数学建模竞赛优秀论文.doc

手机“套餐”优惠几何摘要：本文针对手机“套餐”优惠的一系列相关问题，根据附件和及相关资料，在充分合理的假设条件下,通过计算流失率和兴趣度，采用群体定位法，并引入虚拟值，研究最优的双赢方案，制订新的“套餐”方案。通过数据统计分析，参照现行的资费标准和北京、上海的“套餐”方案，在同时满足用户与运营商双方互利的基础上，综合运用机理分析方法建立模型进行分析。（1）通过比较北京、上海“套餐”方案的本地主叫总通话量，并用MATLAB软件作图直观对比说明各种“套餐”方案适应的用户。（2）从运营商角度着重考虑了套餐的需求预测环节，通过对题目中的数据进行分析，引入用户对卡类套餐的兴趣度这一概念，建立了卡类用户流失率的数学模型，得到了在当月内没有推行新套餐的情况下，卡类用户流失率大小，利用该值可以较好地分析出各卡类收益变化的程度。而上海和北京对比，上海的“套餐”又比北京的优惠。此次调整，北京“套餐”的长途资费呈现历史性的狂跌，而上海“套餐”的长途资费却不动声色。上海作为主要的商业城市，长途使用率有增无减。但上海实行的新“套餐”并没有对长途资费进行调整，所以上海推行的“全球通68套餐”并不能使多数用户得到真正的优惠。（3）北京移动公司推出全球通“被叫完全免费计划”方案以基本月租、单向计划收费、用户要求、漫游资费进行分析，结合调查研究，得出“被叫完全免费计划”并不能真正实现消惠者的优惠。（4）以“双方互利”原则、提高用户的兴趣度和减少用户的流失率原则、“高套餐高优惠”和“多组合元素多优惠”原则为标准，设计新的“星级88套餐”方案，在增长运营商的利润同时，使消费者得到最大的受益。中国移动公司全球通“星级88套餐”方案88套餐：本地接听免费，包含本地主叫分钟数240，超出套餐部分本地主叫资费为0.35元/分钟，国内IP长途资费为0.1元/分钟。288套餐：本地接听免费，包含本地主叫分钟数1600，国内长途分钟数230，超出套餐部分本地主叫资费0.18元/分钟，国内IP长途资费0.1元/分钟。488套餐：本地接听免费，包含1650分钟通话时间。（包括市话、国内漫游主/被叫），如超出套餐分钟主叫接照0.28元/分钟。该算法包括长途费、IP长途费。1188套餐：本地接听免费，包含3500分钟通话时间（包括国内漫游、主/被叫），如超出套餐分钟数主叫按照0.24元/分钟、该算法包括长途费、IP长途费。1988套餐：全国接听免费，包括6000分钟通话时间（包括市话、国内漫游主/被叫），如超出套餐分钟主叫接照0.20元/分钟。该算法包括长途费、IP长途费。关键词：兴趣度 流失率 机理分析法 星级88套餐 群体定位一 问题的重述随着通信技术的深入和发展，手机作为一种通话工具进入人们的生活领域。成为人们日常生活、工作、社交、经营等社会活动不可或缺的通讯工具之一，带来了通信业务的飞速发展，也为各运营商提供了丰厚的利润。而对于我们这些消费用户来说，手机的资费问题一直是我们所关注的热点问题。面对着几年来运营商推出的各种资费方案始终没有发生实质性的变化，人们迫切的希望能够通过各种“套餐”方案的推出能使手机总消费更加低廉。自2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商相继推出的“手机单向收费方案”-各种品牌的“套餐”，手机“套餐”花样琳琅满目，让人眼花缭乱。人们不禁要问:运营商推出的这些手机“套餐”究竟优惠几何？请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，建立数学模型分析研究下列问题：(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于的用户。(2) 提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。(3) 北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。如何评价这个方案？并说明理由。(4) 如何帮助移动公司设计一个全球通手机的资费方案, 要考虑哪些因素? 