概率统计课后习题答案.pdf

习题一解答 1 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 1 抛一枚硬币两次 观察出现的面 事件 2 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数 事件一分钟内呼叫次 数不超过次 3 从一批灯泡中随机抽取一只 测试其寿命 事件寿命在到小时之 间 解 1 2 记为一分钟内接到的呼叫次数 则 3 记为抽到的灯泡的寿命 单位 小时 则 2 袋中有个球 分别编有号码1至10 从中任取1球 设 取得球的号 码是偶数 取得球的号码是奇数 取得球的号码小于5 问下列运 算表示什么事件 1 2 3 4 5 6 7 解 1 是必然事件 2 是不可能事件 3 取得球的号码是2 4 4 取得球的号码是1 3 5 6 7 8 9 10 5 取得球的号码为奇数 且不小于5 取得球的号码为5 7 9 6 取得球的号码是不小于5的偶数 取得球的号码为6 8 10 7 取得球的号码是不小于5的偶数 取得球的号码为6 8 10 3 在区间上任取一数 记 求下列事件的表达式 1 2 3 4 解 1 2 3 因为 所以 4 4 用事件的运算关系式表示下列事件 1 出现 都不出现 记为 2 都出现 不出现 记为 3 所有三个事件都出现 记为 4 三个事件中至少有一个出现 记为 5 三个事件都不出现 记为 6 不多于一个事件出现 记为 7 不多于两个事件出现 记为 8 三个事件中至少有两个出现 记为 解 1 2 3 4 5 6 7 8 5 一批产品中有合格品和废品 从中有放回地抽取三次 每次取一 件 设表示事件 第次抽到废品 试用表示下列事件 1 第一次 第二次中至少有一次抽到废品 2 只有第一次抽到废品 3 三次都抽到废品 4 至少有一次抽到合格品 2 只有两次抽到废品 解 1 2 3 4 5 6 接连进行三次射击 设 第次射击命中 三次射击恰好命中二 次 三次射击至少命中二次 试用表示和 解 习题二解答 1 从一批由45件正品 5件次品组成的产品中任取3件产品 求其中 恰有1件次品的概率 解 这是不放回抽取 样本点总数 记求概率的事件为 则有利于的 样本点数 于是 2 一口袋中有5个红球及2个白球 从这袋中任取一球 看过它的颜 色后放回袋中 然后 再从这袋中任取一球 设每次取球时袋中各个球 被取到的可能性相同 求 1 第一次 第二次都取到红球的概率 2 第一次取到红球 第二次取到白球的概率 3 二次取得的球为红 白各一的概率 4 第二次取到红球的概率 解 本题是有放回抽取模式 样本点总数 记 1 2 3 4 题求概率的 事件分别为 有利于的样本点数 故 有利于的样本点数 故 有利于的样本点数 故 有利于的样本点数 故 3 一个口袋中装有6只球 分别编上号码1至6 随机地从这个口袋 中取2只球 试求 1 最小号码是3的概率 2 最大号码是3的概率 解 本题是无放回模式 样本点总数 最小号码为3 只能从编号为3 4 5 6这四个球中取2只 且 有一次抽到3 因而有利样本点数为 所求概率为 最大号码为3 只能从1 2 3号球中取 且有一次取到3 于是 有利样本点数为 所求概率为 4 一个盒子中装有6只晶体管 其中有2只是不合格品 现在作不放 回抽样 接连取2次 每次取1只 试求下列事件的概率 1 2只都合格 2 1只合格 1只不合格 3 至少有1只合格 解 分别记题 1 2 3 涉及的事件为 则 注意到 且与互斥 因而由概率的可加性知 5 掷两颗骰子 求下列事件的概率 1 点数之和为7 2 点数之和不超过5 3 点数之和为偶数 解 分别记题 1 2 3 的事件为 样本点总数 含样本点 1 6 6 1 3 4 4 3 含样本点 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 1 2 2 2 3 3 2 含样本点 1 1 1 3 3 1 1 5 5 1 2 2 2 4 4 2 2 6 6 2 3 3 3 5 5 3 4 4 4 6 6 4 5 5 6 6 一共18个样本点 