数学归纳法海选专题.doc

数学归纳法海选专题证明一些等式和不等式注意：（1）初始值（2）由n=k到n=k+1时注意增加的项数一定要用n=k正确这个结论（3）特殊猜想证明（4）一 用数学归纳法证明等式：1.用数学归纳法证明2、用数学归纳法证明：123234n(n1)(n2)(nN*)二用数学归纳法证明下述不等式: 1.用数学归纳法证明2.设且，求证：.三整除问题：1.试证当n为自然数时，f(n)32n28n9能被64整除2.若5n23n11(nN*)能被正整数m整除，请写出m的最大值，并给予证明解：当n1时，5123018， m8，(2分)下证5n23n11(nN*)能被8整除(3分) 当n1时已证；(4分) 假设当nk(kN*)时命题成立，即5k23k11能被8整除(5分)则当nk1时，5k123k155k63k11(6分)(5k23k11)4(5k3k1)，(7分) 5k23k11能被8整除，而5k3k1为偶数， 4(5k3k1)也能被8整除，即当nk1时命题也成立(8分)3.用数学归纳法证明：能被整除.四与数列有关问题：1已知正项数列中，对于一切的均有成立。（1）证明：数列中的任意一项都小于1；（2）探究与的大小，并证明你的结论.1解：（1）由得在数列中，故数列中的任意一项都小于1.（2）由（1）知，那么，由此猜想：（n2）.下面用数学归纳法证明：当n=2时，显然成立；当n=k时（k2,kN）时，假设猜想正确，即，那么，当n=k+1时，猜想也正确综上所述，对于一切，都有。2.已知数列的前项和为，通项公式为，（1）计算的值；（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解：（1）由已知，； （2）由（）知；下面用数学归纳法证明：当时， （）由（）当时，；（）假设时，即，那么，所以当时，也成立 由（1）和（2）知，当时， 所以当，和时，；当时，3.已知数列中，（1）求证：；（2）求证：当时，解：（1）因为，所以 2分故 4分（2）当时，又，所以，即 6分 假设当时， 则当时， 8分 10分 即时结论成立 综上所述，当时，4、已知正项数列中，。用数学归纳法证明：。答案要点：当时，所以，时，不等式成立；假设（）时，成立，则当时， ，所以，时，不等式成立综上所述，不等式成立5、已知数列满足，且（）（1）求的值（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明。解：（1）由得，求得 3分（2）猜想 5分证明：当n=1时，猜想成立。 6分设当n=k时时，猜想成立，即， 7分则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时猜想也成立 9分综合，猜想对任何都成立。 10分6、已知数列中，an=n（n+1）（n+2）.又Sn=kn（n+1）（n+2）（n+3），试确定常数k，使S n恰为的前n项的和，并用数学归纳法证明你的结论.解：由a1=S1,k=.下面用数学归纳法进行证明.1.当n=1时，命题显然成立；2.假设当n=k(kN*)时，命题成立,即123+234+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,则n=k+1时，123+234+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）即命题对n=k+1.成立由1, 2，命题对任意的正整数n成立. 7已知正项数列中，。用数学归纳法证明：。8.已知数列的各项都是正数且满足（1）求（2）证明：9、已知数列满足（）计算；（）猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明解：（）由递推公式，得，3分 （）猜想：5分证明：时，由已知，等式成立6分 设时，等式成立即7分所以，所以时，等式成立9分根据可知，对任意，等式成立即通项10分五与几何知识有关问题：1.空间内有个不重合的平面，设这个平面最多将空间分成个部分.（1）求（2）写出关于的表达式，并用数学归纳法证明.2.平面上有n个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2n2个部分3. n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证 当n=2时，由图(1)两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22当n=3时，由图(2)三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32由n=4时，由图(3)三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2用数学归纳法证明如下：当n=2时，上面已证设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧由、可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)4.用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在