根据研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个认为合理的“套餐”方案。二 问题的分析1. 根据题目附件以及相关资料，给出北京,上海各“套餐”方案的资费计算方法。我们经过统计分析，数学分段函数方法计算各资费，并以月通话量为准则划分给出各种“套餐”方案适应的用户。2. 做为运营商，要使卡类的收益最高，就需要对套餐市场作科学合理的需求分析预测。卡类推行套餐的目的，是为了能够提高或至少保持现有的用户对卡类套餐的兴趣度，使得用户与卡类尽可能地长时间保持业务关系，从而使卡类有更多的盈利。套餐的推行种类、数量及其推行时间都会影响用户对卡类的兴趣度，若不能推行新套餐，用户对卡类套餐的兴趣度就可能幅度降低。而兴趣度的降低就会导致用户流失率随之升高，进而可能导致卡类的收益降低。3. 根据北京推出的全球通“被叫全免费计划”方案的资费情况，对套餐的单向计划、需承诺在网一年、以及漫游资费进行评价。4. 如何设计一个全球通手机的资费方案，要根据北京，上海的实际情况，深入考虑各种可能影响的因素，分析并设计出一个“互利”并能有效推行的“套餐”方案。三 模型的假设1 移动的所有电缆、发射站、网络管理等其它的基本设施忽略不计。2 套餐推行期间，在此期间政府无重大的宏观政策调控。3 移动公司的员工聘请费用、广告费、技术投入与税收等因素忽略不计。4 全球经济风波对通讯行业无任何重大影响。5 业务推出之后，各运营商之间的市场竞争造成的影响忽略。6 排除其它资费标准，以主叫服务为研究对象，以市话为基准。四 符号引入总费用（单位：元）总通话时间（单位：分钟）17951国内IP长途通话时间表示总的用户数目每个用户对各种套餐的综合兴趣度用户使用的概率收益增量收益减量用户数单用户增加收入单用户减少收入净增量选择套餐代号五 模型的建立及求解（一）模型建立问题1、在移动公司的营业厅前，经常可以看到上述类似的促销方案以吸引顾客消费，本问题就是通过对移动资费“套餐”及现行的资费方案进行分析，比较，并做出评价。以下是根据总通话费和通话时间建立的数学模型。北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案月基本费 （元/月） 包含本地主叫分钟数 超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）本地被叫资费（元/分钟）包含数据业务*17951国内IP长途资费（元/分钟）992800.35010M GPRS流量0.11395600.25010M GPRS流量+ 25条彩信0.119910000.2050M GPRS流量0.129920000.15050M GPRS流量0.1注：（1）畅听99套餐所包含的免费被叫通话是指北京全球通客户在本地接听的所有来话 （接听12590*、12586*通话除外），客户漫游至外地的被叫不包含在内。拨打12590*、12586*、12588、1253012121的通话分钟数，不计入主叫免费时间内。 （2）畅听99套餐所包含的本地主叫通话是指北京全球通客户在北京地区的所有基本通话和所有长途/IP长途电话的基本通话部分，客户漫游至外地的主叫不包含在内。 （3）在呼叫转移状态下，按呼叫转移的资费标准收费。 （4）各档套餐包含的本地主叫免费通话时间当月有效，不累计到下月。一号套餐 二号套餐 三号套餐 四号套餐 哪一种套餐是我的最好选择？我们将各种“套餐”方程代入并利用MATLAB画出它们的图象。从图象中可以看出，函数图象的交点坐标近似为(395,139)，(800,199), (1500,299)。例如当每月话时达到395分钟时，选择一号套餐与二号套餐所需的费用是相同的。没有达到395分钟，选择一号套餐比较合适，反之则选择二号套餐。我们可以推算各种“套餐”的分界值分别为395分钟，800分钟，1500分钟。上海移动公司“全球通68套餐”方案一号套餐 二号套餐 三号套餐 我们将三种“套餐”方程代入，利用MATLAB画出它们的图象。从图象中可以看出，函数图象的交点坐标近似为（694，128），（1175，188）。