河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题 文（含解析）.doc

河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1设集合m1，2，3，na+2，a2+2，且mn3，则实数a的值为（）a1或1b1c1d22ab是抛物线y22x的一条焦点弦，|ab|4，则ab中点c的横坐标是（）a2bcd3已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a625，那么a3+a5的值等于（）a5b10c15d204与双曲线有共同的渐近线，且经过点a（3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）a8b4c2d15abc是边长为2的等边三角形，已知向量，满足2，2+，则下列结论正确的是（）a|1bc1d（4+）6存在函数f（x）满足，对任意xr都有（）af（sin2x）sinxbf（sin2x）x2+xcf（x2+1）|x+1|df（x2+2x）|x+1|7已知双y21（a0）的左、右焦点分别曲线为f1，f2，离心率为，p为双曲线右支上一点，且满足|pf1|2|pf2|24，则pf1f2的周长为（）a2b2+2c2+4d2+48已知函数f（x）为r上的可导函数，其导函数为f（x），且f（x），在abc中，f（a）f（b）1，则abc的形状为（）a等腰锐角三角形b直角三角形c等边三角形d等腰钝角三角形9如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）abcd10已知f（x）sin（2019x+）+cos（2019x）的最大值为a，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）f（x）f（x2）成立，则a|x1x2|的最小值为（）abcd11已知椭圆的左焦点为f，左、右顶点分别为a，c，上顶点为b过f，b，c作圆p，其中圆心p的坐标为（m，n）当m+n0时，椭圆离心率的取值范围为（）abcd12设d+a+2其中e2.71828，则d的最小值为（）abc+1d+1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 斤金（不作近似计算）14已知直线l经过抛物线c：y的焦点f，与抛物线交于a，b，且xa+xb8，点d是弧aob（o为原点）上一动点，以d为圆心的圆与直线l相切，当圆d的面积最大时，圆d的标准方程为 15如图（1），在等腰直角abc中，斜边ab4，d为ab的中点，将acd沿cd折叠得到如图（2）所示的三棱锥cabd，若三棱锥cabd的外接球的半径为，则adb 16已知abc的三边分别为a，b，c，所对的角分别为a，b，c，且满足，且abc的外接圆的面积为3，则f（x）cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等差数列an满足：a37，a5+a726an的前n项和为sn（）求an及sn；（）令bn（nn*），求数列bn的前n项和tn18如图，在平面四边形abcd中，已知abbccd2，ad2（1）求cosacosc的值；（2）记abd与bcd的面积分别为s1，s2，求s12+s22的最大值19已知抛物线c的方程y22px（p0），焦点为f，已知点p在c上，且点p到点f的距离比它到y轴的距离大1（1）试求出抛物线c的方程；（2）若抛物线c上存在两动点m，n（m，n在对称轴两侧），满足omon（o为坐标原点），过点f作直线交c于a，b两点，若abmn，线段mn上是否存在定点e，使得4恒成立？若存在，请求出e的坐标，若不存在，请说明理由20椭圆的离心率是，过点p（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆e与直线l交于a，b两点，当直线l垂直于y轴时（）求椭圆e的方程；（）当k变化时，在x轴上是否存在点m（m，0），使得amb是以ab为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由21设抛物线的方程为y22px，其中常数p0，f是抛物线的焦点（1）若直线x3被抛物线所截得的弦长为6，求p的值；（2）设a是点f关于顶点o的对称点，p是抛物线上的动点，求的最大值；（3）设p2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点f的直线，l1与抛物线交于点a，b，l2与抛物线交于点c，d，若点g满足4+，求点g的轨迹方程22已知函数（1）讨论f（x）的单调性（2）试问是否存在a（，e，使得，对x1，+）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1设集合m1，2，3，na+2，a2+2，且mn3，则实数a的值为（）a1或1b1c1d2【解答】解：m1，2，3，na+2，a2+2，且mn3，a+23，或a2+23，解得a1或1，a1时不满足集合元素的互异性，a1舍去，a1故选：b2ab是抛物线y22x的一条焦点弦，|ab|4，则ab中点c的横坐标是（）a2bcd【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2）根据抛物线的定义可知|ab|x1+x2+px1+x2+14，故选：c3已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a625，那么a3+a5的值等于（）a5b10c15d20【解答】解：由等比数列的性质得：a2a4a32，a4a6a52a2a4+2a3a5+a4a625可化为（a3+a5）225又an0a3+a55故选：a4与双曲线有共同的渐近线，且经过点a（3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）a8b4c2d1【解答】解：与双曲线有共同的渐近线，设双曲线方程为 ，将点 代入双曲线方程，解得 ，从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为 ，所以焦点到一条渐近线的距离是2，故选：c5abc是边长为2的等边三角形，已知向量，满足2，2+，则下列结论正确的是（）a|1bc1d（4+）【解答】解：因为已知三角形abc的等边三角形，满足2，2+，又，的方向应该为的方向所以，所以2，12cos1201，4412cos1204，4，所以0，即（4）0，即0，所以；故选：d6存在函数f（x）满足，对任意xr都有（）af（sin2x）sinxbf（sin2x）x2+xcf（x2+1）|x+1|df（x2+2x）|x+1|【解答】解：a取x0，则sin2x0，f（0）0；取x，则sin2x0，f（0）1；f（0）0，和1，不符合函数的定义；不存在函数f（x），对任意xr都有f（sin2x）sinx；b取x0，则f（0）0；取x，则f（0）2+；f（0）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误； c取x1，则f（2）2，取x1，则f（2）0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；d令x+1t，则f（x2+2x）|x+1|，化为f（t21）|t|；令t21x，则t；即存在函数f（x），对任意xr，都有f（x2+2x）|x+1|；该选项正确故选：d7已知双y21（a0）的左、右焦点分别曲线为f1，f2，离心率为，p为双曲线右支上一点，且满足|pf1|2|pf2|24，则pf1f2的周长为（）a2b2+2c2+4d2+4【解答】解：由题意可得b1，c，即有e，可得a，c2，p为双曲线右支上一点，可得|pf1|pf2|2a2，又|pf1|2|pf2|24，可得|pf1|+|pf2|2，则pf1f2的周长为2+2c4+2，故选：c8已知函数f（x）为r上的可导函数，其导函数为f（x），且f（x），在abc中，f（a）f（b）1，则abc的形状为（）a等腰锐角三角形b直角三角形c等边三角形d等腰钝角三角形【解答】解：函数的导数f（x）f（）cosxsinx，则f（）f（）cossinf（）f（），则f（），则f（）1，则f（x）cosxsinx2cos（x+），f（x）sinx+cosx2cos（x），f（a）f（b）1，f（b）2cos（b+）1，即cos（b+），则b+，得b，f（a）2cos（a）1，即cos（a），则a，则a，则c，则bc，即abc是等腰钝角三角形，故选：d9如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）abcd【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图pabc所示：顶点p在以ba和bc为邻边的平行四边形abcd上的射影为cd的中点o，故该锥体的正视图是：故选：a10已知f（x）sin（2019x+）+cos（2019x）的最大值为a，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）f（x）f（x2）成立，则a|x1x2|的最小值为（）abcd【解答】解：依题意f（x）sin2019xcos+cos2019xsin+cos2019xcos+sin2019xsinsin2019x+cos2019x2sin（2019x+），a2，t，|x1x2|min，a|x1x2|的最小值为，故选：c11已知椭圆的左焦点为f，左、右顶点分别为a，c，上顶点为b过f，b，c作圆p，其中圆心p的坐标为（m，n）当m+n0时，椭圆离心率的取值范围为（）abcd【解答】解：如图所示，线段fc的垂直平分线为：x，线段bc的中点（，）kbcb，线段bc的垂直平分线的斜率k线段bc的垂直平分线方程为：y（x），把xm代入上述方程可得：ynm+n0，0化为：b，又0b1，解得b1ec（0，）故选：a12设d+a+2其中e2.71828，则d的最小值为（）abc+1d+1【解答】解：由题意可得a0，d+a+2，由表示两点c（x，ex）与点a（a，2）的距离，而a在抛物线y24x（x0）上，抛物线的焦点f（1，0），准线为x1，则d表示a与c的距离和a与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得d表示a与c的距离和a与f的距离的和再加上1，由图象可得当f，a，c三点共线，且qf为曲线yex的法线，d取得最小值，即q为切点，设为（m，em），由em1，可得m+e2m1，设g（m）m+e2m，则g（m）递增，且g（0）1，可得切点q（0，1），即有|fq|，则d的最小值为+1故选：c二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金（不作近似计算）【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d，所以每一等人比下一等人多得斤金14已知直线l经过抛物线c：y的焦点f，与抛物线交于a，b，且xa+xb8，点d是弧aob（o为原点）上一动点，以d为圆心的圆与直线l相切，当圆d的面积最大时，圆d的标准方程为（x4）2+（y4）25【解答】解：抛物线的标准方程为x24y，抛物线的焦点坐标为f（0，1），直线ab的斜率k（xa+xb）2，则l的方程为y2x+1，即2xy+10，点d到直线l距离最大时，圆d的面积最大，令y2，解得x4，此时y4，即d（4，4）到直线l距离最大，此时d，所以所求圆的标准方程为（x4）2+（y4）25，故答案为：（x4）2+（y4）2515如图（1），在等腰直角abc中，斜边ab4，d为ab的中点，将acd沿cd折叠得到如图（2）所示的三棱锥cabd，若三棱锥cabd的外接球的半径为，则adb【解答】解：球是三棱锥cabd的外接球，所以球心o到各顶点的距离相等，如图根据题意，cd平面abd，取cd的中点e，ab的中点g，连接cg，dg，因为adbd，cd平面abd，所以a和b关