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图论第一次作业 By byh E G 2 E G 2 G 1 1 举出两个可以化成图论模型的实际问题 略 1 2 证明其中 是单图 证明 思路 根据单图无环无重边的特点 所以 最大的情形为任意两个顶点间有一条边相连 即极 端情况为 1 4 画出不同构的一切四顶单图 0条边 1条边 2条边 3条边 4条边 5条边 6条边 1 10G 当且仅当存在可逆映射 使得 其中 和 是单图 证明充分性和必要性 必要性 若 由定义可得 存在可逆映射 当且仅当 时 所以 充分性 定义 使得 和 一一对应 于 是 可逆 且 的充要条件是 得 1 12求证 a b 是完全二分图 则 1 4 2 a 对于 将顶集分为 和 使得 对于 中的每一顶点 都和 中所有顶点 相连 所以 b 设 的顶划分为 则 2 4 证明 a 第一个序列考虑度数7 第二个序列考虑6 6 1 b 将顶点v分成两部分v 和v v v v vi 1 i k v v v vi k i n 以v 点为顶的原图的导出子图度数之和小于 然后考虑剩下的点贡献给这k个点的度数之和最大可能为 1 37 证明无环图 含二分生成子图 使得 1 2 对每 个 成立 证明 任取X Y满足X UY V G X Y 且令X Y中的顶两两不相邻 所得的 图是H且是二分子图 令H是G边数最多的二分生成子图 若存在v V G 使得dH v dG v 不妨设v X 则将v所连的边取消 换成dG v dH v 条边 且将v加入Y中 于是H的边数增加了d
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