2.3.2.1 双曲线的简单几何性质.ppt

上一节 认识了双曲线的标准方程 形式一 焦点在x轴上 c 0 c 0 形式二 焦点在y轴上 0 c 0 c 其中 双曲线的图象特点与几何性质到现在仍是一个谜 现在就用方程来探究一下 类似于椭圆几何性质的研究 2 对称性 一 研究双曲线的简单几何性质 1 范围 关于x轴 y轴和原点都是对称 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 x y x y x y x y 3 顶点 1 双曲线与对称轴的交点 叫做双曲线的顶点 3 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 4 渐近线 利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 2 渐近线对双曲线的开口的影响 3 动画演示点在双曲线上情况 双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢 动画演示情况 如何记忆双曲线的渐近线方程 5 离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量 e越大开口越大 动画演示 c a 0 e 1 4 等轴双曲线的离心率e 例1求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 可得实半轴长a 4 虚半轴长b 3 焦点坐标为 0 5 0 5 解 把方程化为标准方程 例2双曲线型自然通风塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 它的最小半径为12m 上口半径为13m 下口半径为25m 高55m 选择适当的坐标系 求出此双曲线的方程 精确到1m a a 0 x c c b b y 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 a1 a 0 a2 a 0 a1 0 a a2 0 a 关于x轴 y轴 原点对称 渐近线 f2 0 c f1 0 c 双曲线的简单几何性质 2 双曲线的第二定义 引例 点m x y 与定点f c 0 的距离和它到定直线的距离比是常数 c a 0 求点m的轨迹 解 设点m x y 到l的距离为d 则 即 化简得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 设c2 a2 b2 a 0 b 0 故点m的轨迹为实轴 虚轴长分别为2a 2b的双曲线 b2x2 a2y2 a2b2 即 就可化为 点m的轨迹也包括双曲线的左支 双曲线的第二定义 平面内 若定点f不在定直线l上 则到定点f的距离与到定直线l的距离比为常数e e 1 的点的轨迹是双曲线 定点f是双曲线的焦点 定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率 对于双曲线 是相应于右焦点f c 0 的右准线 类似于椭圆 是相应于左焦点f c 0 的左准线 点m到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义 想一想 中心在原点 焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的 相应于上焦点f c 0 的是上准线 相应于下焦点f c 0 的是下准线 基础练习 1 双曲线的中心在原点 离心率为4 一条准线方程是 求双曲线的方程 2 双曲线4y2 x2 16的准线方程是 两准线间的距离是 焦点到相应准线的距离是 点评 双曲线的焦点到相应准线的距离是 3 双曲线的渐近线方程为一条准线方程是 则双曲线的方程是 a b c d d 4 双曲线上的一点p到它的右焦点的距离为8 那么p到它的左准线的距离 由已知 解 a 4 b 3 c 5 双曲线的右准线为l 作mn l aa1 l 垂足分别是n a1 n a1 当且仅当m是aa1与双曲线的交点时取等号 令y 2 解得 四 归纳总结 1 双曲线的第二定义 平面内 若定点f不在定直线l上 则到定点f的距离与到定直线l的距离比为常数e e 1 的点的轨迹是双曲线 定点f是双曲线