 P A B 0 8 则 P AB P AB 5 A B 为相互独立的事件 P A 0 4 P AB 0 12 则 P B P B A 6 A B C 为相互独立的事件 P A 0 4 P B 0 5 P C 0 8 则 P ABC 7 设 A B 为互不相容事件 P B 0 4 P A B 0 75 则 P A P AB 8 设 A B 为互不相容事件 P A 0 35 P A B 0 80 则 P B P A P AB 3 3 古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 有放回有放回 无放回摸球无放回摸球 抽签抽签 分球入盒分球入盒 9 袋中有 50 个乒乓球 其中 20 个黄球 30 个白球 今两人依次随机地从中各取一球 则 第二个人取得黄球的概率是 10 袋中有 5 个黑球 3 个白球 大小相同 一次随机地取出 4 球 其中 恰好 2 个黑球 2 个白球 的概率为 11 两封信随机的向编号为 的 4 个邮筒投寄 前两个邮筒中各有一封信的概 率是 12 甲每日上班都在某地候车 已知其等候时间为 0 10 中任何一个数 单位为分钟 且任 何时间概率都相等 则甲每日候车时间不超过 3 分钟的概率为 4 条件概率 条件概率 全概率全概率 贝耶斯公式贝耶斯公式 13 某种动物寿命在 10 年以上的概率为 0 9 20 年以上的概率为 0 1 今有一动物已知寿命为 10 年了 则该动物还能再活十年以上的概率为 14 某种产品使用寿命在 10 年以上的概率为 0 9 20 年以上的概率为 0 1 今有一该种产品已 知使用 10 年了 则该产品在未来十年内损坏的概率为 5 独立性 独立性 伯努利实验概型伯努利实验概型 2 15 设两个独立事件A B都不发生的概率为 1 9 A发生B不发生的概率与B发生A不发生的 概率相等 则P A 设三个相互独立的事件A B C都都不不发生的概率发生的概率 16 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击 若至少命中一次的概率是 80 81 则该射手 的命中率为 为 1 27 而且P A P B P C 则P A 17 设三次独立重复的伯努利试验中事件 A 发生的概率均为 p 若已知 A 至少发生一次的 概率为 19 27 则 p 18 某人射击时 中靶的概率为 3 4 如果射击直到中靶为止 则射击次数为 3 的概率为 设每次试验成功的概率为 P 0 Pt s x s P X t s P x s P X t s x s P X t s P x s 1 1 概率的计算概率的计算 尤其是条件概率的计算尤其是条件概率的计算 Eg1 已知某物 动物 产品 寿命在s年以上的概率为P s s t年以上的概率为P s t 已知 某物寿命已经达到s 请问该物还能再活还能再活t t年以上年以上 t t年以内损坏年以内损坏 P s t P s 1 P S t P s 的概率分别为 Eg2 已知从产品中抽样 从一大批产品中不放回抽取 20 个 若已知合格率为 0 9 今从中先后任取 20 个 1 已知其中有两个不合格产品 问其中废品数至少 3 个的概率 2 已知前两个抽出的是废品 问抽取的 20 个产品中废品数至少 3 个的概率 解 1 正解 X b 20 0 9 P X 3 X 2 误解 P X 1 因为 P X 1 没有说清楚起始点 那么应该指的是 P X 1 X 0 P X 3 X 2 只有对于无记忆分布 才有二者相等 2 X b 18 0 9 P X 1 2 简单概率计算简单概率计算 参见离散型分布参见离散型分布 连续型分布的点概率连续型分布的点概率 区间概率区间概率 1 1 离散性期望的应用离散性期望的应用 2 2 期望 期望 方差应用 方差应用 Eg1 Dell 联想的销售方式与售后服务方式分析 联想 销售价格 免费服务 分销 经销商的销售方式 DELL 销售价格 收费后的免费服务 直销的销售方式 比较分析 联想利润低于 DELL 属于让利服务销售 Eg2 新华书店最优进货量 Eg3 生产方式 租赁 独资 合资 进口那种方式更划算 长期计划 短期计划 7 2 2 