安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（文）试题 含答案.doc

安徽省池州市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据集合和集合所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合集合表示满足的点的集合，即直线的图像，集合表示满足的点的集合，即直线的图像，所以表示两条直线的交点，解，得所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题.2已知复数，则在复平面对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得在复平面对应的点的位置【详解】由题意得，所以复数对应的点的坐标为，位于第二象限故选B【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，解题时根据运算法则求出复数的代数形式是解题的关键，属于基础题3函数的定义域为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数解析式，得到，解出的取值范围，得到定义域.【详解】因为函数有意义，所以，解得所以解集为所以定义域为，故选：B.【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题.4已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为( )ABCD【答案】A【解析】根据已知条件求出值，即可求解.【详解】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质，属于基础题.5将函数的图象向左平移后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为( )ABCD【答案】C【解析】根据图像的平移，伸缩关系，即可求出的解析式.【详解】先将图象向左平移后得到曲线，再将曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线.故选:C【点睛】本题考查三角函数图像的变换关系，属于基础题.6如图所示，中，半圆O的直径在边BC上，且与边AB，AC都相切，若在内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O内）的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件得到半圆的半径，然后计算出的面积和半圆的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】如图所示，所以的面积，半圆O的面积，根据几何概型公式得：.故选：A.【点睛】本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题7若x，y满足，则的最小值为( )A1B-1C2D-2【答案】B【解析】做出可行域，目标函数为可行域内的点与定点连线的斜率，根据图像即可求解.【详解】做出可行域如下如所示：表示与连线的斜率，由图象知与连线的斜率最小，最小值为-1.故选:B【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查目标函数几何意义为斜率的最值，属于基础题.8如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）A最小长度为8B最小长度为C最大长度为8D最大长度为【答案】B【解析】设，得到，所求的篱笆长度为，根据基本不等式，得到最小值.【详解】设，因为矩形的面积为，所以，所以围成矩形所需要的篱笆长度为，当且仅当即时，等号成立.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.9若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件和二倍角公式，先计算出的值，再将所要求的，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.10过点的直线与圆相交于A，B两点，则（其中O为坐标原点）面积的最大值为( )ABC1D2【答案】B【解析】设圆心O到直线的距离为，根据垂径定理，用表示，将面积表示为的函数，用基本不等式即可求解.【详解】如图所示，过O作，垂足为M，设，则，所以的面积当且仅当时，取等号.故选:B【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题的关键是垂径定理的应用，属于基础题.11直线l过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为，则( )AB或CD或【答案】D【解析】过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过B作于D，利用抛物线的定义，结合直角三角形与斜率的关系，即可求解；或利用抛物线焦半径长公式，用倾斜角表示，即可求解.【详解】方法一：不妨设，则A在x轴上方，过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过B作于D，设，则，所以，所以，所以.由抛物线的对称性，t的值还可以为.方法二：当点A在x轴上方、点B在x轴下方时，设直线l的倾斜角为，则，由得，又l的斜率得，代入得，同理，当点A在x轴下方、点B在x轴上方时，.故选:D【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，注意抛物线常用的结论的积累，属于中档题.12已知三棱锥中，为中点，平面，则下列说法中错误的是（ ）A若为的外心，则B若为等边三角形，则C当时，与平面所成角的范围为D当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.【详解】若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；当时，过作，连结，易知为与平面所成角，故的范围为，故C正确；取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.二、填空题13等腰直角三角形ABC中，则有_.【答案】-2.【解析】先求出，再根据向量数量积公式，求出的值，得到答案.【详解】等腰直角三角形ABC中，所以所以.故答案为：【点睛】本题考查计算向量的数量积，属于简单题.14的值为_.【答案】1.【解析】由诱导公式将角化为特殊锐角，即可求解.【详解】.故答案为:1【点睛】本题考查利用诱导公式化简，求值，属于基础题.15已知数列满足，则_.【答案】-1.【解析】根据递推公式，用累加法求出通项，即可求解.【详解】，累加得，所以，当时也符合，.故答案为:-1【点睛】本题考查由递推公式求通项，属于基础题.16已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，则球O的表面积为_.【答案】【解析】将三棱锥补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，边长分别为，则，所以，所以，则球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.三、解答题17已知等比数列各项均为正数，是数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）设等比数列公比，根据，得到关于的方程，解出，从而得到数列的通项公式；（2）写出的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以，因为各项均为正数解得（负值舍去），所以；（2）由已知得，所以为等差数列，所以.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题.18如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如图，设D为AC边上一点，求的面积.【答案】(1)，；(2).【解析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，求出的面积.【详解】（1）因为，所以在中，由正弦定理，得，因为，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理，所以；（2）在中，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，而所以，由，设，所以，所以，所以，因为，所以.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中a，b，c成等差数列且.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率.【答案】（1）（分）；（2）75分；（3）.【解析】（1）根据频率和为1，以及已知条件，求出，由平均数公式，即可求解；（2）根据物理成绩统计表，可估计出中位数；（3）根据已知条件可得，数学优的4人，其中3人物理为优，分别对4人编号，列出4人任取2人的所有情况，确定满足条件的基本事件的个数，按古典概型概率公式，即可求解.【详解】（1）由于，解得，故数学成绩的平均分（分），（2）由表知，物理成绩的中位数为75分. （3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人.设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，符合题意的情况有：，故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.【点睛】本题考查频率直方图求平均数，频率分布表求中位数，考查古典概型的概率，属于中档题.20如图，三棱锥D-ABC中，E，F分别为DB，AB的中点，且.（1）求证：平面平面ABC；（2）求点D到平面CEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取BC的中点G，连接AG，DG，可证平面DAG，可得，再由，可证，可得平面ABC，即可证明结论；（2）由条件可得点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离，求出三棱锥的体积和的面积，用等体积法，即可求解.【详解】（1）如图，取BC的中点G，连接AG，DG，因为，所以，因为，所以，又因为，所以平面DAG，所以.因为E，F分别为DB，AB的中点，所以.因为，即，则.又因为，所以平面ABC，又因为平面DAB，所以平面平面ABC.（2）因为点E为DB的中点，所以点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离.设点D到平面CEF的距离为h，因为，又因为平面ABC，所以，在中，.所以，在中，所以，又因为，所以，而，则.所以点D到平面CEF的距离为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，空间中的垂直关系的转换是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.21设函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.【答案】（1）；（2）函数在上存在零点，证明见解析.【解析】（1）求导，求出，即可求解；（2）根据的正负判断的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.【详解】函数的定义域为.（1）当时，又，切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为；（2）当时，所以在上单调递减，当时，又，所以函数在上存在零点.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的存在性的判断，属于中档题22已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.【详