2412垂直于弦的直径.ppt

过已知点A B作圆 可以作无数个圆 圆心在线段AB的垂直平分线上 各圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系 新课导入 大胆猜想 A B 教学目标 知识与能力 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理 并辅以逻辑证明加予理解 过程与方法 情感态度与价值观 培养通过动手实践发现问题的能力 渗透 观察 分析 归纳 概括 的数学思想方法 教学重难点 垂径定理及其运用 什么是轴对称图形 我们学过哪些轴对称图形 如果一个图形沿一条直线对折 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫轴对称图形 回顾 线段 角 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正方形 圆 圆也是轴对称图形吗 动画 沿着圆的任意一条直径对折 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 圆有哪些对称轴 O O A B C D E 是轴对称图形 大胆猜想 已知 在 O中 CD是直径 AB是弦 CD AB 垂足为E 下图是轴对称图形吗 叠合法 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 CD是直径 AB是弦 CD AB 直径过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 垂径定理 将题设与结论调换过来 还成立吗 这五条进行排列组合 会出现多少个命题 直径过圆心 平分弦 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论1 一个圆的任意两条直径总是互相平分 但它们不一定互相垂直 因此这里的弦如果是直径 结论不一定成立 O A B M N C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 垂径定理的推论1 2 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 直径过圆心 平分弦所对的劣弧 平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦 垂径定理的推论1 2 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 垂直于弦 平分弦 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 3 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论1 垂直于弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧 推论1的其他命题 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧 4 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 5 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦 6 平分弦所对的两条弧的直径过圆心 并且垂直平分弦 垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 M O A B N C D 证明 作直径MN垂直于弦AB AB CD 直径MN也垂直于弦CD 两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论2有这两种情况 C D A B E 作法 1 连结AB 小练习 A B C D E 作法 1 连结AB 3 连结AC 5 点G同理 A B C 作AC的垂直平分线 作BC的垂直平分线 这种方法对吗 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线 C A B O 作法 1 连结AB 3 作AC BC的垂直平分线 4 三条垂直平分线交于一点O 你能破镜重圆吗 A B C m n O 作弦AB AC及它们的垂直平分线m n 交于O点 以O为圆心 OA为半径作圆 作法 依据 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理三角形 d h r r 有哪些等量关系 在a d r h中 已知其中任意两个量 可以求出其它两个量 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 赵州桥主桥拱的半径是多少 垂径定理的应用 用表示主桥拱 设所在圆的圆心为O 半径为R 经过圆心O作弦AB的垂线OC D为垂足 OC与AB相交于点D 根据前面的结论 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 解 AB 37 4 CD 7 2 OD OC CD R 7 2 解得R 27 9 m 在Rt OAD中 由勾股定理 得 即R2 18 72 R 7 2 2 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m OA2 AD2 OD2 课堂小结 1 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 2 垂径定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 3 垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 4 解决有关弦的问题 1 判断 1 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两弧 2 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 3 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 4 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 5 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 随堂练习 2 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 答 O的半径为5cm 3 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证 四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 4 在直径是20cm的 O中 的度数是60 那么弦AB的弦心距是 cm 5 弓形的弦长为6cm 弓形的高为2cm 则这弓形所在的圆的半径为 cm 6 已知P为 O内一点 且OP 2cm 如果 O的半径是3cm 那么过P点的最短的弦等于 cm 7 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧CD 点O是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧CD上的一点 且OE CD垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 解 连接OC 8 已知在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 解 连结OA 过O作OE AB 垂足为E 则OE 3cm AE BE A