连续型期望的应用连续型期望的应用 Eg1 销售进货最优进货量计算 销售利润 售后服务 保险 车险 寿险等 选择物流企业 损失理赔与是否选择保险 保险金额 VS 不参加保险可能的损失金额 Eg2 寿命计算 平均寿命 3 离散连续混合应用 Eg1 小天鹅 海尔洗衣机 冰箱的寿命分布与理赔方案 以及在理赔方案下可能存在的平均 花费 利润损失 无放回抽样 有放回 伯努利独立试验 3 3 各种各种离散离散分布的混合计算分布的混合计算 超几何 H n N1 N 二项 b n P 泊松 Poisson 正态 N u 2 几何 G P 1 1 一般来说 都服从二项分布一般来说 都服从二项分布 泊松分布泊松分布 正态分布正态分布 大卖场 零售 好又多 沃尔玛 家乐福 家私 吉盛伟邦 百安居 安华装饰 电子 海印 太平洋 天河电脑城 电器 苏宁 国美 汽车 商品销量计算 商品销量 订货订单 调研 广告 保险的计算 2 小卖场 最优进货量问题小卖场 最优进货量问题 电脑城 大卖场 保证大卖场 保证 95 95 99 73 399 73 3 6 6 不脱销的情况下最小进货量不脱销的情况下最小进货量 苏宁国美好又多等 保证利润的最小进货量保证利润的最小进货量 均匀分布 指数分布 正态分布 其他分布 密度函数 分布函数 区间概率 4 4 各种各种连续型分布连续型分布的混合计算的混合计算 1 1 寿险计算寿险计算 2 2 正态分布的应用 极多 高考正态分布的应用 极多 高考 招工 考研 招工 考研分数线的划定分数线的划定 进货销售进货销售产品检测产品检测 人员分人员分 布布 工资分布工资分布 3 3 灯泡企业的生产决策灯泡企业的生产决策 1 条件概率计算 条件概率计算 Page21 25 Eg1 21 1 24 5 5 条件计算条件计算 2 条件条件 分布 分布 Page32 A40 Page70 A27 3 条件条件 古典概型 古典概型 Page31 A29 A30 Page32 B7 独立性独立性 分布 分布 Page69 A17 A20 A24 Page70 A26 Page71 B2 二项分布的极限计算 二项分布的极限计算 二项 分布 二项 二项 1 Y g X Y g X 分布分布 X X 销量分布 销量分布 Y Y 利润分布 利润函数利润分布 利润函数 Y g X Y g X 6 Y g X 6 Y g X 应用应用 2 Y aX bY aX b X X U a b U a b Y Y U U y ya a y yb b X X N EX DX N EX DX Y Y U U EY DY EY DY 第三章应用 1 1 联合概率联合概率 边缘概率边缘概率 条件概率条件概率 独立性独立性 销售 生产计划 广告策划中 产品性质 不同产品的颜色形状型号对于顾客的正面 负面影响 评估 产品不同性质相互之间的影响评估等等 是否独立 线形相关 是否不相关 正的相关关系还是负的相关关系 对于广告效应影响 2 2 EXEX EY E g X EY E g X 等应用等应用 前已述前已述 3 3 Z X YZ X Y 分布特征 分布特征 二项 泊松 正态 二项 泊松 正态 大卖场长期进货月周季度年总 计 销售估计 生产计划 原材料进货计划等等 4 4 中心极限定理与切比雪夫不等式的应用 中心极限定理与切比雪夫不等式的应用 8 第二章第二章 随机变量的分布与数字特征随机变量的分布与数字特征测验题测验题 一 填空题 一 填空题 1 已知X服从下列概率分布 则a b必须满足 1 离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 a b 0 6 0 a b 0 0 X xi 6 6 x1 x2 x3 x4 P X 0 1 0 3 a b 2 离散型分布的分布函数 F x 0 X 0 则概率分布 0 4 0 x 2 1 x 2 3 若 f x 为连续型随机变量 X 的分布密度 则 2 连续型随机变量的分布 连续型随机变量的分布 dxxf 1 4 已知 X 的密度为 x 0 bax 且其他 10 x P 3 1 3 1 则a 3 2 b 5 0 3 1 3 1 1 1 0 1 3 3 1 dxbaxdxbaxxPxP