这说明当每月话时达到694分钟时，选择一号套餐与二号套餐所需的费用是相同的。没有达到694分钟，选择一号套餐比较合适，反之则选择二号套餐。我们可以推算各种“套餐”的分界值分别为694分钟，1175分钟。问题2、由问题分析可得，要利用用户对套餐的兴趣度，求出各种卡类在当月内的用户流失率，求得用户对套餐的兴趣后，再利用该兴趣度与各种卡类所吸引用户数之间的函数关系，就可以求出不同兴趣度下所对应各种卡类吸引会员的数量，进而就可以求出用户的流失率。确定用户数与用户对套餐的平均兴趣度之间的函数关系卡类是否能够长期地保持与用户间的业务关系而盈利，主要取决于用户对各种卡类提供的各种服务所产生的综合兴趣度。如果用户对卡类提供的服务的综合兴趣度很高，那么卡类吸引的用户就越多。在这里引入卡类吸引用户数量与用户对卡类的兴趣度之间的关系为= （）*，其中K表示该卡类在某一区域所能吸引的潜在人数上限；（）表示该卡类的的吸引力因子，且（）（0，1）；N表示卡类所吸引的实际会员数量。下面通过机理分析方法得出（）关于的函数曲线特性：注意到，当用户对卡类的平均兴趣降为0时，实际中卡类只能吸引到极少的用户，令其为= ，为一很小的常数，当增大到最大值时，则认为卡类所能吸引到的用户总数达到潜在所能吸引的人数上限，即=。当在整个定义域内变化时，吸引力因子（）随之变化的特性如下：首先，当在较小的区间内变化时，则可以认为用户对该卡类现有的各项服务所产生的兴趣处于一个起步阶段，所以随着I的增加（）的增加速率是较慢的，即曲线的变化率较小。其次，当处于中间范围时，则在这一阶段用户对卡类的兴趣度处于敏感阶段，即随着的增加（）的增加速率是很快的，即曲线的变化率较大。最后，当处于较大值的范围时，则在这一阶段用用户对于该卡类现有的各项服务已经有很大的兴趣度，那么即便是兴趣度再有所升高，随着的增加（）的增加速率也是较慢的，即曲线的变化率也较小。因此，用如下的函数来刻画与（）之间的函数关系，即引用模糊数学中的偏大型正态分布函数（）= 其中待定参数可由经验设定：当人们的兴趣度为0.8时，则说明几乎该地区的所有用户都要受到卡类的吸引，即（）=1；此时可求出的取值为0.3728。一个月的套餐变化使用户的流失率每个用户对每种套餐的综合兴趣度，对其进行求和取平均值，即可求出每个用户对卡类的满意度，并将所有的用户对套餐的兴趣度求和取平均值，即可得到平均每个用户对卡类的套餐综合兴趣度，即为若不推行新的套餐的情况下，平均每个用户对卡类套餐的兴趣度 根据问题分析，利用两个兴趣度和，以及用户数与用户对卡类的平均兴趣度之间的函数关系，可以分别求出对应的用户数和，其中I为用户对套餐的原兴趣度，为在当月卡类不推行新套餐的情况下用户对套餐的兴趣度，由此可以求出用户在当月不推行新套餐的情况下兴趣度下降率为则对应的用户流失率为问题3、全球通“被叫全免费计划”方案的评价以基本月租费、单向计划收费、需要承诺在网一年、漫游费为研究对象。（1）关于基本月租费移动公司在制订单向收费措施是为更多用户数量更为庞大和中低端用户考虑。数据统计1，用户目前可以接受的手机使用费在100元以内的比例占86%，因此建立制订资费时，把相关费用的标准定在用户可以接受的范围之内。使用费（元）占人数比例5050%5010036%10020010%200以上4%（2）关于单向计划收费目前推出的单向收费措施一般均隐含一定的前提条件(如以套餐形式出现等)， 其实也是自己为自己买单，与真正实现单向收费有明显区别，并非真正意义上完全无附加条件的单向收费，实际上也不能实现本质的单向收费。 （3）需要承诺在网一年就是要签一年协议，不要把这个政策理解为降价政策，上面已经分析过，确实没降价，而这纯粹是锁定用户的政策，运营商推出这项政策就是为了锁定用户，而锁定用户就可以延长用户在网时间。（4）漫游费使用全球通的商务用户，需跨越城市，漫游费居高不下，造成强大的通讯消费负担。实际上，手机漫游只是以网络传输信息，手机实现漫游并不需要很高的技术，其成本与本地通话并无差别，而信息交换所需要传输的数据量非常小，所需要的时间还不到一秒就可以把消息传送到。这个量不大，费用也不会很高。