6 把甲 乙 丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去 假设 每间宿舍最多可住8人 试求这三名学生住不同宿舍的概率 解 记求概率的事件为 样本点总数为 而有利的样本点数为 所以 7 总经理的五位秘书中有两位精通英语 今偶遇其中的三位 求下 列事件的概率 1 事件 其中恰有一位精通英语 2 事件 其中恰有二位精通英语 3 事件 其中有人精通英语 解 样本点总数为 1 2 3 因 且与互斥 因而 8 设一质点一定落在平面内由轴 轴及直线所围成的三角形内 而 落在这三角形内各点处的可能性相等 计算这质点落在直线的左边的概 率 解 记求概率的事件为 则 为图中阴影部分 而 最后由几何概型的概率计算公式可得 1 1 1 3 图2 3 9 见前面问答题2 3 10 已知 求 1 2 3 4 5 解 1 2 3 4 5 11 设是两个事件 已知 试求及 解 注意到 因而 于是 习题三解答 1 已知随机事件的概率 随机事件的概率 条件概率 试求及 解 2 一批零件共100个 次品率为10 从中不放回取三次 每次取 一个 求第三次才取得正品的概率 解 3 某人有一笔资金 他投入基金的概率为0 58 购买股票的概率为 0 28 两项投资都做的概率为0 19 1 已知他已投入基金 再购买股票的概率是多少 2 已知他已购买股票 再投入基金的概率是多少 解 记 基金 股票 则 1 2 4 给定 验证下面四个等式 解 5 有朋自远方来 他坐火车 船 汽车和飞机的概率分别为0 3 0 2 0 1 0 4 若坐火车 迟到的概率是0 25 若坐船 迟到的概率是 0 3 若坐汽车 迟到的概率是0 1 若坐飞机则不会迟到 求他最后可 能迟到的概率 解 迟到 坐火车 坐船 坐汽车 乘飞机 则 且按题 意 由全概率公式有 6 已知甲袋中有6只红球 4只白球 乙袋中有8只红球 6只白球 求下列事件的概率 1 随机取一只袋 再从该袋中随机取一球 该球是红球 2 合并两只袋 从中随机取一球 该球是红球 解 1 记 该球是红球 取自甲袋 取自乙袋 已知 所以 2 7 某工厂有甲 乙 丙三个车间 生产同一产品 每个车间的产量 分别占全厂的25 35 40 各车间产品的次品率分别为5 4 2 求该厂产品的次品率 解 8 发报台分别以概率0 6 0 4发出和 由于通信受到干扰 当发出 时 分别以概率0 8和0 2收到和 同样 当发出信号时 分别以0 9和0 1 的概率收到和 求 1 收到信号的概率 2 当收到时 发出的概率 解 记 收到信号 发出信号 1 2 9 设某工厂有三个车间 生产同一螺钉 各个车间的产量分别占总 产量的25 35 40 各个车间成品中次品的百分比分别为5 4 2 如从该厂产品中抽取一件 得到的是次品 求它依次是车间 生产的概率 解 为方便计 记事件为车间生产的产品 事件 次品 因此 10 设与独立 且 求下列事件的概率 解 11 已知独立 且 求 解 因 由独立性有 从而 导致 再由 有 所以 最后得到 12 甲 乙 丙三人同时独立地向同一目标各射击一次 命中率分 别为1 3 1 2 2 3 求目标被命中的概率 解 记 命中目标 甲命中 乙命中 丙命中 则 因而 13 设六个相同的元件 如下图所示那样安置在线路中 设每个元 件不通达的概率为 求这个装置通达的概率 假定各个元件通达与否是 相互独立的 解 记 通达 2 1 元件通达 4 3 则 所以 6 5 图3 1 14 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0 2 机器发生故障时 全天停止工作 若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立 试求 一周五个工作日里发生3次故障的概率 解 15 灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0 2 求三个灯泡在使用 1000小时以后最多只有一个坏了的概率 解 16 设在三次独立试验中 事件出现的概率相等 