于平面cdg对称，在平面cdg内，作线段cd的垂直平分线，则球心o在线段cd的垂直平分线上，设为图中的o点位置，过o作直线cd的平行线，交平面abd于点f，则of平面abd，且ofde1，因为af在平面abd内，所以ofaf，即三角形aof为直角三角形，且斜边oar，af2，所以，bf2，所以四边形adbf为菱形，又知odr，三角形ode为直角三角形，oe2，三角形adf为等边三角形，adf，故adb，故填：16已知abc的三边分别为a，b，c，所对的角分别为a，b，c，且满足，且abc的外接圆的面积为3，则f（x）cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为（12，24【解答】解：由，可得：，可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc3ab+3b2+3ac+3bc，即a2+c2b2ac，那么2accosbac，即cosb0b，babc的外接圆的面积为3，abc的外接圆的半径为r，a+c2r（sina+sinc）6sin（a+）a，a+c（3，6，f（x）cos2x+4（a+c）sinx+12sin2x+4（a+c）sinx+2令g（t）2t2+4（a+c）t+2，t1，1，g（t）在1，1单调递增，g（t）maxg（1）4（a+c）（12，24则f（x）cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为（12，24故答案为：（12，24三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等差数列an满足：a37，a5+a726an的前n项和为sn（）求an及sn；（）令bn（nn*），求数列bn的前n项和tn【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a37，a5+a726，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；snn2+2n （），tn18如图，在平面四边形abcd中，已知abbccd2，ad2（1）求cosacosc的值；（2）记abd与bcd的面积分别为s1，s2，求s12+s22的最大值【解答】解：（1）在abd中，bd2ad2+ab22adabcosa128cosa，在bdc中，bd2bc2+cd22bccdcosc，所以128cosa88cosc，整理得（2）由题意知：8sin2a，所以8sin2a+4sin2c，由于，所以，故，解得当cosa时，19已知抛物线c的方程y22px（p0），焦点为f，已知点p在c上，且点p到点f的距离比它到y轴的距离大1（1）试求出抛物线c的方程；（2）若抛物线c上存在两动点m，n（m，n在对称轴两侧），满足omon（o为坐标原点），过点f作直线交c于a，b两点，若abmn，线段mn上是否存在定点e，使得4恒成立？若存在，请求出e的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得1，即p2，抛物线的方程为y24x，（2）由题意可知，kmn0，设m（y12，y1），n（y22，y2），（y2y1），由omon，y12y22+y1y20，即y1y216，直线mn的斜率k，直线mn的方程为yy1（x），即y（x4），直线ab，斜率存在，设斜率为k，则yk（x1），与c联立可得ky24y4k0，|ab|4（1+），设点e存在，并设为e（x0，y0），则|em|en|（y0y1）（y2y0）（1+）y1y2y02+（y1+y2）y0（1+）（16y02+），4，16y02+16，解得y00，y0（不是定点，舍去），则点e（4，0），经检验，此点满足y24x，所以在线段mn上，若斜率不存在，则|ab|4，|em|en|4416，此时点e（4，0）满足题意，综上所述，定点为（4，0）20椭圆的离心率是，过点p（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆e与直线l交于a，b两点，当直线l垂直于y轴时（）求椭圆e的方程；（）当k变化时，在x轴上是否存在点m（m，0），使得amb是以ab为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由【解答】解：（）由已知椭圆过点，可得，解得a29，b24所以椭圆的e方程为（）设a（x1，y1），b（x2，y2），ab的中点c（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx270，所以当k0时，设过点c且与l垂直的直线方程，将m（m，0）代入得：，若k0，则，若k0，则所以或，当k0时，m0综上所述，存在点m满足条件，m取值范围是21设抛物线的方程为y22px，其中常数p0，f是抛物线的焦点（1）若直线x3被抛物线所截得的弦长为6，求p的值；（2）设a是点f关于顶点o的对称点，p是抛物线上的动点，求的最大值；（3）设p2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点f的直线，l1与抛物线交于点a，b，l2与抛物线交于点c，d，若点g满足4+，求点g的轨迹方程【解答】解：（1）由x3可得y，可得26，解得p；（2）a是点f（，0）关于顶点o的对称点，可得a（，0），设过a的直线为yk（x+），ktan，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p2p）x+0，由直线和抛物线相切可得（k2p2p）2k4p20，解得k1，可取k1，可得切线的倾斜角为45，由抛物线的定义可得，而的最小值为45，的最大值为；（3）由y24x，可得f（1，0），设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4），g（x，y），设l1：yk（x1），联立抛物线y24x，可得k2x2（2k2+4）x+k20，即有x1+x2