dxx 7 4 4 7 2 3 ba 5 设连续型随机变量的概率密度函数为 ax b 0 x 1 f x 0 其他 且EX 3 1 则a 2 解之 3 1 0 1 1 0 1 dxbaxx dxbax b 2 6 设 的分布函数 1 0 10 2 0 0 x xx x xf P 0 8 0 0 62 0 P 0 960 96 X xi 0 2 P X 0 4 0 6 9 7 设 的密度函数 21 21 12 2 10 2 0 0 2 2 x xxx xx x xF 8 设混合型随机变量 的分布函数 1 1 10 4 0 0 2 x xx x xF P 1 3 43 4 9 已知某盒子中有 9 个新球 3 个旧球 今需比赛用球 从盒中不放回任取 3 球 则所取 三球都是新球的概率为 3 离散型随机变量的常用分布 离散型随机变量的常用分布 超几何超几何 二项二项 泊松泊松 几何几何 二项 二项 分布分布 C93 C123 10 设随机变量X服从B n p 分布 已知EX 1 6 DX 1 28 则参数n 8 P 0 2 11 设随机变量x服从参数为 2 P 的二项分布 Y服从参数为 4 P 的二项分布 若P x 1 EX np 1 6 DX npq 1 28 解之得 n 8 p 0 2 9 5 则P Y 1 65 81 13 已知随机变量x服从为 2 的泊松分布 则随机变量z 3x 2 的期望E z 14 设随机变量x服从参数为 4 的泊松分布 且P x 1 P x 2 则E x 2 D x 2 02 1 1 2 2 ee 0 2舍 15设随机变量X服从参数为 的泊松分布 且 3 1 0 XP 则 ln3ln3 16 某一电话站为 300 个用户服务 在一小时内每一用户使用电话的概率为 0 01 则在一 小时内有 4 个用户使用电话的概率为 3 4 4 3 e X P 泊松分布 300 0 01 3 P X 4 e 4 4 3 4 4 3 e 17 通常在n比较大 p很小时 用 0 168031 泊松泊松 18 已知事件A发生的概率为P 则A在第k次独立实验才首次发生的概率为 近似代替二项分布的公式 其期望为 nP 方差为 nPq P 1P 1 P P k k 1 1 A 甲进行射击击中目标 则甲首次击中目标时平均需要射击的次数为 1 P1 P 3 1 3 2 9 4 0 9 4 1 9 5 1 2 pqq ppp 1 1 opp 2 80 81 65 81 16 1 4 0 1 4 qpC o 10 19 设随机变量X的密度函数为f x 0 2x 其它 1 0 x 0 24 随机变量X N 2 2 且 P 2 X 4 0 3 则P X 0 0 2 25 x N M 2 P x 5 0 045 p x 3 0 618 则 1 8 4 26 设某动物从出生活到 10 岁以上的概率为 0 7 活到 15 岁以上的概率为 0 2 则现龄为 10 岁的这种动物活到 15 岁以上的概率为 2 72 7 条件概率条件概率 11 5 期望与期望与方差的计算方差的计算 27 设 则 为随机变量 104113 2 EEE22104 E 104 D 321616 22 EED 28 已知E 3 E 3 则E 3 4 3 0 0 29 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布 则数学期望E x e 2x 4 3 3 4 3 1 11 0 222 dxeeEeEXeXE xxXX 30 f x 2x 0 x 1 则EX 2 32 3 DX 1 181 18 0 其他 利用积分 利用积分 DX EXDX EX 2 2 EX EX 2 2 31 设随机变量x服从 1 3 上的均匀分布 则E x 1 ln3 2 6 Y g X 的计算的计算 32 已知随机变量X U 0 1 均匀分布 Y 3X 2 则Y U U 2 1 2 1 33 已知随机变量X N 0 1 正态分布 Y 3X 2 则Y N N 2 9 2 9 34 设随机变量 在 2 5 服从均匀分布 现在对 进行四次独立观测 则 恰好恰好有有两次两次观测 值大于 3 的概率为 8 8 2727 35 Y 4X 