若已知至少出现 一次的概率等于19 27 求事件在每次试验中出现的概率 解 记 在第次试验中出现 依假设 所以 此即 17 加工一零件共需经过3道工序 设第一 二 三道工序的次品率 分别为2 3 5 假设各道工序是互不影响的 求加工出来的零件 的次品率 解 注意到 加工零件为次品 当且仅当1 3道工序中至少有一道出 现次品 记 第道工序为次品 则次品率 18 三个人独立破译一密码 他们能独立译出的概率分别为0 25 0 35 0 4 求此密码被译出的概率 解 记 译出密码 第人译出 则 19 将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次 恰有5次出现正面的概率是 多少 有4次至6次出现正面的概率是多少 解 1 2 20 某宾馆大楼有4部电梯 通过调查 知道在某时刻 各电梯正在 运行的概率均为0 75 求 1 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率 2 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率 3 在此时刻所有电梯都在运行的概率 解 1 2 3 习题四解答 1 下列给出的数列 哪些是随机变量的分布律 并说明理由 1 2 3 4 解 要说明题中给出的数列 是否是随机变量的分布律 只要验证是 否满足下列二个条件 其一条件为 其二条件为 依据上面的说明可得 1 中的数列为随机变量的分布律 2 中 的数列不是随机变量的分布律 因为 3 中的数列为随机变量的分 布律 4 中的数列不是随机变量的分布律 这是因为 2 试确定常数 使成为某个随机变量X的分布律 并求 解 要使成为某个随机变量的分布律 必须有 由此解得 2 3 3 一口袋中有6个球 在这6个球上分别标有 3 3 1 1 1 2这 样的数字 从这袋中任取一球 设各个球被取到的可能性相同 求取得 的球上标明的数字X的分布律与分布函数 解 X可能取的值为 3 1 2 且 即X的分布律为 X 312 概 率 X的分布函数 0 1 4 一袋中有5个乒乓球 编号分别为1 2 3 4 5 从中随机地取 3个 以X表示取出的3个球中最大号码 写出X的分布律和分布函数 解 依题意X可能取到的值为3 4 5 事件表示随机取出的3个球 的最大号码为3 则另两个球的只能为1号 2号 即 事件表示随机取 出的3个球的最大号码为4 因此另外2个球可在1 2 3号球中任选 此 时 同理可得 X的分布律为 X345 概率 X的分布函数为 0 1 5 在相同条件下独立地进行5次射击 每次射击时击中目标的概率为 0 6 求击中目标的次数X的分布律 解 依题意X服从参数的二项分布 因此 其分布律 具体计算后可得 X012345 概率 6 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取 设每次 抽取时 各件产品被抽到的可能性相等 在下列三种情形下 分别求出 直到取得正品为止所需次数X的分布律 1 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品 2 每次取出的产品都不放回这批产品中 3 每次取出一件产品后总是放回一件正品 解 1 设事件表示第次抽到的产品为正品 依题意 相互独立 且而 即X服从参数的几何分布 2 由于每次取出的产品不再放回 因此 X可能取到的值为1 2 3 4 X的分布律为 X1234 概率 3 X可能取到的值为1 2 3 4 所求X的分布律为 X1234 概率 由于三种抽样方式不同 导致X的分布律也不一样 请仔细体会它们 的不同处 7 设随机变量 已知 求与的值 解 由于 因此 由此可算得 即 解得 此时 8 掷一枚均匀的硬币4次 设随机变量X表示出现国徽的次数 求X的 分布函数 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 因此X服从的二 项分布 即 由此可得X的分布函数 0 1 9 某商店出售某种物品 根据以往的经验 