而不管你以后打10分钟，30分钟还是1个小时它的量都还是一样 的，费用也是一样的。漫游费成本仅占运营商收取费用的几百分之一。即使运营商对支持手机漫游有一次性投入，长期收入高漫游费后，成本也大部分被稀释。问题4、为了赢得客户，运营商纷纷推出各自的资费套餐。一时间五花八门的移动套餐满天飞。这些令人眼花缭乱的业务套餐，让消费者无所适从。随着经济的发展以及通信业务的扩张，当前的套餐业务渐渐已不能满足消费者的要求和未来市场的需求，新套餐的制订成为保持移动公司保持业绩的王牌。设计一个全球通手机的资费方案, 我们应考虑因素有以下：1新“套餐”收入尽量不降低到10%或能为移动增加收益。2新“套餐”能够有效推行。3尽可能增加用户的覆盖面。4总体的通话单价较前优惠。5新“套餐”能满足市场需求，减少用户的流失率，提高用户的兴趣度。套餐设计的基本原则1. “互利方案”原则一个成功的业务套餐必定是用户与运营商互利的套餐，在给用户优惠的同时，运营商的利润不受影响或影响不大。移动业务属于服务类产品，和其他服务产品一样具有“时间性”（即在特定的时间不使用就会消失），这为用户与运营商之间通过套餐式的薄利多销实现“互利”创造了可能。然而，要实现真正的互利，需要依赖于运营商对用户消费。确保用户获得优惠的同时，运营商的利润也能得到适当的提高或保持。2利用“高套餐高优惠”和“多组合元素多优惠”的原则让用户选择适合自己的套餐。从而有效隔离不同档次的用户，减少高端用户选择低端套餐的可能，从而降低运营商的业务收入。3“闲时”套餐与普通套餐的隔离原则平时，用户只有在网络闲时拨打长途电话才能享受到优惠。鼓励用户在闲时拨打长途电话，通过有效隔离能够优化运营商的网络资源，提高业务收入。包月套餐设计步骤1、包月套餐是指业务捆绑后，依据消费金额不同给予不同程度的优惠2、为高档套餐设计底线和峰顶。底线和峰顶是套餐设计的两个重要元素。底线设定应该遵循两个重要原则。首先，取值在该区间的相对波峰之前，否则大量的用户参加套餐后容易使得总值下降。其次，考虑在整十、整百的后面加“9”，如“99”、“199”等，可以让用户觉得所支付的底线和峰顶之间有较大差距，获得的免费通话时间较长。在度线设定上也有三个重要原则。首先，高档优惠的倍数应该高于中档套餐的优惠倍数，这样才能鼓励用户尽量选择高档套餐，从而增加收入。其次，取值在该区间的相对波峰之后，同样也是为了减少收入的流失。最后，考虑为整十整百，能够提高用户的消费价值感。3、套餐的设计必须以企业利润为首要考虑因素，最低限制不能严重减入收入，尽可能增加而又能使新套餐业务较前优惠，才能使新套餐成功投入市场，有效推广。计算高档套餐的增量、减量情况，估算套餐的基本收益。以某一客户为例，假如他选择低于自己实际使用值（ARPU）的套餐，就会使移动收入减少；假如选择高于自己实际使用值（ARPU）的套餐，就能增加移动的收益。4、比较套餐的优惠性。由于套餐的设计是一个移动组合资费个性化的过程，为了使运营商利润最大化，同时也能满足各类用户个性化需求，需要做详备的比较。（二）模型求解问题1、我们用一个分段函数来提出一种最优选择的方案北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案适应于的用户（以月通话总量为为标准），其中1、2、3、4分别为各号套餐。 上海移动公司“全球通68套餐”方案适应于的用户（以月通话总量为为标准），其中1、2、3分别为各号套餐。 问题2、在以上的基础，由上面的模型可以求得结果为用户的兴趣度下降率为则卡类的用户流失率为由结果可以看出，如果当月内卡类不推行新的套餐，用户流失率是非常大的。由直观分析可知，卡类用户的大量流失会使卡类的月收益随着骤减，这样就导致卡类收入的大幅度下降，从而会使卡类经营状况恶化，而不能推行新的套餐。据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准的评价：根据所给的数据分别代入模型计算出北京和上海的两种套餐的用户兴趣度的下降率分别为28.86%和32.67%，而用户流失率分别为29.47%和31.42%；通过和现行的资费标准进行比较可知，在此次调整中北京“套餐”的长途资费呈现历史性的狂跌，而上海“套餐”的长途资费却不动声色。