1 X的密度函数是f x 则Y的密度函数为fY y f x 1 4 4 36 X 参数为 2 的指数分布 Y 1 e 2X的密度函数为 高难 37 随机变量 服从 0 2 上均匀分布 则随机变量 2 在 0 4 的密度函数为 f y 1 4 y 1 2 二 单项选择 二 单项选择 1 设离散型随机变量 X 仅取两个可能值 X1和 X2 而且 X1a P x a 成立的常数 a A 4x3 0 x x x B x 0 ax e 其它 ax C x 0 sin x 其它 0 x D x 0 3 x 其它 11 x 依据密度函数的性质 1 0 dxx x 进行判断得出 B为正确答案 5 若随机变量 X 的可能取值充满区间 那么 Sinx 可以作为一个随机变量的概 率密度函数 B A 0 B 0 5 C 0 1 5 D 1 5 6 设 X 的概率密度为 x 其分布函数 F x 则 D 成立 A P xFx B 1 0 x C P xx D P xFxX 7 如果 xx 而 x 0 2x x 其它 21 10 0 0 其他 xe x 且这种产 品平均寿命为 10 年 则该类产品使用寿命在 10 年以上的概率为 C A 0 5 B 1 C e 1 D 1 e 1 18 当满足下列 条件时 二项分布以正态分布为极限分布更准确 D A n np B 0 pn C npp 0 D n 19 设X 10 25 N 已知8413 0 1 0 97725 0 2 0 则 5p X 的 概率分别为 C A 0 0228 0 1587 B 0 3413 0 4772 C 0 1587 0 0228 D 0 8413 0 97725 0228 0 21 5 1020 120120 1587 0 8413 0 1111 5 105 5 00 000 XPXP XP 20 一袋中装有 60 黑球 40 白球 从中任取 20 个 则取到红球数目的期望值为 B A 4 B 8 C 12 D 以上都不是 三 计算题 大题题型大题题型 1 1 4 f x VS F x 1 设随机变量 X 的密度函数为 f x 已知 f x 是连续函数 且 AX 0 X 1 B X 1 X 2 0 其它 试求 1 常数 A B 2 分布函数 F X 3 P 2 1 2 3 X 解 1 由 X 为连续型 AX x im XB x im fxf x im 1 1 1 1 即 AB 1 f x 15 同时 1 dxxf 52 BA 式联系解得 A 1 B 2 2 dxxf x xF 当 2 2 1 0 1xxdx x xFxo 当 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 10 1 21 22 xx x xxdxx x xdxxFx 1 1 2 1 2 2 1 0 2 2 xx x xF 2 21 10 0 x x x x 3 4 3 2 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 3 2 1 22 FFxp 2 设已知 X x 0 2x 其它 10 x 求 P 5 0 x F x 解 4 1 25 5 0 0 xdxXP 11 10 00 2 2 2 0 x xx x xF xxdxdxxxF xx 其他 其他 0 41 9 1 9 2 3 1 3 1 3 1 3 1 13 0 10 1 yy y y yFy y F y XpyXpyYpyFY x xX Y XYY XY X 16 3 设随机变量 X 的密度函数为 ax 0 x 2 f x cx b 2 x 4 0 其他 已知 EX 2 P 1 X 3 4 3 求 a b c 的值 解 1 1262 2 4 0 2 bcadxbcxaxdx 266 3 56 3 8 24 0 2 22 cadxbxcxdxaxEX 4 3 2 5 2 3 2 3 1 2 31 bcadxbcxaxdxxp 4 1 1 4 1 cba联系解得 2 dxexdxxedxxfeeEEY xxx 1 4 1 2 4 4 1 0 2 22 1 4 1 e 22222 1 4 1 eeEyEyDy 4 若连续型随机变量 X 