每月销售量X服从参数的 泊松分布 问在月初进货时 要进多少才能以99 的概率充分满足顾客 的需要 解 设至少要进件物品 由题意应满足 即 查泊松分布表可求得 10 有一汽车站有大量汽车通过 每辆汽车在一天某段时间出事故的 概率为0 0001 在某天该段时间内有1000辆汽车通过 求事故次数不少 于2的概率 解 设X为1000辆汽车中出事故的次数 依题意 X服从的二项分 布 即 由于较大 较小 因此也可以近似地认为X服从的泊松分布 即 所求概率为 11 某试验的成功概率为0 75 失败概率为0 25 若以X表示试验者获 得首次成功所进行的试验次数 写出X的分布律 解 设事件表示第次试验成功 则 且相互独立 随机变量X取意味 着前次试验未成功 但第次试验成功 因此有 所求的分布律为 X12 概率0 75 12 设随机变量X的密度函数为 0 其他 试求 1 常数 2 X的分布函数 解 1 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件 其一 为 其二为 因此有 解得 其中舍去 即取 2 分布函数 13 设随机变量X的密度函数为 求 1 系数 2 3 X的 分布函数 解 1 系数必须满足 由于为偶函数 所以 解得 2 3 14 证明 函数 为正的常数 为某个随机变量X的密度函数 证 由于 且 因此满足密度函数的二个条件 由此可得为某个随机变量的密度函数 15 求出与密度函数 对应的分布函数的表达式 解 当时 当时 当时 综合有 16 设随机变量X在上服从均匀分布 求方程有实根的概率 解 X的密度函数为 其他 方程有实根的充分必要条件为 即 因此所求得概率为 17 设某药品的有效期X以天计 其概率密度为 0 其他 求 1 X的分布函数 2 至少有200天有效期的概率 解 1 2 18 设随机变量X的分布函数为 求X的密度函数 并计算和 解 由分布函数与密度函数的关系 可得在的一切连续点处有 因 此 所求概率 19 设随机变量X的分布函数为 求 1 常数 2 3 随机变量X的密 度函数 解 1 要使成为随机变量X的分布函数 必须满足 即 计算后得 解得 另外 可验证当时 也满足分布函数其余的几条性质 2 3 X的密度函数 20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 单位 min 服从的指数 分布 其密度函数为 某顾客在窗口等待服务 若超过10min 他 就离开 1 设某顾客某天去银行 求他未等到服务就离开的概率 2 设某顾客一个月要去银行五次 求他五次中至多有一次未等到 服务的概率 解 1 设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间 依题 意X服从的指数分布 且顾客等待时间超过10min就离开 因此 顾客 未等到服务就离开的概率为 2 设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数 则Y服从的二 项分布 所求概率为 21 设X服从 借助于标准正态分布的分布函数表计算 1 2 3 4 5 解 查正态分布表可得 1 2 3 4 5 22 设X服从 借助于标准正态分布的分布函数表计算 1 2 3 4 5 6 解 当时 借助于该性质 再查标准正态分布函数表可求得 1 2 3 4 5 6 23 某厂生产的滚珠直径服从正态分布 合格品的规格规定为 求 该厂滚珠的合格率 解 所求得概率为 24 某人上班所需的时间 单位 min 已知上班时间为8 30 他每 天7 50出门 求 1 某天迟到的概率 2 一周 以5天计 最多 迟到一次的概率 解 1 由题意知某人路上所花时间超过40分钟 他就迟到了 因 此所求概率为 2 记Y为5天中某人迟到的次数 则Y服从的二项分布 5天中最 多迟到一次的概率为 习题五解答 1 二维随机变量只能取下列数组中的值 且取这些组值的概率依 次为 求这二维随机变量的分布律 解 由题意可得的联合分布律为 X Y01 10 000 200 2 一口袋中有四个球 它们依次标有数字 从这袋中任取一球后 