2019-2020学年南京市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合A1，2，3，集合Bx|x24，xR，则AB（ ）AB1C1，2D1，2，3【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由，解得，故，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2已知向量，则向量的坐标为（ ）A（2，3）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【答案】D【解析】利用向量减法运算，求得.【详解】依题意.故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.3已知alog0.81.2，b1.20.8，csin1.2，则a，b，c的大小关系是（ ）AabcBacbCcabDcba【答案】B【解析】利用分段法，判断出的大小关系.【详解】，由于，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题.4函数的定义域为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得的定义域.【详解】由，解得，所以的定义域为.故选：C【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.5已知扇形OAB的面积为4，圆心角为2弧度，则的长为（ ）A2B4C2D4【答案】B【解析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得的长.【详解】设扇形的半径为，依题意.所以.故选：B【点睛】本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题.6若向量满足：，则（ ）A1B2C5D【答案】D【解析】利用已知条件求得，由此求得的值.【详解】由得，化简得.所以.故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题.7函数图象的大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项.【详解】由于函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，由此排除B,C选项.由于，所以当时，存在减区间，由此排除D选项.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.8安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin后容器内剩余的细沙量为y101+at（单位：cm3），其中a为常数经过4min后发现容器内还剩余5cm3的沙子，再经过xmin后，容器中的沙子剩余量为1.25cm3，则x（ ）A4B6C8D12【答案】C【解析】根据已知条件求得的值，由此列方程，求得的值.【详解】当时，所以，即.设经过后，剩余沙子为，即，即，.所以再经过的时间.故选：C【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、多选题9下列各选项中，值为1的是（ ）Alog26log62Blog62log64CD【答案】AC【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.【详解】对于A选项，根据可知，A选项符合题意.对于B选项，原式，B选项不符合题意.对于C选项，原式，C选项符合题意.对于D选项，由于，D选项不符合题意.故选：AC【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.10记函数的图象为G，则下列结论正确的是（ ）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）在区间上单调递增C直线是图象G的一条对称轴D将函数ysin2x的图象向右平移个单位长度，得到图象G【答案】ABC【解析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】函数的最小正周期为，故A选项正确.由，解得，所以函数f（x）在区间上单调递增，故B选项正确.由于，所以直线是图象G的一条对称轴，故C选项正确.向右平移得到，故D选项错误.故选：ABC【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.11已知函数f（x）x，g（x）x4，则下列结论正确的是（ ）A若h（x）f（x）g（x），则函数h（x）的最小值为4B若h（x）f（x）|g（x）|，则函数h（x）的值域为RC若h（x）|f（x）|g（x）|，则函数h（x）有且仅有一个零点D若h（x）|f（x）|g（x）|，则|h（x）|4恒成立【答案】BCD【解析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】对于A选项，当时，函数的最小值为，所以A选项错误.对于B选项，画出图像如下图所示，由图可知，的值域为，故B选项正确.对于C选项，画出图像如下图所示，由图可知，有唯一零点，故C选项正确.对于D选项，由C选项的分析，结合图像可知恒成立，故D选项正确.故选：BCD【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.12已知向量是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）A若存在实数，使得，则与共线B若与共线，则存在实数，使得C若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得D若对平面内的任一向量，均存在实数，使得，则与不共线【答案】ACD【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.【详解】根据平面向量共线的知识可知A选项正确.对于B选项，若与共线，可能，当为非零向量时，不存在实数，使得，所以B选项错误.根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.三、填空题13已知和都是单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值是_【答案】【解析】利用求得向量与的夹角的余弦值.【详解】依题意.故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14在ABC中，已知，则sinAcosA的值为_，tanA的值为_【答案】 【解析】利用同角三角函数的基本关系式，求得的值.【详解】由两边平方得.由于是三角形的内角，故为钝角，所以，而，所以.由解得，所以.故答案为：（1）（2）【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15已知函数f（x）（xR）是周期为4的奇函数，且当0x2时，则_【答案】【解析】根据函数的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值.【详解】依题意.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.16已知A，B是函数的图象与函数的图象的两个不同的交点，则线段AB长度的最小值是_【答案】【解析】求得在一个周期内的两个交点坐标，由此求得长度的最小值.【详解】和的周期为，由得，在时，有或，记得或，不妨设，所以长度的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题17已知向量（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值【答案】（1）或；（2）【解析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值；（2）将两边平方，求得，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得的值.【详解】（1）由于，所以，解得或.（2）将两边平方得，所以，即，解得.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.18在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的正半轴，终边经过点P（3，m），且（1）求实数m的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得的值.（2）由（1）求得的值，利用诱导公式化简求得表达式的值.【详解】（1）由于角的终边经过点，且，所以，且，从而，即，解得.（2）由（1）知，所以，所以.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19已知函数是奇函数，其中e是自然对数的底数（1）求实数a的值；（2）若f（lgx）f（1）0，求x的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据奇函数的性质，利用列方程，解方程求得的值.（2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集.【详解】（1）函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得.（2）由（1）得，由于都在上递增，所以函数在上递增，根据为奇函数得，所以，解得.即不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为65m已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min转动一圈游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin后，他距离地面的高度为h，求h关于t的函数解析式；（2）已知在距离地面超过40m的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？【答案】（1）；（2）【解析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得关于的解析式.（2）由列不等式，解不等式求得距离地面超过的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间.【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点.因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每转动一圈，所以在内所转过的角为.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以轴正半轴为始边，以为终边的角为，因此点的纵坐标为.从而游客距离地面的高度，.（2）令，得，所以，即，令，则.由于在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题.21在ABC中，AB6，AC3，D为BC中点，,（1）若，求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得的值.（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合，化简求得的值.【详解】（1）由于是的中点，所以，由于,，所以.所以.（2），所以,解得.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22已知函数f（x）sinx，g（x）lnx（1）求方程在0，2上的解；（2）求证：对任意的aR，方程f（x）ag（x）都有解；（3）设M为实数，对区间0，2内的满足x1x2x3x4的任意实数xi（1i4），不等式成立，求M的最小值【答案】（1）或；（2）详见解析；（2）【解析】（1）利用诱导公式化简，结合同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得方程的解.（2）将分成和两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得，再证得，由此求得的最小值为.【详解】（1）因为，所以，即，且.若，则，与矛盾.所以，从而.又，所以或.（2）当时，由得，即是该方程的一个解；当时，