向量易错题带答案.docx

向量易错题带答案A、 B、 C、 D、2已知向量，若向量满足，则 （ ）A、 B、 C、 D、3已知，则的取值范围是（ ）A、B、（3，8）C、D、（3，13）4设向量，则是的（ ）条件。A、充要 B、必要不充分C、充分不必要 D、既不充分也不必要5下列命题： |=| 若则 ，则存在唯一实数，使 若，且，则 设是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使成立。 若|+|=|则=0。 =0，则=或=真命题个数为（ ）A、1B、2C、3D、3个以上6和= (3,4)平行的单位向量是_；7已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围是 .8若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是_.9在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 10ABC中，已知，判断ABC的形状为_.11向量、都是非零向量，且向量与垂直，与垂直，求与的夹角12，与的夹角为1， 与的夹角为2，且的值.13设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为.若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围14四边形ABCD中，且，试问四边形ABCD是什么图形?15如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.16已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.17已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是多少？18已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。19在边长为1的正三角形中，求的值20已知同一平面上的向量、两两所成的角相等，并且，求向量的长度。向量易错题带答案1A【解析】【错解分析】不能正确处理向量的方向导致错选为D由知, 为的重心,根据向量的加法, ，则=。【正解】=，故选A 。2D【解析】【错解分析】由于混淆向量平行与垂直的条件，即非0向量 ，而不能求得答案。【正解】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有，故选D 。【点评】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用3C【解析】【错解分析】对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时，ABC不存在，错选D。【正解】因为向量减法满足三角形法则，作出，。（1）当ABC存在，即A、B、C三点不共线时，；（2）当与同向共线时，；当与反向共线时，。，故选C。4C【解析】【错解分析】，此式是否成立，未考虑，选A。【正解】若则，若，有可能或为0，故选C。5B【解析】【错解分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如果认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律就会产生一些错误的结论。【正解】正确。根据向量模的计算判断。错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义表示和向量共线的向量，同理表示和向量共线的向量，显然向量和向量不一定是共线向量，故不一定成立。错误。应为错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。错误。应加条件“非零向量”错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量和向量在向量方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共线的向量即一组基底。正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故=0。错误。只需两向量垂直即可。综上真命题个数为2，故选B【点评】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知，和实数，则向量的数量积满足下列运算律： (交换律)（）（）（） (数乘结合律)() (分配律)6(，)【解析】【错解分析】因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，)【正解】因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，)或(，)【点评】平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和= (3,4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。7【解析】【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。【正解】分别表示与、同向的单位向量,8【解析】【错解分析】只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.【正解】 ，的夹角为钝角, 解得或 (1)又由共线且反向可得 (2)由(1),(2)得的范围是9【解析】【错解分析】不清楚与ABC的角平分线有关，从而不能迅速找到解题的突破口，不能正确求解。【正解】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，。10锐角三角形【解析】【错解分析】，。B为钝角，ABC为钝角三角形。错将与的夹角看成是ABC的内角B，向量与的夹角应为。【正解】；，。，、B、C均为锐角。ABC为锐角三角形。11【解析】【错解分析】由题意，得，将、展开并相减，得，故，将代入，得，则，设与夹角为，则，【正解】设向量、的夹角为，由题意，得，将、展开并相减，得，有，代入式、式均可得，则，又，【点评】错解中解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得到，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上由于向量的数量积不满足消去律，所以即使，也不能随便约去12【解析】【错解分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。【正解】故有因，从而【点评】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具有代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。137t且t【解析】【错解分析】2te17e2与e1te2的夹角为钝角，(2te17e2)(e1te2)0，2t215t70，解之得：7t，t的范围为(7，)【正解】2te17e2与e1te2的夹角为钝角，(2te17e2)(e1te2)0且2te17e2(e1te2)(0)(2te17e2)(e1te2)0得2t215t70，7t.若2te17e2(e1te2)(0)，(2t) e1(7t) e20.，即t，t的取值范围为：7t0且a, b不同向；为直角ab=0；为钝角ab0且ab不反向. 2te17e2与e1te2的夹角为钝角(2te17e2)(e1te2)0.14四边形ABCD是矩形【解析】【错解分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。【正解】四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由0得（），即()（）2即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得(2)即，也即ABBC。综上所述，四边形ABCD是矩形。【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。15当时，最大，值为0.【解析】【错解分析】本题易错点有（1）不会利用及这两个关系式，即没有把表示为，表示为致使该题在运算上发生错误。（2）在运用坐标运算过程中，未知数多，如而忽视了这些量内在的联系还有的表示式，这些关系不能充分利用，导致运算错误。【正解】解法一：故当即（方向相同）时，最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.故当即（方向相同）时，最大，其最大值为0.【点评】本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力。16存在，和，【解析】【错解分析】此题综合程度较高，易错点一方面表现在学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面是在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局而出错。【正解】根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.i=（1，0），c=（0，a），c+i=（，a），i2c=（1，2a）因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得：（i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.【点评】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来，另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题。如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。17(,-)或(,-)【解析】【错解分析】本题易错点常表现在不能正确把握单位向量的概念，从而无法解答，同时解答过程中如果不能正确转换平行条件，也是无法解答此题的。【正解】方法一 设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知，故填 (,-)或(,-)方法二与向量b= (-3,4)平行的单位向量是(-3,4)，故可得a(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。【点评】向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。与a平行的单位向量e=18（）或（13，4）【解析】【错解分析】由|P1P|=2|PP2|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）【正解】当点P为 P1，P2 的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（）；当点P为 P1，P2 的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。则所求点P的坐标为（）或（13，4）。【点评】在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。19【解析】【错解分析】 两向量夹角的定义的前提是其起点要重合