不放回袋中 再从袋中任取一球 设每次取球时 袋中每个球被取到的 可能性相同 以X Y分别记第一 二次取到的球上标有的数字 求的 分布律及 解 X可能的取值为 Y可能的取值为 相应的 其概率为 或写成 X Y123 10 2 30 3 箱子中装有10件产品 其中2件为次品 每次从箱子中任取一件产 品 共取2次 定义随机变量X Y如下 X 0 若第一次取出正品 Y 0 若第二次取出正品 1 若第一次取出次品 1 若第二次取出次品 分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律 1 放回抽 样 2 不放回抽样 解 1 在放回抽样时 X可能取的值为 Y可能取的值也为 且 或写成 X Y01 0 1 2 在无放回情形下 X Y可能取的值也为0或1 但取相应值的 概率与有放回情形下不一样 具体为 或写成 X Y01 0 1 4 对于第1题中的二维随机变量的分布 写出关于X及关于Y的边缘 分布律 解 把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为 X 102 概 率 按列相加得Y的边缘分布律为 Y01 概率 5 对于第3题中的二维随机变量的分布律 分别在有放回和无放回两 种情况下 写出关于X及关于Y的边缘分布律 解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X01 概 率 Y的边缘分布律为 Y01 概 率 在无放回情况下X的边缘分布律为 X01 概 率 Y的边缘分布律为 Y01 概 率 6 求在D上服从均匀分布的随机变量的密度函数及分布函数 其中D 为x轴 y轴及直线围成的三角形区域 解 区域D见图5 2 易算得D的面积为 所以的密度函数 y 1 1 0 1 x 的分布函数 当或时 当时 图5 2 当时 当时 当时 综合有 7 对于第6题中的二维随机变量的分布 写出关于X及关于Y的边缘 密度函数 解 X的边缘密度函数为 Y的边缘密度函数为 8 在第3题的两种情况下 X与Y是否独立 为什么 解 在有放回情况下 由于 而 即 容易验证 由独立性定义知X与Y相互独立 在无放回情况下 由于 而 易见 所以X与Y不相互独立 9 在第6题中 X与Y是否独立 为什么 解 而 易见 所以X与Y不相互独立 10 设X Y相互独立且分别具有下列的分布律 X 2 100 5 Y 0 513 概率 概率 写出表示的分布律的表格 解 由于X与Y相互独立 因此 例如 其余的联合概率可同样算得 具体结果为 X Y 0 513 2 1 0 0 5 11 设X与Y是相互独立的随机变量 X服从上的均匀分布 Y服从参 数为5的指数分布 求的联合密度函数及 解 由均匀分布的定义知 由指数分布的定义知 因为X与Y独立 易得的联合密度函数 概率 y 0 2 x 图5 3 其中区域见图5 3 经计算有 12 设二维随机变量的联合密度函数为 求 1 系数 2 3 证明X与Y相互独立 解 1 必须满足 即 经计算得 2 3 关于X的边缘密度函数 同理可求得Y的边缘密度函数为 易见 因此X与Y相互独立 13 已知二维随机变量的联合密度函数为 1 求常数 2 分别求关于X及关于Y的边缘密度函数 3 X与 Y是否独立 解 1 满足 即解得 2 X的边缘密度函数 Y的边缘密度函数为 3 而 易见 因此X与Y不相互独立 14 设随机变量X与Y的联合分布律为 X Y01 0 1 2 且 1 求常数的值 2 当取 1 中的值时 X与Y是否独立 为 什么 解 1 必须满足 即 可推出 另外由条件概率定义及已知的条 件得 由此解得 结合可得到 即 2 当时 可求得 易见 因此 X与Y不独立 15 对于第2题中的二维随机变量的分布 求当时X的条件分布律 解 易知 因此时X的条件分布律为 X Y 2123 概率 16 对于第6题中的二维随机变量的分布 求当时Y的条件密度函数 解 X的边缘密度函数为 由第7题所求得 由条件密度函数的定义知当时Y的条件密度函数为 习题六解答 1 设X的分布律为 X 2 0 5024 概 率 求出 