北京市人大附中高中数学第一章解三角形课件人教版必修五1.1.2 余弦定理.ppt

1 1 2余弦定理 中国人民大学附属中学 对于任意一个三角形来说 是否可以根据一个角和夹此角的两边 求出此角的对边 即在 abc中 已知边a和b 以及角c 求边c 如果角c是90 那么可以用勾股定理求c的长 如果角c不是直角 是否可以构造直角三角形再来求边c的长 当 c是锐角时 高ad把 abc分成两个直角三角形adb和adc 算出c的关键是先算出ad和bd 或dc 考察向量在向量方向上的正射影数量 当 c分别是锐角和钝角时 得到的两个数量的符号相反 当 c是直角时 在直角边bc上的射影是零 因此 不论 c是锐角 钝角还是直角 都有ad bsinc bd a bcosc 在rt adb中 运用勾股定理 得c2 ad2 bd2 b2sin2c a bcosc 2 a2 b2 2abcosc 同理可得 b2 a2 c2 2accosb a2 b2 c2 2bccosa 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 即 用向量来研究这个问题 设 那么 从而 余弦定理变式 例1 如图 在 abc中 已知a 5 b 4 c 120 求c 解 由余弦定理 得 因此 例2 如图 在 abc中 已知a 3 b 2 c 求此三角形各个角的大小及其面积 解 由余弦定理得 因此 c 120 再由正弦定理 得 因此 a 36 6 或 a 143 6 不合题意 舍去 因此 b 180 a c 23 4 设bc边上的高为ad 则 ad csinb sin23 4 1 73 所以 abc的面积是 例3 如图 abc的顶点为a 6 5 b 2 8 和c 4 1 求 a 解 根据两点间距离公式 得 在 abc中 由余弦定理得 因此 a 84 0 例4 求证 在 abc中 证明 由余弦定理 得 同理可证 其余两式 例5 abc中 1 若求 a 2 若求最大的内角 解 1 由正弦定理得a2 b2 c2 bc 即b2 c2 a2 bc 所以 故 a 120 2 因为 所以 c为最大角 设a 1 k b 1 k c 10k 故最大内角c为120 例6 在 abc中 若b2sin2c c2sin2b 2bc cosbcosc 试判断三角形的形状 解 由正弦定理 r为 abc的外接圆半径 将原式化为 4r2sin2bsin2c 4r2sin2csin2b 8r2sinbsinccosbcosc 所以8r2sin2bsin2c 8r2sinbsinccosbcosc 因为sinbsinc 0 所以sinbsinc cosbcosc 即cos b c 0 从而 b c 90 a 90 故 abc为直角三角形 解2 将已知等式变形为b2 1 cos2c c2 1 cos2b 2bccosbcosc 由余弦定理得 即得 得b2 c2 a2 故 abc是直角三角形 例7 在 abc中 已知a2 a 2 b c a 2b 2c 3 1 若sinc sina 4 求a b c 2 求 abc的最大角的弧度数 解 1 由可设c 4k a 所以 即 从而或k 1 又因为时 b 0 故舍去 所以k 1 a b c 4 2 已知两式中消去2b 得 代