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文档简介
三 曲线的极坐标方程 在直角坐标平面上 曲线可以用x y的二元方程f x y 0来表示 这种方程也称为曲线的直角坐标方程 同理 在极坐标平面上 曲线也可以用关于 的二元方程g 0来表示 这种方程称为曲线的极坐标方程 类似于曲线直角坐标方程的求法 可以求曲线的极坐标方程 设p 是曲线上的任意一点 把曲线看作适合某种条件的点的轨迹 根据已知条件 求出关于 的关系式 并化简整理得g 0 即为曲线的极坐标方程 例题 求圆心在c a 0 半径为a的圆的极坐标方程 解 如图所示 op oa cos poa 所以所求圆的极坐标方程为 2acos 设p 为圆上任意一点 由于op ap 即 2acos oa 2a poa 则 思考 求圆心在c r 2 半径为r的圆的极坐标方程 解 如图所示 由题意可知 所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上 而圆周经过极点 设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为a 则a点的极坐标为 r 2 设圆上任意一点为p 连结pa 则 op pox 在rt poa中 由于cos poa op oa 所以 所以 2rsin 为所求圆的极坐标方程 例2求过点a 2 0 且垂直于极轴的直线的极坐标方程 解 如图所示 在所求直线l上任取一点p 连结op 则op poa 在rt poa中 由于oa op cos 所以2 cos 所以 cos 2为所求直线的极坐标方程 特别地 我们知道 在直角坐标系中 x k k为常数 表示一条平行于y轴的直线 y k k为常数 表示一条平行于x轴的直线 我们可以证明 具体从略 在极坐标系中 k k为常数 表示圆心在极点 半径为k的圆 k k为常数 表示极角为k的一条直线 过极点 返回 课堂练习 1 把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程 解 两边同时乘以 得 把 代入上式 得它的直角坐标方程 小结 在极坐标系中 我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系 同一个点可以用极坐标表示 也可以用直角坐标表示 这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法
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