以下随机变量的分布律 1 2 3 解 由X的分布律可列出下表 概率 2 0 5024 01 5246 31 51 1 3 40 250416 由此表可定出 1 的分布律为 0246 概 率 2 的分布律为 3 113 概率 3 的分布律为 0416 概 率 其中 2 设随机变量X服从参数的泊松分布 记随机变量 试求随机变量Y 的分布律 解 由于X服从参数的泊松分布 因此 而 即Y的分布律为 Y01 概率 3 设X的密度函数为 求以下随机变量的密度函数 1 2 3 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数 然 后再求密度函数 如果为单调可导函数 则也可利用性质求得 1 解法一 设 则Y的分布函数 解法二 而 则 2 设 则 Y的密度函数 3 设 由于X只取中的值 所以也为单调函数 其反函数 因此 Y的密度函数为 4 对圆片直径进行测量 测量值X服从上的均匀分布 求圆面积Y的 概率密度 解 圆面积 由于X均匀取中的值 所以X的密度函数 且为单调增加函数 其反函数 Y的密度函数为 5 设随机变量X服从正态分布 试求随机变量的函数的密度函数 解 所以 此时不为单调函数不能直接利用性质求出 须先求Y 的分布函数 6 设随机变量X服从参数为1的指数分布 求随机变量的函数的密度 函数 解 的反函数 因此所求的Y的密度函数为 7 设X服从 证明服从 其中为两个常数且 证明 由于 所以 记 则当时 为单增函数 其反函数 因此Y的密度 函数为 即证明了 8 设随机变量X在区间上服从均匀分布 随机变量 试求随机变量函数Y的分布律 解 则 而 因此所求分布律为 Y 101 概 率 0 9 设二维随机变量的分布律 X Y 求以下随机变量的分布律 解 概率 210 1210 123246369 从而得到 1 概率 1012 概率 从联合分布律可求得 的边缘分布律为 概 率 由此得的分布律为 概 率 1236 概率 设随机变量 相互独立 1 记随机变量 求的分布律 2 记随机变量 求的分布律 从而证实 即使 服从同样的分布 与的分布并不一定相同 直观地解释这一结论 解 由于 且 与 独立 由分布可加性知 即 经计算有 概 率 由于 概 率 因此 概率 易见与的分布并不相同 直观的解释是的与的取值并不相同 这是因 为与并不一定同时取同一值 因而导致它们的分布也不同 设二维随机变量的联合分布律为 X Y 1 求的分布律 2 求的分布律 解 随机变量可能取到的值为 中的一个 且 综合有 概 率 随机变量可能取到的值为 中的一个 且 同理可求得综合有 概 率 设二维随机变量服从在 上的均匀分布 其中 为直线 所 围成的区域 求的分布函数及密度函数 解 的联合密度函数为 设 则的分布函数 2 0 2 x 图6 2 y 2 其中区域 当时 积分区域见图6 2 此时 2 0 2 x y 2 当时 积分区域见图6 3 此时 2 0 2 x y 2 图6 4 图6 3 其中是区域限在中的那部分 当时 积分区域见图6 4 此时 2 0 2 x y 2 图6 5 其中是区域限在中的那部分 当时 积分区域见图6 5 此时 综合有 的密度函数 13 设的密度函数为 用函数表达随机变量的密度函数 解 设 则的分布函数 对积分变量作变换 得到 于是 交换积分变量的次序得 从而 的密度函数为 把与的地位对换 同样可得到的密度函数的另一种形式 习题七解答 1 设 的分布律为 X 1012 概 率 求 1 2 3 4 解 由随机变量X的分布律 得 X 1012 X 1210 1 X21014 P 所以 另外 也可根据数学期望的性质可得 2 设随机变量X服从参数为的泊松分布 且已知 求的值 解 3 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数 每次命中目标的概 率为0 4 试求的数学期望 解 所以 故 4 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量 它在 2000 4000 单位 吨 上服从均匀分布 若每售出一吨 