二次函数y=ax2的图象和性质.doc

第二章 二次函数2.二次函数的图象和性质（第一课时）山西晋中和顺第三中学校 梁献鸿 一、 教学内容解析：函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的有效数学模型。本小节属于全日制义务教育数学课程标准中“数与代数”范畴，是学生在学习了平面直角坐标系和一次函数、反比例函数的基础上，再一次进入函数领域，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=x2的图象, 在学习过程中力图向学生展示尝试、观察、归纳、类比、数形结合等数学思想，通过解剖y=ax2的图象这只麻雀，获得研究函数图象的方法。因此本节内容是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用. 二、教学目标设置：1、能够利用描点法作出函数y=x2与y=-x2的图象。能根据图象认识和理解二次函数y=x2与y=-x2的性质。2、经历探索二次函数yx2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生数形结合的思想和的类比学习能力和发展学生的求同求异思维3、让学生能够全身心的投入到数学活动中去，能积极与同伴合作交流，培养学生自主探索的意识和团体协作的精神。三、学生学情分析：学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法。在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验。学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法作出函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。本节是研究二次函数图像及性质的第一节，是学生学习本章的基础，所以重点是能作出y=x2和y=-x2的图像，让学生能通过运用过去的知识经验去发现新知识，解决新知识，从而实现由掌握到迁移运用的过程。而根据图像认识和理解二次函数y=ax2的性质，让学生通过数形结合、观察、类比等方法归纳y=ax2出的性质是本节教学难点。四、教学策略分析针对本节课的特点，采用“创设情境作图探索总结归纳类比学习知识运用”为主线的教学方法.把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，通过设计问题串，引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了情景引入；自主探索；类比探究；拓展延伸；达标演练；回顾小结；目标检测、布置作业八 个步骤，环环相扣，层层深入，以期能顺利完成教学目标。五、教学过程分析第一环节 情境引入（生活中的抛物线）教师演示课件，学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题. 1我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般程序是怎样的？2一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？ 导入新课：:二次函数的图象是什么形状呢，这节课我们一起来探究二次函数的图象和性质。板书;二次函数的图象和性质设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题第二环节 作图探索问题1：复习：(1)二次函数的概念。（要研究二次函数的图象，我们往往先从简单的二次函数y=ax2的入手，而要研究一般的函数图象则要通过特殊的例子来归纳）（2）画函数的图象的主要步骤。设计意图：通过这个问题让学生回忆起用描点法画图的一般步骤，以便于学生下一步的画图同时引导学生研究问题的方法，由简单到复杂，由特殊到一般。问题2：画函数y=x2图象（按课本P32导学要求）师生行为：两名学生上台板演，其他学生在下面尝试画图在学生画图时，教师融入到学生中，了解并搜集学生可能出现的各种问题比如：学生可能会画成折线、半个抛物线、没画出延伸的趋势等情形，这时正好针对问题鼓励小组间互相讨论、相互比较，交流各自的观点 教师引导学生质疑：你有什么疑问需要和大家交流吗？（如为什么要用光滑的曲线连接各点，而不是用直线连接各点。）设计意图：学生对于自己列表、描点、连线而得到的图象容易画成是个折线图形，因而难以理解为什么要用光滑曲线来连接点的本质，利用列表并与图象关联的方法借助几何画板在单位区间内增加满足函数的点数的办法，从而可看出图象的真实面貌.问题3：通过刚才的分析你认为在画y=x2的图象时： （1）列表取值应注意什么问题？（2）点和点之间用什么样的线连接? 问题4：学生观察y=x2的图象独立思考课本p3233的议一议的五个问题。，（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.（3）图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（4）当x0呢？（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？问题5：小组讨论y=x2的图象的性质师生行为：在学生讨论交流之后,请每组的学生代表一一发表自己的观察结果在此过程中，教师不能作裁判，而要把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化 .在学生发表意见的同时教师做适当的辅助、及时点拨引导待学生发表自己的观点之后系统地总结一下y=x2的图象的性质。 问题6;归纳y=x2的图象的性质。（1）抛物线的开口向上（2）它是轴对称图形，对称轴是y轴（3）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x 的增大而增大.（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）（5）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0 设计意图：在此问题上，不再按课本上的问题一一叠列给学生，而是给学生一个开放的空间，给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间仁者见仁，智者见智，不同的学生肯定会有不同的认识，通过小组讨论与交流，学生可以相互学习，共同提高第三环节 类比探究（探究二次函数y-x2的图象和性质）问题1：类比探索函数y=x2图象和性质的方法探索二次函数y=x2的图象和性质。（学生独立完成后，全班交流自己的结论。）问题2：思考：二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的图象有什么关系？有什么相同的地方？又有什么区别？师生行为：教师出示议一议中的问题，学生观察图形，通过小组讨论，归纳yx2与yx2的图象及其性质的异同,然后回答，学生自己总结出哪一点就出在多媒体上出示哪一点，学生想不到的，及时给予引导. 设计意图：这一问题设计为学生提供思考的空间，培养学生在观察、分析、对比、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维第四环节 拓展延伸：问题1：猜想（1） 它们的函数图像怎样？与刚才研究y=x2的函数图像类似吗？它们的开口方向、对称轴、顶点怎样？顶点是最高点还是最低点？（2）、 它们的函数图像怎样？与刚才研究y=-x2的函数图像类似吗？它们的开口方向、对称轴、顶点怎样？顶点是最高点还是最低点？问题2：验证 y=3x2小组合作画图象思考这几个函数表达式有什么特征，图象有什么共同特征，由此你能想到什么？问题3：验证：小组合作画图象小组合作画图象思考：那条抛物线对应哪个函数关系式？你又能想到什么？问题4：归纳y=ax2图象和性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.4. 越大，开口越小，图象越靠近y轴。设计意图：猜想归纳，由特殊到一般，总结出y=ax2的图象和性质。第五环节：达标演练1在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是 2点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y= -x2上，且x1 x20，则y1_y2 .3设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（ ）4、二次函数y=(a+1)x2开口向上，则a的取值_。5、已知二次函数y= - 2x2，下列说法不正确的是（ ） A、函数图象有最高点 B、图象开口方向向下 C、当x0时，y随x的增大而减少 D 、x0时，函数值总是负的6.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. （4）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。设计意图：通过一组简单的练习题，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦第六环节：回顾小结通过今天的学习，你是否对二次函数y=ax2有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？师生行为：教师出示问题，由学生总结本节课所学习的主要内容.在学生归纳的基础上利用多媒体上投放它们的区别与联系.设计意图：让学生通过知识性内容的小结，把课堂中探究的知识尽快化为学生的素质，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.第七环节：目标检测1.抛物线y=x2的顶点坐标为 _ ；若点（a，- 4）在其图象上，则a的值是 _ ；若点A（3，m）是此抛物线上一点，则m=_ 2. 二次函数y=-3x2 的图象，在对称轴左边，随着x的增大, y的值 _ ,在对称轴的右边，随着x的增大，y的值 _ 3在二次函数y=x2 的图象上，与点A（-2，4）关于对称轴对称的点的坐标是_4若抛物线y=ax2的开口向上，则a_0.5、抛物线y= - 5x2，当x= _ 时，y有最 _ 值，是 _ . 6、当m= _ 时，抛物线 开口向下oyA7二次函数y=-x2 的图象上的两个点（x1 y1）,(x2,y2),设x1x20,比较y1和y2大小.8、已知点A