上海作为主要的商业城市，长途使用率有增无减。所以上海推行的新“套餐”并不能使多数用户得到真正的优惠。经济全球化与通讯全球化是大势所趋。在此期间，手机使用用户有增无减。谁先抢到消费者，谁就能在竞争中立于不败之地。用户量与通信成本成反比，在忽略移动公司对基础建设和技术资源的投入情况下，用户量越多，通话单价成本也就越低。而北京此次推行的套餐最大受惠群体是中高用户，而上海此次推行的套餐最大受惠群体是中低用户。总体而言，中阶层用户受惠很少甚至不受惠。作为移动最大的消费群体，总体收益没有多大改动。移动公司的企业利润虽不受损，但对于消费者却也不过换汤不换药，并没有多大实际性的优惠。问题3、全球通“被叫全免费计划”方案的评价以基本月租费、单向计划收费、需要承诺在网一年、漫游费研究对象。（1）关于基本月租费移动公司在制订单向收费措施是为更多用户数量更为庞大和底端用户考虑。数据统计1，用户目前可以接受的手机使用费主要集中在50元以下，因此建立制订资费时，把相关费用的标准定在用户可以接受的范围之内。（2）关于单向计划收费 目前的“单向收费”应该叫接听免费，是自己为自己买单，与真正实现单向收费有本质的区别。实际上是双向收费下接听免费，根本就不是单向收费。 （3）需要承诺在网一年就是要签一年协议，不要把这个政策理解为降价政策，上面已经分析过，确实没降价，而这纯粹是锁定用户的政策，运营商推出这项政策就是为了锁定用户，而锁定用户就可以延长用户在网时间。（4）漫游费使用全球通的商务用户，需跨越城市，漫游费居高不下，造成强大的通讯消费负担。实际上，手机漫游只是以网络传输信息，手机实现漫游并不需要很高的技术，其成本与本地通话并无差别，而信息交换所需要传输的数据量非常小，所需要的时间还不到一秒就可以把消息传送到。这个量不大，费用也不会很高。而不管你以后打10分钟，30分钟还是1个小时它的量都还是一样 的，费用也是一样的。漫游费成本仅占运营商收取费用的几百分之一。即使运营商对支持手机漫游有一次性投入，长期收入高漫游费后，成本也大部分被稀释。问题4、中国移动全球通“星级88套餐”方案月基本费（元/月）拨叫类型资费（元/分钟）88包本地主叫分钟数240超出套餐部分本地主叫035国内移动IP长途010288包本地主叫分钟数1600包国内长途分钟数230超出套餐部分本地主叫018国内移动IP长途010488包含1650分钟通话时间超出套餐分钟数主叫0261188包含3500分钟通话时间超出套餐分钟数主叫0241988包含6000分钟通话时间超出套餐分钟数主叫020注：（1） 各套餐本地接听免费（1988套餐全国接听免费）。（2） 其中通话时间包括本地主叫、国内漫游主/被叫。（3） 1988套餐拨打电话（市话、漫游、长话都计入包含的6000分钟数内）。（4） 在呼叫转移状态下，按呼叫转移的资费标准收费。（5） 各档套餐包含的本地主叫免费通话时间当月有效，不累计到下月。六 问题评价及推广针对移动原有的“套餐”与现行收费标准所存在的缺陷，在不损害移动公司的收益同时又能满足消费者的需求前提下，制订出一种新的“套餐服务”。根据原套餐统计算出的时间以及相关资料和经济发展的趋势，同时考虑通讯发展以及可能占据的市场空间，网络更多的消费用户。保守估算，新“套餐”的推出，不仅不会降低移动公司的收入，反而能够增收利润，对比原先的“套餐”更加优惠，能够有效推行并快速占据市场。以上模型运用统计分析，在部分常量不变的情况下，引入虚拟值预算出总收益的底线以及可增长范围。通过对多方面因素的考虑，利用数据制作相关图表，使新旧“套餐”的业务对比更加清晰明显。从而更加易见新制订的“套餐”的优惠之处。新“套餐”针对全球的通讯发展迅速扩展的趋势，大胆制订出前所未有的中高消费层次，以及高质量的消费标准，符合生产力发展的内在要求。以上的模型同时也能用于各企业的经营预算和以财经方面的估算。七 参考文献1 天极数据调查中心，北京手机单向收费。/105/3156605.shtml，2007年9月23日。2刘莹，央视：全球