可得 外汇3万美元 若销售不出而积压 则每吨需保养费1万美元 问应组织 多少货源 才能使平均收益最大 解 设随机变量Y表示平均收益 单位 万元 进货量为吨 Y 则 要使得平均收益最大 所以 得 吨 5 一台设备由三大部件构成 在设备运转过程中各部件需要调整的 概率相应为0 1 0 2 0 3 假设各部件的状态相互独立 以X表示同时 需要调整的部件数 试求X的数学期望和方差 解 X的可能取值为0 1 2 3 有 所以X的分布律为 X0123 Pr 0 5040 398 0 0920 006 6 设X的密度函数为 求 1 2 解 1 2 注 求解 1 时利用被积函数是奇函数的性质 求解 2 时化简 为可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩 7 某商店经销商品的利润率 的密度函数为 求 解 1 2 故 8 设随机变量X的密度函数为 0 求 解 9 设随机变量的联合分布律为 X Y01 00 30 2 10 40 1 求 解 关于X与Y的边缘分布律分别为 X01 Y01 Pr0 50 5 Pr0 70 3 10 设随机变量X Y相互独立 它们的密度函数分别为 求 解 所以 所以 X Y相互独立 所以 11 设服从在A上的均匀分布 其中A为x轴 y轴及直线所围成的区 域 求 1 2 3 的值 解 先画出A区域的图 y 0 x 1 x A y 1 1 y 2 0 其他 0 其他 0 其他 12 设随机变量的联合密度函数为 0 其他 求 解 先画出区域的图 y 1 0 1 x G 0 其他 0 其他 13 设随机变量X Y相互独立 且 求 解 14 设 求 1 2 解 1 2 15 设随机变量 相互独立 求 解 16 验证 当为二维连续型随机变量时 按公式及按公式算得的值相 等 这里 依次表示的分布密度 证明 17 设 的方差为2 5 利用契比晓夫不等式估计的值 解 18 设随机变量X和Y的数学期望分别为 2和2 方差分别为1和4 而相关系数为 0 5 根据切比雪夫不等式估计的值 解 所以 21 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险 在1年内每 人的死亡率为0 1 参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元 死 亡时家属可以从保险公司领取2000元 试用中心极限定理求保险公司亏 本的概率 解 设死亡人数为 保险公司亏本当且仅当 即 于是 由棣莫弗 拉普拉斯定理 公司亏本的概率为 习题九解答 1 设是来自服从参数为的泊松分布的样本 试写出样本的联合分布 律 解 2 设是来自上的均匀分布的样本 未知 1 写出样本的联合密度函数 2 指出下列样本函数中哪些是统计量 哪些不是 为什么 3 设样本的一组观察是 0 5 1 0 7 0 6 1 1 写出样本均值 样本方差 和标准差 解 1 0 其他 2 和是 和不是 因为和中不含总体中的唯一未知参数 而和中含 有未知参数 3 样本均值 样本方差 样本标准差 3 查表求 解 4 设 求常数 使 解 由t分布关于纵轴对称 所以即为 由附表5 6可查得 所以 5 设是来自正态总体的样本 试证 1 2 证明 1 独立同分布于 由分布的定义 即 2 易见 即 由分布的定义 即 6 设是独立且服从相同分布的随机变量 且每一个都服从 1 试给出常数 使得服从分布 并指出它的自由度 2 试给出常数 使得服从t分布 并指出它的自由度 解 1 易见 即为二个独立的服从的随机变量平方和 服从分布 即 自由度为2 2 由于 则 又 与相互独立 则 即 即 自由度为3 7 设是取自总体的一个样本 在下列三种情况下 分别求 1 2 3 其中 解 1 2 3 其中 8 某市有100000个年满18岁的居民 他们中10 年收入超过1万 20 受过高等教育 今从中抽取1600人的随机样本 求 1 样本中不少于11 的人年收入超过1万的概率 2 样本中19 和21 之间的人受过高等教育的概率 解 1 引入新变量 1 第个样本居民年收入