圆的对称性到相似综合.doc

知识框架相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.1、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法 （1）三边对应成比例的两个三角形相似 （2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 （3）两组角对应相等的两个三角形相似. 3、相似三角形中几个的基本图形 4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. 如图，若,则,或. 定理2 平行切割定理 如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若,则 定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若，则 , 定理4（角平分线性质定理） 如图，分别是的内角平分线与外角平分线，则.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， 定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， 定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 圆中的相似三角形1、 AB是O的直径，点C在O上，BAC60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CDOC交PQ于点D(1)求证：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值2、 ABC内接于圆O，BAC的平分线交O于D点，交O的切线BE于F，连结BD，CD 求证：(1)BD平分CBE；(2)ABBFAFDC3、 O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D求证：BC2DE4、 O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EFFG5. 如图，O是ABC的外接圆，BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E.求证：ADEC = ACBD证明：6. 如图，CD切O于P，PEAB于E，ACCD，BDCD.求证： PE：AC = PB：PA； PE 2 = ACBD7. 已知： ，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点.求证：ET = ED8如图，AB是O直径，EDAB于D，交O于G，EA交O于C，CB交ED于F，求证：DG2DEDF9如图，弦EF直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MAMCMBMDABCPEDHFO10、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P（1）若PC=PF，求证：ABED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？11.如图(1)，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，则有结论：AB AC=AE AD成立，请证明.如果把图(1)中的ABC变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？ 图(1) 图(2)12.如图，AD是ABC的角平分线，延长AD交ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF.(1)求证：AEFFED；(2)若AD=8，DE=4，求EF的长.13.如图，PC与O交于B，点A在O上，且PCA=BAP.(1)求证：PA是O的切线.(2)ABP和CAP相似吗？为什么？(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的长.14（本小题满分7分）已知：如图， AD是O的弦，OBAD于点E，交O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3（1）求证：AB是O的切线；（2）点F是ACD上的一点，当AOF=2B时，求AF的长 15如图，ABC内接于O，且BC是O的直径，ADBC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB6，AC8，求CD，DE，及EF的长。16 已知：如图，在中，以为直径的交于点，点是的中点，连结OD，OB、DE交于点F（1）求证：是的切线；（2）求EF：FD的值ODGCA