浅谈二元一次不等式组与简单线性规划问题蔡飞.doc

浅谈二元一次不等式组与简单线性规划问题扬中市第二高级中学 邮编 212200 蔡飞摘要：线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们的日常生活密切相关，因此一直被认为是应用题的热门知识背景，成为高考考查的热点之一。本文将从规划思想出发来探讨高中数学中常见函数最优化问题。线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛。用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，从一个新的角度对求最值问题的理解，注重学生最优化思想的形成。近年高考中，线性规划试题出现了参数，需要进行分类讨论，这给出了一个信号，线性规划的研究将会更深入，相对难度也有可能加大。我们考察近几年的高考数学试题，不难发现，主要围绕线性约束条件表示的平面区域做文章，着重考查学生对线性规划解决思路的理解，对于线性规划的背景则不会过分强调。本文将从规划思想出发来探讨高中数学中常见函数最优化问题。题型一：线性目标函数的最优化问题例题1：（2006年江苏高考）设，满足约束条件，求的最大值。思路分析：先画出可行域，在可行域内寻找最优解。解题过程：先画出满足约束条件的可行域，如图1的阴影部分。， ，求的最大值，即求在约束条件下，斜率为的直线在轴上截距最大值，可见当直线过时，在轴上截距最大。解后语：解题的关键在于正确的描绘出边界直线，然后根据给出的不等式组，利用所在直线外任一特殊点，确定可行域，最后找到直线在轴上截距的最大值。对于线性目标函数中的符号一定要注意：当直线过可行区域且在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当直线过可行区域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大。例题2：（2009年陕西高考）若，满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围。思路分析：先画出满足约束条件的可行域，然后根据题目已知唯一最优解反过来确定目标函数某些字母的取值范围。解题过程：满足约束条件的可行域，见图2的阴影部分。点为直线与的交点，画出可行域，让直线绕点旋转，欲使仅在点处z取最小值，应有，即。解后语：用已知有唯一（或无数）最优解时反过来确定目标函数某些字母系数的取值范围，从各个不同的侧面去理解图解法求最优解的实质，培养学生思维的发散性。 题型二：非线性目标函数的最优化问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形，区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即最优解。例题3：实数满足不等式组，求的最小值思路分析：画出不等式组所对应的可行域，明确的几何意义是可行域内的点与连线的斜率。解题过程：约束条件：是一个关于的一个二元一次不等式组；目标函数：是一个关于的一个二元函数，可以看作是一点与点的斜率；可行域：是指由直线，和所围成的一个三角形区域（包括边界）（如图3）；可行解：所有满足（即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得它与点的斜率取得最小值，此时所对应的点的坐标就是最优解。解后语：这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义，并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。题型三：平面区域的面积问题平面区域的面积问题是线性规划问题中的一类重要题型，在解题时关键是画准平面区域，然后结合有关的面积公式求解。例题4：（2007年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知集合A(x，y)|xy1，且x0，y0，则求集合B(xy，xy)|(x，y)A内的点所形成的平面区域的面积。思路分析:先做坐标变换，然后画出满足约束条件的可行域。解题过程：令得，得，画出平面区域B的可行域（如图4阴影部分），得到面积为1。题型四：线性规划的应用题在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎么统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小。例题5：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1 h，每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得的利润最大？解题过程：设甲、乙两种产品的日生产分别为件时，工厂获得的利润为万元，则满足约束条件为,作出约束条件所表示的可行域，如图5所示。目标函数为，可变形为，作直线，当直线平移经过可行域时，在点M处达到轴上截距的最大值，即此时有最大值。解方程组，得点， 图 5当每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，工厂获利最大为14万元。总结：本文主要从多方面阐述了二元一次不等式组与简单线性规划之间的关系以及应用，着重介绍了求解最优化问题