的概率是 0 的指数分布 当三包元件都无故障时 电路正常工作 否则整个电路不能正常工 作 试求电路正常工作的时间的概率分布 解 设 Xi 表示第 i 个电气之元件无故障工作的时间 i 1 2 3 则 X1X2X3独立且同分布 分布函数为 0 0 0 1 x xe xF x 设 G t 是 T 的分布函数 当 t 0 时 G t 0 t 0 时 G t P T t 1 P T t 1 P X1 t X2 tX3 t 1 P X1 t P X 2 t p X3 t 1 P X t 3 1 1 F t 3 1 e 0 0 0 1 3 e tG 的指数分布服从参数为 3T 16 某公司作信件广告 依以往经验每送出 100 封可收到一家定货 兹就 80 个城市中的每 一城市发出 200 封信 求 1 无一家定货的城市数 2 有三家定货的城市数 解 设发出 200 封信后有 家定货 则 B 200 0 01 近似服从参数为np 2 的泊松分布 P 0 0 1353 P 3 0 1804 1 无一家定货的城市数为 80 0 1353 10 82 2 有三家定货的城市数为 80 0 1804 14 43 题型题型 5 5 Y Y g X g X 17 设随机变量 X 的概率密度函数为 0 x X e fx 0 0 x x yx 求 27 确定 C F x y 验证 X 与 Y 的独立性 解 根据二元随机变量密度函数的性质 11 1 00 cdxdyce dxdyyx yx 即 根据二元随机变量分布函数 其它 0 0011 11 00 yxee eedxdyedxdyyxyxF yx yx xy yx xy 分别求出 X 与 Y 的边缘密度函数满足 相互独立 与故 YX yxyx YX 4 X ae ax x 0 Y be by y 0 X 与 Y 相互独立 求 U X Y V X Y 的密度函数 指数分布 指数分布 思路思路 由于 由于 X Y 相互独立 并且其有概率的区间是一个无界区间 因此可以考虑将相互独立 并且其有概率的区间是一个无界区间 因此可以考虑将 U V 的的 密度函数公式用公式法求解 而无需借助分布函数 密度函数公式用公式法求解 而无需借助分布函数 解 fU U 0Uf x U x dx 因为 X Y 独立 所以 f x y fX x fY y 0UfX x fY U x dx 0U ae ax be b U x dx abe bU 0U e ax b x dx abe bU 0U e ax bxdx abe bUe ax bx 0U b a abe bU e b a U 1 b a ab e aU e bU b a 其中 v 0 同理 fV v 0vf x x V dx 因为 X Y 独立 所以 f x y fX x fY y 0vfX x fY x V dx 0v ae ax be b x V dx abebv 0U e ax bxdx abebv 0v e ax bxdx abebve ax bx 0v b a abebv e b a v 1 b a ab ebv e av b a 其中 v R 5 设二维随机向量 X Y U D 其中 D x y 0 x 1 0 y 1 求 1 X 与 Y 的联合密度 f x y 边缘密度函数 xfX与 yfY 2 X Y 的联合分布函数 F x y 边缘分布函数 xFX与 yFY 3 X Y X Y 的概率密度函数 4 EX EY EXY DX DY 5 cov X Y D X Y 6 FX Y y x FX Y y x fX Y y x fX Y y x P X 0 5 Y 0 3 P X 0 5 Y 0 3 解 1 X 与 Y 的联合密度 f x y 1 x y D xfX 01f x y dy 011dy 1 x 0 1 yfY 01f x y dx 011dx 1 y 0 1 28 2 联合分布函数 40 1 F 40 1 40 56 8 16 1 7 交通部门进行的一项研究表明 所有机动车辆盗窃案件中 遭窃的车主 80 不能找回自 己的车 问 某省第一季度发生了 200 起机动车辆盗窃案件 试问其中至少 170 起涉案车辆 不能被追回的概率 解 X1 X2 