第3章 离散傅里叶变换PPT幻灯片.ppt

第3章离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 3 1离散傅里叶变换的定义及物理意义3 2离散傅里叶变换的性质3 3频率域采样3 4DFT的应用举例 1 傅里叶变换的离散性和周期性 1 连续时间 连续频率 连续时间非周期信号的傅里叶变换 结论 时域非周期 频域连续 时域连续 频域非周期 2 连续时间 离散频率 连续时间周期信号的傅里叶级数 结论 时域周期 频域离散 时域连续 频域非周期 2 3 离散时间 连续频率 序列的傅里叶变换 结论 时域非周期 频域连续 时域离散 频域周期 4 离散时间 离散频率 离散傅里叶变换 结论 时域周期 频域离散 时域离散 频域周期 3 3 1离散傅里叶变换的定义及物理意义 一 离散傅里叶变换 DFT 的定义二 DFT与FT及ZT的关系三 DFT的隐含周期性四 用MATLAB计算序列的DFT 4 5 6 7 8 借用 的主值序列X k 定义为 离散傅里叶变换 DFT 目的是使傅里叶分析可以利用数字计算机 一 离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 1 4 2 3 9 10 例3 1 1 x n R4 n 求x n 的4点和8点DFT DFT x n 结果与N的取值有关 11 二 DFT与FT及ZT的关系 1 序列x n 的N点DFT是x n 的z变换在单位圆上的N点等间隔采样 12 二 DFT与FT及ZT的关系 2 X k 为x n 的傅里叶变换在区间 0 2 上的N点等间隔采样 13 有限长序列的N点离散傅里叶变换X k 正好是x n 的周期延拓序列x n N的离散傅里叶级数系数的主值序列 X k 实质上是x n 的周期延拓序列的频谱特性 三 DFT的隐含周期性 14 例2 3 1 设x n R4 n 将x n 以N 8为周期进行周期延拓 得到如图2 3 1 a 所示的周期序列 周期为8 求 并画出它的幅度谱 15 图2 3 1周期序列 a 及其幅度特性 b 16 Xk fft xn N xn ifft Xk N 四 用MATLAB计算序列的DFT 17 3 2离散傅里叶变换的性质 一 线性性质 二 循环移位性质 1 序列的循环移位 18 19 2 时域循环移位定理 3 频域循环移位定理 二 循环移位性质 20 1 两个有限长序列的循环卷积 三 循环卷积定理 21 22 循环卷积矩阵 例3 2 1 23 1 两个有限长序列的循环卷积 2 循环卷积定理 时域循环卷积定理 三 循环卷积定理 24 2 循环卷积定理 频域循环卷积定理 25 四 复共轭序列的DFT 26 五 DFT的共轭对称性 1 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 27 2 DFT的共轭对称性 1 将序列x n 表示为 有限长序列x n 的实部的DFT为X k 的共轭对称分量 虚部和j一起的DFT为X k 的共轭反对称分量 28 2 DFT的共轭对称性 2 将序列x n 表示为 有限长序列x n 的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X k 的实部和虚部乘以j 29 2 DFT的共轭对称性 3 有限长实序列DFT的共轭对称性 30 例3 2 2 利用DFT的共轭对称性 设计一种高效算法 通过计算一个N点DFT 就可以计算出两个实序列x1 n 和x2 n 的N点DFT 31 六 离散帕塞瓦尔定理 32 3 3频率域采样 由于 所以 33 频域采样定理 假设序列x n 的长度为M 只有当频域采样点数N M时 才有xN n IDFT X k x n 即可由频域采样X k 恢复原序列x n 否则产生时域混叠现象 34 3 4DFT的应用举例 一 用DFT计算线性卷积二 用DFT对信号进行谱分析 35 一 用DFT计算线性卷积 36 当L N M 1时 yc n yl n 线性卷积与循环卷积的关系 37 1 用DFT对连续时间非周期信号进行谱分析 1 对x t 以采样间隔T采样得序列x n x nT 2 将序列x n x nT 截断成从t 0开始长度为Tp的有限长序列 Tp NT 3 为了数值计算 在频域也要离散化 一个周期Fs等间隔采样N点 每个样点间隔为F N Fs F F Fs N 1 TN 1 Tp 二 用DFT对信号进行谱分析 38 图3 4 6用DFT分析连续信号频谱的原理示意图 39 用DFT近似计算模拟信号频谱的计算步骤总结如下 1 首先确定用DFT对模拟信号频谱进行近似计算的三个参数 即频率分辨率F 采样频率Fs 记录时间Tp 2 用已确定的Fs对模拟信号采样 采样后得到时域离散信号为x n xa t t nT xa nT 3 在计算机上调DFT FFT 函数对信号x n 进行频谱计算 40 例3 4 2 对实时信号进行谱分析 要求谱线间距 分辨率 F 10Hz 信号最高频率fc 2 5kHz 试确定最小记录时间Tpmin 最大采样间隔Tmax 最少的采样点数Nmin 如果fc不变 要求谱分辨率F增加1倍 Nmin和Tpmin是多少 41 例3 4 3 用DFT对模拟信号进行谱分析 设模拟信号xa t 的最高频率为200Hz 以采样频率Fs 400Hz采样得到时域离散序列x n xa nT 要求频率分辨率为10Hz 模拟信号频谱Xa j 如下图所示 试画出X ej FT x n 和X k DFT x n 谱线图 并标出每个k 0 20 40对应的数字频率 k和模拟频率fk的值 42 2 对连续时间周期信号的傅里叶级数的DFS逼近 2 将频域离散序列加以截断 截断长度为一个周期N 1 时域抽样 1 2 43 3 用DFT对序列进行谱分析 2 对周期序列进行谱分析 1 对有限长序列进行谱分析 44 4 用DFT进行谱分析的误差问题 1 频谱混叠 2 栅栏效应 45 3 截断效应 例3 4 5 50Hz正弦波xa t sin 2 50t 它的幅度曲线是线状谱 如图 a 所示 如果将它截取0 09s的一段 相当于将它乘以长度为0 09s矩形窗函数 即xa t RTp t Tp 0 09s