X200 分别表示 200 起盗窃案车主不能找回车辆 Xi b 1 0 8 X 200 辆不能被破获的数量 X X1 X2 X200 b 200 0 8 X N 160 160 P X 170 1 F 170 1 F 170 160 410 1 0 7906 1 0 7852 0 2148 P X 150 0 7906 0 7852 答 至少 170 起涉案车辆不能被追回的概率大约为 78 52 8 PICC 保险公司推广一项房屋财产保险 每份保单须交纳 1000 元 担保期限为 30 年 如 果房屋出现非人为损坏 保险公司赔偿 50 万元 根据过去数据可以预计 和平年代 30 年内 房屋出现非人为损坏的概率为万分之一 已知该公司已有 100 万顾客参加该保险 问 1 公司在该项目上盈利的概率 盈利超过 9 亿的概率 2 根据所有可能赔付情况 求该公司在该项目上盈利的平均值 解 1 X 100 万客户中 需要赔偿的客户数 X X1 X1000000 N 100 99 99 总收入 1000 1000000 10 亿 10 亿元 赔付 2000 客户 P 盈利 P X 2000 1900 10 1 P 盈利超过九亿 P X 200 F 200 100 10 1 2 按照各种损坏数据分别计算 分段求 X 的期望求和得到 EX 节略 9 已知某餐饮集团公司调查该公司某特色菜肴的销售状况 按照过去几个月的销售状况 得到以下数据 某特色菜肴在所有菜单中占有 10 概率 每单需原材料 1 个单位 预计该 公司未来一周内菜单总数将达到 1000 单 已知该公司该种菜肴原材料每周采购一次 问 1 为了以 95 概率保证不脱销 该公司在周末至少需存货多少 保留到个位数 2 如 果 7 天内销售 该菜肴每份盈利 50 元 超过七天 该公司将被迫把该菜肴原材料淘汰 每单位损失 25 元 问为了达到最大利润 该公司在周末应该进多少单位原料 解 未来一周内需求量 X b 1000 0 1 X N 100 90 设存货量为 a 则 P X a F a a 100 310 0 95 1 65 30 a 100 4 9510 115 65 a 116 设存货量为 a 需求量为 X X N 100 90 则盈利函数 G x a G x a 50X 25 a x 75x 25a Xa EG x a 0 G x a f x dx 0 a 75x 25a x dx a 50a x dx 0a75x x dx a 50a x dx 0 a25a x dx dE G x a da 75a a 50a a 50 a x dx 0 a25 x dx 25a a 0 所以 0a25 x dx 50 a x dx a 2 1 a a 2 3 所以 a 100 310 0 667 0 0 43 a 104 08 最后比较 104 单位进货量与 105 单位进货量的平均利润 取其中的极大值 节略 另 一般很多该类问题 在最后采取四舍五入或者取整函数选择最后的答案 也是比较合理 的 但是如果平时计算 那就只能对比求出最优的数值 10 某航空公司 CEO 宣称 该公司商务客机的平均机龄绝对不超过 10 年 统计部随机抽出 40 架该公司飞机的样本 得到平均机龄为 13 41 年 标准差为 8 28 年 试以置信水平 95 确定客机年龄可能范围 双侧 可以以多大的概率断定该公司客机平均机龄 11 年 n 40 大样本 x N 13 41 8 282 40 P X 11 1 F 11 1 11 13 41 u 1 84 0 9671 即可以以 96 71 的概率断定 该公司客机平均机龄超过 11 年 这说明该 CEO 极有可能在说谎 11 设某电子设备由 64 个独立的电子元件组成 每个元件使用寿命都服从参数 1 100 单 位小时 的指数分布 整个系统的使用寿命 X 等于所有 64 个元件使用寿命总和 求整个报 警系统使用寿命超过 6000 小时的概率 解 X X1 X64 N nu n 2 其中 u 1 100 2 1 2 10000 X N 6400 640000 P X 6000 1 F 6000 1 400 800 0 5 0 6915 12 X1 X2 Xn 是来自总体 X 的简单随机样本 X N u 2 证明 参数估计的评选标准 参数估计的评选标准 x n xx n 1 是 u 的 无偏估计 S2 n uxux n 22 1 是 2无偏估计 证明 Xi N u 2 Ex E n xx n 1 n 1 EX1 EXn nu n u 无偏估计 31 E S2 E n uxux n 22 1 n 1 E 2 1 ux E 2 uxn 2 证毕 13 X1 X2 X3是来自总体 X 的简单随机样本 X N u 2 证明 1 u1 X1 X2 X3 3 u2 X1 2X2 3X3 6 u3 X1 X2 2X3 2 都是 u 的无偏估计 2 比较三个样本估计量 说明 u1 u2 u3哪个是最优无偏估计 并给出证明 证 1 同上可证 Eu1 X1 X2 X3 3 EX1 EX2 EX3 3 3u 3 u Eu2 X1 2X2 3X3 6 EX1 2EX2 3EX3 6 6u 6 u Eu3 E X1 X2 2X3 2 2u 2 u 2 Du1 D X1 X2 X3 3 DX1 DX2 DX3 9 2 3 Du2 D X1 2X2 3X3 6 DX1 4DX2 9DX3 36 7 2 18 D u3 D X1 X2 2X3 2 DX1 DX2 4DX3 4 3 2 2 Du1 Du21 其中未知参数 1 X1 X2 Xn 为来自总体 X 的简单随机样本 求 的矩估计和极大似然估计 极大似然估计和矩估计案例 极大似然估计和矩估计案例 解 1 矩估计的求解 注 其中用了 1 的条件 问题 在哪个部分用了 EX 1 xf x dx 1 x x 1dx 1 x dx x1 1 1 0 1 1 x 1 x x x 1 2 极大似然估计的求解 首先构造似然函数 L x1 x2 xn L x1 x2 xn i 1n f xi n x1x2 xn 1 lnL nln 1 i 1nlnXi lnL 0 lnL n i 1nlnXi 0 n i 1nlnXi 的极大似然估计 其中 Xi 1 是总体 X 的简单随即样本 15 设 W K 房产开发公司某类产品日销售量近似服从泊松分布 但是由于 未知 为了确 定 的可能数值 公司对最近几天来的销售状况作调查 得到以下样本值 3 2 0 5 4 3 1 0 7 2 0 3 试求 1 的极大似然估计 并根据 的取值判断未来一天内没有销售出任何一套住房的概率 2 没有销售任何一套住房的概率的极大似然估计 分析 第一步 求解总体参数 的机大似然估计 第二步 由于没有销售任何一套住房的概 率仅仅与参数 有关 所以是 的函数 G 而根据极大似然估计的性质 0如果是 的极大似然估计 那么 G 的极大似然估计就是 G 0 解 1 设 X1 X2 Xn 是总体 X 的一组简单随机样本 根据已知 Xi P 则构造似然函数 L X1 Xn 如下 L X1 Xn i 1n P Xi xi i 1n xie x i 其中 Xi N xi e n x i lnL X1 Xn Xi ln n lnXi lnL 0 lnL Xi n 0 Xi n 综上所述 可以得知总体参数 的极大似然估计值为 Xi n x 即样本平均数 第一小题结论为 3 2 0 5 4 3 1 0 7 2 0 3 12 10 4 2 5 未来某一天没销售出一套房子的概率 P X 0 0e 0 e e 2 5 8 21 32 2 没有销售任何一套住房的概率的极大似然估计 因为 p P X 0 0e 0 从而 P 的极大似然估计为 e 的极大似然估计 根据极大似然估 计的性质 如果 的极大似然估计值为 Xi n x 则 P G 的极大似然估计值为 G Xi n G x 所以可以得到 没有销售任何一套住房的概率的极大似然估计 e x e 2 5 8 21 统计班同学们注意分析 下列数据是怎么得来的 会分析么 如果按照上述数据 那么中统计班同学们注意分析 下列数据是怎么得来的 会分析么 如果按照上述数据 那么中 位数的极大似然估计值应该是多少呢 四分位数的极大似然估计呢 位数的极大似然估计值应该是多少呢 四分位数的极大似然估计呢 同理可得 销售数据中的众数 即最大可能数值为 同理可得 销售数据中的众数 即最大可能数值为 mode m